【数学】2020届天津一轮复习通用版9-1直线方程与圆的方程作业

【数学】2020届天津一轮复习通用版9-1直线方程与圆的方程作业

专题九　平面解析几何 ‎【真题典例】‎ ‎9.1　直线方程与圆的方程 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.直线的倾斜 角、斜率与方程 ‎1.理解直线的倾斜角和斜率的概念 ‎2.掌握过两点的直线斜率的计算公式 ‎3.掌握确定两直线位置关系的几何要素以及求直线方程的几种形式 ‎4.了解斜截式与一次函数的关系 ‎2017北京,14‎ 直线的斜率 统计图的理解 ‎★☆☆‎ ‎2.直线与直线的位置关系 ‎1.能根据两条直线的斜率判断两直线的位置关系 ‎2.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标 ‎3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,‎ ‎2013天津文,5‎ 直线与直线的位置关系 直线与圆的位置关系 ‎★☆☆‎ 会求两平行直线间的距离 ‎3.圆的方程 ‎1.掌握确定圆的几何要素 ‎2.掌握圆的标准方程与一般方程 ‎3.会用待定系数法和直接法求圆的方程 ‎2017天津文,12‎ 圆的方程 抛物线 ‎★★☆‎ ‎2016天津文,12‎ 点到直线距离公式 分析解读　　从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　直线的倾斜角、斜率与方程 ‎1.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为‎3‎‎4‎”的(　　)‎ A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件　　　　C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ ‎2.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l的方程是　　　　　　. ‎ 答案　x-2y+3=0‎ 考点二　直线与直线的位置关系 ‎3.已知圆的方程为(x+1)2+y2=2,则圆心到直线y=x+3的距离为(　　)‎ A.1　　　　B.‎2‎　　　　C.2　　　　D.2‎‎2‎ 答案　B　‎ ‎4.已知直线3x+(1-a)y+1=0与直线x-y+2=0平行,则a的值为(　　)‎ A.4　　　　B.-4　　　　　　　　C.2　　　　D.-2‎ 答案　A　‎ ‎5.已知a∈R,则“直线y=ax-1与y=-4ax+2垂直”是“a=‎1‎‎2‎”的(　　)‎ A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件　　　　C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件 答案　B　‎ 考点三　圆的方程 ‎6.若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,则a的值为(　　)‎ A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.-2‎ 答案　B　‎ ‎7.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎4‎=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为　　　　. ‎ 答案　x-‎‎3‎‎2‎‎2‎+y2=‎‎25‎‎4‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　直线方程的求法 ‎1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是(　　)‎ A.x+y-2=0　　　　B.x-y+2=0　　　　C.x+y-3=0　　　　D.x-y+3=0‎ 答案　D　‎ 方法2　两直线平行与垂直问题的解决策略 ‎2.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是(　　)‎ A.2　　　　B.8　　　　C.‎17‎‎5‎　　　　D.‎‎17‎‎10‎ 答案　A　‎ ‎3.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为π‎4‎,则a=　　　　;若l1⊥l2,则a=　　　　;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为　　　　. ‎ 答案　-1;1;2‎‎2‎ 方法3　关于对称问题的求解策略 ‎4.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为(　　)‎ A.(x-1)2+y2=1　　　　B.x2+(y+1)2=1　　　　C.x2+(y-1)2=1　　　　D.(x+1)2+y2=1‎ 答案　C　‎ 方法4　圆的方程的求法 ‎5.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　x2+y2-2x=0‎ ‎6.(2016江苏改编,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.‎ 解析　圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.‎ ‎(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).‎ 因为圆N与x轴相切,与圆M外切,‎ 所以00)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 解析　(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=k(x-1),‎y‎2‎‎=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,故x1+x2=‎2k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=‎4k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 由题设知‎4k‎2‎+4‎k‎2‎=8,‎ 解得k=-1(舍去),或k=1,‎ 因此l的方程为y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 y‎0‎‎=-x‎0‎+5,‎‎(x‎0‎+1‎)‎‎2‎=‎(y‎0‎-x‎0‎+1‎‎)‎‎2‎‎2‎+16.‎解得x‎0‎‎=3,‎y‎0‎‎=2‎或x‎0‎‎=11,‎y‎0‎‎=-6.‎ 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ 方法总结　有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.‎ ‎6.(2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.‎ ‎(1)证明:坐标原点O在圆M上;‎ ‎(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.