数学北师大版（2019）必修第二册：2-6-2-一 向量在几何证明中的应用 学案与作业
6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
一、向量在几何证明中的应用
(15 分钟 30 分)
1.已知△ABC 中, =a, =b,且 a·b<0,则△ABC 的形状为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选 A.因为 a·b= · =| |·| |cos A<0,所以 A 为钝角,
故△ABC 为钝角三角形.
2.在四边形 ABCD 中, = ,且| |=| |,那么四边形 ABCD 为( )
A.平行四边形 B.菱形
C.长方形 D.正方形
【解析】选 B.由 = 可知,该四边形为平行四边形,又由| |=| |
知邻边相等,故该四边形为菱形.
3.△ABC 顶 点 为 A(a,0),B(-a,0),C(asin θ,acos θ), 则 △ABC 为
( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解析】选 A.依题意可知 a≠0, =(asin θ-a,acos θ), =(asin
θ+a,acos θ), 与 不恒等,所以 · =(asin θ)2-a2+(acos
θ)2=a2(sin2θ+
cos2θ)-a2=0,所以 ⊥ ,所以△ABC 是直角三角形.
4.(2020· 北 京 高 考 ) 已 知 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 2, 点 P 满 足
= ( + ),则| |=________; · =________.
【 解 析 】 如 图 建 系 , 则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2), 所 以
=(2,0), =(2,2),
=(2,1),P(2,1), =(-2,1),| |= , 又 =(0,-1), 所 以
· =-1.
答案: -1
5.在△ABC 所在的平面内有一点 P,如果 2 + = - ,那么△PBC 的
面积与△ABC 的面积之比是________.
【解析】因为 2 + = - = + = ,所以 2 + - =3 + =0,
所以点 P 在边 AC 上,且 3|PA|=|PC|,所以 = ,如图,
设△ABC 中 AC 边上的高为 h,所以 = = = .
答案:
6.求证:以 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩
形.
【证明】因为 =(4,-2), =(3,6), =(4,-2), = , =(3,6)不为
零向量,
且不与 平行,所以以 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形.因为
· =0, ⊥ ,所以以 A,B,C,D 为顶点的四边形是矩形.
(30 分钟 60 分)
一、单选题(每小题 5 分,共 20 分)
1.若在△ABC 中 AB=AC=1,| + |= ,则△ABC 的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
【解析】选 D.由| + |= ,得 +2 · + =2,因为 AB=AC=1,
所以 · =0,即 AB⊥AC,所以△ABC 为等腰直角三角形.
【补偿训练】
已知非零向量 与 满足 · =0,且| |= | |,则
△ABC 为
( )
A.等腰非等边三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.三边均不相等的三角形
【解析】选 A.不妨设 = + ,即 为∠BAC 平分线所在直线上的
向量,
又 ⊥ ,所以 AB=AC,又 = ≠ ,所以△ABC 为等腰非等
边三角形.
2.已知△ABC 为等腰三角形,满足 AB=AC= ,BC=2,若 P 为底 BC 上的动
点,则 ·( + )=( )
A.有最大值 8 B.是定值 2
C.有最小值 1 D.是定值 4
【 解 析 】 选 D. 设 AD 是 等 腰 三 角 形 的 高 , 长 度 为 = . 故
· =
·2 =2 +2 · =2 =2× =4.
3. 已 知 O 是 平 面 上 一 定 点 , 满 足
= +λ ,λ∈[0,+∞),则 P 的轨迹一定通过△ABC
的( )
A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心
【解析】选 B.因为 = +λ( + ),所以 - =
λ( + ),
即 =λ ,
因为 cos B= ,cos C= ,
所以 · =- + =0,
所以 与λ 垂直,
即 ⊥ ,所以点 P 在 BC 的高线上,即 P 的轨迹过△ABC 的垂心.
4.设 a,b,c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且 a 与 b
不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于( )
A.以 a,b 为邻边的平行四边形的面积
B.以 b,c 为两边的三角形的面积
C.以 a,b 为两边的三角形的面积
D.以 b,c 为邻边的平行四边形的面积
【解析】选 A.由题意可以画出图形:记 =a, =b, =c,
=θ.
因为这三个向量的起点相同,且满足 a 与 b 不共线,a⊥c,|a|=|c|,利用
向量的数量积定义,可得|b·c|=||b|·|c|cos|=|OB|·|OC||cos
θ|=|OB|·|OA|
sin ∠AOB,
因为 S△AOB= |OA|·|OB|sin∠AOB,所以|b·c|等于以 a,b 为邻边的平行
四边形的面积.
【误区警示】不作示意图,从而将角混淆.
二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3
分,有选错的得 0 分)
5.在△ABC中,|AB|=2,|AC|=2 ,∠BAC=45°,P为线段AC上任意一点,
则 · 的可能值有( )
A.-2 B.-1 C.2 D.3
【 解 析 】 选 CD. 设 =t (0 ≤ t ≤ 1), 则 =(1-t) 因 为
= - = -(1-t) ,
所 以 · =[ -(1-t) ] · t =t · -t(1-t) =2 ×
2 t·cos45°-t(1-t)× =8t2-4t=8 - ,
因为 0≤t≤1,所以- ≤ · ≤4,故 2,3 为可能取的值.
