2019届二轮复习（理）专题43圆的方程学案（全国通用）

2019届二轮复习（理）专题43圆的方程学案（全国通用）

‎1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．　‎ ‎2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．‎ ‎ ‎ ‎1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程 标准学 ]‎ ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 学 ] ]‎ 圆心C(a，b)‎ 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0‎ 充要条件：D2＋E2－4F＞0‎ 圆心坐标： 半径r＝ ‎2. 点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：‎ ‎(1)d＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；‎ ‎(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；‎ ‎(3)d＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内．‎ 高频考点一　求圆的方程 例1、(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为 .‎ ‎(2)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为 .‎ ‎(2)抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为2，‎ 所以该圆的标准方程为 (x－1)2＋y2＝4. ‎ 答案　(1)(x－2)2＋y2＝9　(2)(x－1)2＋y2＝4‎ ‎ 【举一反三】(1)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ．‎ 答案　2＋y2＝ 解析　由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，‎ 令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.‎ ‎(2)根据下列条件，求圆的方程．‎ ‎①经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；‎ ‎②圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．‎ ‎②方法一　如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，‎ ‎∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，‎ 故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.‎ 方法二　设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，‎ 根据已知条件得 解得 因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. ‎ ‎【感悟提升】(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．‎ ‎(2)待定系数法 ‎①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；‎ ‎②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．‎ ‎【变式探究】(1)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为 ．‎ ‎(2)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为 ．‎ 答案　(1)x2＋(y－1)2＝1　(2)(x－3)2＋y2＝2‎ 高频考点二　与圆有关的最值问题 例2、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.‎ ‎(1)求的最大值和最小值；‎ ‎(2)求y－x的最大值和最小值；‎ ‎(3)求x2＋y2的最大值和最小值.‎ 解　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.‎ ‎(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，‎ 所以设＝k，即y＝kx.‎ 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1).‎ 所以的最大值为，最小值为－.‎ ‎【感悟提升】与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 ‎(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．‎ ‎(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题．‎ ‎【变式探究】(1)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为 (　　)‎ A．6 B．4‎ C．3 D．2‎ 答案　B 解析　|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4.‎ ‎(2)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．‎ ‎①求|MQ|的最大值和最小值；‎ ‎②若M(m，n)，求的最大值和最小值．‎ ‎②可知表示直线MQ的斜率，‎ 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，‎ 即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.‎ 由直线MQ与圆C有交点，‎ 所以≤2，‎ 可得2－≤k≤2＋，‎ 所以的最大值为2＋，最小值为2－.‎ 变式探究三　与圆有关的轨迹问题 例3、设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．‎ 解　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分， ‎ 故＝，＝.从而 又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.‎ 因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，‎ 但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)．‎ ‎【举一反三】已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.‎ ‎(1)求M的轨迹方程；‎ ‎(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.‎ 因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，‎ 故l的方程为x＋3y－8＝0.‎ 又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，‎ 所以|PM|＝，S△POM＝××＝，‎ 故△POM的面积为.‎ ‎【感悟提升】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：‎ ‎①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．‎ ‎②定义法：根据圆、直线等定义列方程．‎ ‎③几何法：利用圆的几何性质列方程．‎ ‎④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．‎ ‎【变式探究】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．‎ ‎(1)求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．‎ ‎ ‎ ‎(2)设PQ的中点为N(x，y)，连接BN.‎ 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.‎ 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，‎ 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，‎ 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.‎ ‎1.【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.‎ ‎（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意， ， ， ，解得， ， ，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为. ‎ 所以，直线的方程为，或.‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：‎ ‎，解得，故选A．‎ ‎1.【2015高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则( )‎ A．2 B．‎8 C．4 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得，，所以，所以，即为直角三角形，其外接圆圆心为，半径为，所以外接圆方程为，令，得，所以，故选C．‎ ‎2.【2015高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）‎ ‎（A）或 （B） 或 （C）或 （D）或 ‎【答案】D 整理： ，解得： ，或 ,故选D． ‎ ‎3.【2015高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．‎ ‎4.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段的中点的轨迹的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 【答案】（1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）由得，‎ ‎∴ 圆的圆心坐标为；‎ ‎（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，‎ L D x y O C E F 当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．‎ ‎1．（2014·福建卷）设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是(　　)‎ A．5 B.＋ ‎ C．7＋ D．6 ‎【答案】D　‎ ‎2．（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.‎ ‎【解析】解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.‎ 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.‎ ‎(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以 ‎|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.‎ 由椭圆的定义可知，曲线C是以M, N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．‎ ‎(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，‎ 当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2，所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2 .‎ 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，‎ 则＝，可求得Q(－4，0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.当k＝时，将y＝x＋代入＋＝1，‎ 并整理得7x2＋8x－8＝0.解得x1，2＝.‎ 所以|AB|＝|x2－x1|＝.‎ 当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.‎ 综上，|AB|＝2 或|AB|＝. ‎ ‎3．（2013·重庆卷）如图1－9所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e＝，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程；‎ ‎(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．‎ ‎ ‎ ‎(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)．又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋x＋8 ‎＝(x－2x0)2－x＋8(x∈[－4，4])．‎ 设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取得最小值．又因x1∈(－4，4)，所以上式当x＝2x0时取得最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x.‎ 因为PQ⊥P′Q，且P′(x1，－y1)，所以·′＝(x1－x0，y1)·(x1－x0，－y1)＝0，‎ 即(x1－x0)2－y＝0.由椭圆方程及x1＝2x0得x－8＝0，‎ 解得x1＝±，x0＝＝±，从而|QP|2＝8－x＝.‎ 故这样的圆有两个，其标准方程分别为 ＋y2＝，＋y2＝. ‎ ‎4．(2013年高考江西卷)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线 y＝1相切，则圆C的方程是 ．‎ 解析：由已知可设圆心为(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2得b＝－，r2＝.故圆C的方程为(x－2)2＋2＝.‎ 答案：(x－2)2＋2＝