‎ 解析　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.‎ 由x=my+2,‎y‎2‎‎=2x可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.‎ 又x1=y‎1‎‎2‎‎2‎,x2=y‎2‎‎2‎‎2‎,故x1x2=‎(‎y‎1‎y‎2‎‎)‎‎2‎‎4‎=4.‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为y‎1‎x‎1‎·y‎2‎x‎2‎=‎-4‎‎4‎=-1,所以OA⊥OB.‎ 故坐标原点O在圆M上.‎ ‎(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.‎ 故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=‎(m‎2‎+2‎)‎‎2‎+‎m‎2‎.‎ 由于圆M过点P(4,-2),因此 AP·BP=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,‎ 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.‎ 由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.‎ 所以2m2-m-1=0,‎ 解得m=1或m=-‎1‎‎2‎.‎ 当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为‎10‎,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.‎ 当m=-‎1‎‎2‎时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为‎9‎‎4‎‎,-‎‎1‎‎2‎,圆M的半径为‎85‎‎4‎,圆M的方程为x-‎‎9‎‎4‎‎2‎+y+‎‎1‎‎2‎‎2‎=‎85‎‎16‎.‎ 解后反思　解直线与圆锥曲线相交问题时,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.‎ 疑难突破　将直径所对的圆周角为90°转化为两向量数量积等于0,进而由根与系数的关系进行整体运算求解.‎ ‎7.(2015课标Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x‎2‎‎4‎与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N两点.‎ ‎(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;‎ ‎(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.‎ 解析　(1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a)或M(-2a,a),N(2a,a).‎ 又y'=x‎2‎,故y=x‎2‎‎4‎在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),‎ 即ax-y-a=0.‎ y=x‎2‎‎4‎在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),‎ 即ax+y+a=0.‎ 故所求切线方程为ax-y-a=0和ax+y+a=0.(5分)‎ ‎(2)存在符合题意的点,证明如下:‎ 设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.‎ 将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.‎ 故x1+x2=4k,x1x2=-4a.‎ 从而k1+k2=y‎1‎‎-bx‎1‎+y‎2‎‎-bx‎2‎=‎2kx‎1‎x‎2‎+(a-b)(x‎1‎+x‎2‎)‎x‎1‎x‎2‎=k(a+b)‎a.‎ 当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)‎ C组　教师专用题组 ‎1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎　　　　B.‎2‎‎3‎　　　　C.‎2‎‎2‎　　　　D.1‎ 答案　C　‎ ‎2.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)‎ A.(x-1)2+(y-1)2=1　　　　B.(x+1)2+(y+1)2=1　　　　C.(x+1)2+(y+1)2=2　　　　D.(x-1)2+(y-1)2=2‎ 答案　D　‎ ‎3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P的横坐标的取值范围是　　　　. ‎ 答案　[-5‎2‎,1]‎ ‎4.(2015湖北文,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.‎ ‎(1)圆C的标准方程为　　　　　　　　; ‎ ‎(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为　　　　. ‎ 答案　(1)(x-1)2+(y-‎2‎)2=2　(2)-‎2‎-1‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共10分)‎ ‎1.(2018天津河西三模,4)设a∈R,则“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件　　　　C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C　‎ ‎2.(2018天津十二区县二模,4)已知m为实数,直线l1:mx+y-1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,则“m=1”是“l1∥l2”的(　　)‎ A.充要条件 B.充分不必要条件　　　　C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A　‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎3.(2017天津和平四模,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是　　　　. ‎ 答案　x-y+1=0‎ ‎4.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为　　　　. ‎ 答案　20‎‎6‎ ‎5.(2017天津一中3月月考,12)圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆C的方程为　　　　　　　　　. ‎ 答案　(x+3)2+(y-2)2=5‎ ‎6.(2018天津河东一模,12)已知A(0,‎3‎),B(1,0),点P为圆x2+y2+2x=0上的任意一点,则△PAB面积的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎3‎+1‎