6.下列命题中正确的是( )
A.若向量 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b
B.对于非零向量 a,b,c,若 a·(b-c)=0,则 b=c
C.已知 A,B,C 是平面内任意三点,则 + + =0
D.若 O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足( - )·( + -2 )=0,
则△ABC 为等腰三角形
【解析】选 CD.选项 A 中,向量不能比较大小,故错误;选项 B 中,由
a · (b-c)=0, 可 得 b=c 或 a ⊥ (b-c), 故 错 误 ; 选 项 C
中 , + + = + =0, 故 正 确 ; 选 项 D
中,( - )·( + -2 )= ·( + )=( - )·( + )=| |2-|
|2=0,所以| |=| |,故△ABC 为等腰三角形,正确.
【光速解题】本题中 AB 易判断错误,则可直接选 CD.
三、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
7.点 O 是△ABC 所在平面内的一点,满足 · = · = · ,则点 O
是△ABC 的______心.
【解题指南】根据向量数量积的运算律可整理出 · =0,即 OB⊥AC;
同理可得 OA⊥BC,OC⊥AB,由垂心定义可知 O 为垂心.
【解析】因为 · = · ,所以 · =0,即 · =0,
所以 OB⊥AC,同理可得 OA⊥BC,OC⊥AB,
所以点 O 为△ABC 的垂心.
答案:垂
【补偿训练】
过△ABC 内一点 M 任作一条直线,再分别过顶点 A,B,C 作 l 的垂线,垂足
分别为 D,E,F,若 + + =0 恒成立,则点 M 是△ABC 的________心.
【解析】本题采用特殊位置法较为简单.
因为过△ABC 内一点 M 任作一条直线,可将此直线特殊为过点 A,则 =0,
有 + =0.
如图,则有直线 AM 经过 BC 的中点,同理可得直线 BM 经过 AC 的中点,直
线 CM 经过 AB 的中点,所以点 M 是△ABC 的重心.
答案:重
8.已知 P 是△ABC 的边 BC 上任一点,且满足 =x +y ,x,y∈R,则 +
的最小值是____.
【解析】因为点 P 落在△ABC 的边 BC 上,所以 B,P,C 三点共线,所以
x+y=1.故 + = (x+y)= + +5≥4+5=9,当且仅当 = ,即
x= ,y= 时取等号,所以 + 的最小值为 9.
答案:9
四、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.如图,已知直角梯形 ABCD 中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点 C 作 CE⊥AB
于点 E,M 为 CE 的中点.
求证:(1)DE∥BC;(2)D,M,B 三点共线.
【证明】以 E 为原点,AB 所在直线为 x 轴,EC 所在直线为 y 轴建立平面
直角坐标系,如图.令| |=1,则| |=1,| |=2,因为 CE⊥AB,AD=DC,
所 以 四 边 形 AECD 为 正 方 形 , 所 以 各 点 坐 标 分 别 为
E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
(1) 因 为 =(-1,1)-(0,0)=(-1,1), =(0,1)-(1,0)=(-1,1), 所 以
= ,即 DE∥BC.
(2) 因 为 M 为 EC 的 中 点 , 所 以 M(0, ), 所 以
=(-1,1)-(0, )=(-1, ), =(1,0)-(0, )=(1,- ),所以 =- ,
所以 ∥ .
又 与 有公共点,所以 D,M,B 三点共线.
10.四边形 ABCD 中, =a, =b, =c, =d,且 a·b=b·c=c·d=d·a,
试问四边形 ABCD 是什么图形?
【解析】因为 a·b=b·c,所以 b·(a-c)=0,即 b⊥(a-c).同理 d⊥(a-c),
所以 b∥d,同理 a∥c,所以四边形 ABCD 是平行四边形.所以 a=-c,故
b·(a-c)=b·2a=0,所以 a·b=0,故该四边形为矩形.
在△ABC 所在平面内有一点 H 满足 + = + = + ,则 H 点是
△ABC 的________.
【解析】因为 = - , = - , = - ,
所以 + = + ,
整理得 ·( - )=0, · =0,即 AB⊥HC;同理可得 AC⊥HB,BC⊥
HA.
所以可知 H 为垂心.
答案:垂心
【补偿训练】
设 P,Q 分别是梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的中点.(1)试用向量证
明:PQ∥AB;
(2)若 AB=3CD,求 PQ∶AB 的值.
【解析】(1)因为 Q 为 BD 中点,所以 + =2 ,
又因为 P 为 AC 中点,所以 =2 ;
所以 2 =2 -2 =( + )- = + + = + .
又向量 与 共线,设向量 =λ ,则 2 =(1+λ) ,所以 = .
①
又梯形 ABCD 中,| |≠| |,所以λ≠-1,
所以 ∥ ,即 PQ∥AB.
(2)因为向量 与 反向,且| |=3| |,所以 =-3 ,即λ=- ,代入
①式,得 = = ,所以 PQ∶AB=1∶3.
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