【数学】2019届一轮复习人教A版数列中的最值问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版数列中的最值问题学案

专题五 数列 问题二 数列中的最值问题 一、考情分析 数列中的最值是高考热点，常见题型有 求数列的最大项或最小项、与有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等.‎ 二、经验分享 ‎(1) 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．‎ ‎②用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．③结合相应函数的图象直观判断．‎ ‎(2) 最大值与最小值 若 则an最大；若 则an最小.‎ ‎(3)求等差数列前n项和的最值，常用的方法 ①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性 求其通项或前n项和的最值.‎ 三、知识拓展 已知等差数列的公差为d，前n项和为，①若，有最小值，若，则最小，若则最小； ①若，有最大值，若，则最大，若则最大。‎ 四、题型分析 ‎(一) 求数列的最大项或最小项 求数列中的最大项的基本方法是 (1)利用不等式组(n≥2)确定数列的最大项；(2)利用不等式组(n≥2)确定数列的最小项．(3)利用函数或数列单调性求最大项或最小项.‎ ‎【例1】已知数列的通项公式为=,求的最大项．‎ ‎【分析】思路1 利用基本不等式求解.思路2 求满足的的值.‎ ‎【解法一】基本不等式法.‎ ‎==,因为；当且仅当,即n=时,而, 且n∈,于是将n=12或13代人,得且最大．‎ ‎【评注】解法一是是利用基本不等式求解,解法二是通过确定满足的的值,从而找到最大项 ‎【小试牛刀】在数列{an}中,an＝(n＋1)(n∈N*).‎ ‎(1)求证 数列{an}先递增,后递减；‎ ‎(2)求数列{an}的最大项.‎ ‎【解析】因an＝(n＋1)是积幂形式的式子且an＞0,所以可用作商法比较an与an－1的大小.‎ ‎(1)证明 令≥1(n≥2),即≥1,整理得≥,解得n≤10.‎ 令≥1,即≥1,整理得≥,解得n≥9.‎ ‎∴从第1项到第9项递增,从第10项起递减.‎ ‎(2)解 由(1)知a9＝a10＝最大.‎ ‎【点评】要证明数列{an}是单调的,可利用“{an}是递增数列⇔an＜an＋1,数列{an}是递减数列⇔an＞an＋1” 证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径,因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法.‎ ‎ (二) 数列前n项和最值问题 公差不为0的等差数列的前n项和的最值问题在高考中常出现,题型有小题也有大题,难度不大,求等差 数列前n项和最值的方法有 (1)利用{an}中项的单调性,求出其正负转折项．(2)利用二次函数的性质求最值．公差不为0的等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A,B为常数)．(3)利用求出Sn的最值.‎ ‎【例2】在等差数列{an}中,a1＝7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n＝8时Sn取最大值,则d的取值范围是________． * ‎ ‎【分析】知a1和S8最大,可以求出Sn关于d的表达式是关于n的二次函数,再用二次函数的最值 解决；还可用S8最大推出项的正负和变化规律,并利用所有正数项和最大．‎ ‎【小试牛刀】【安徽省宿州市2018届高三上 期第一次教 质量检测】在等差数列中， ，若它的前项和有最大值，则当时， 的最大值为（ ）‎ A. 11 B. 12 C. 13 D. 14‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列为等差数列，若，则，可得 ‎， ， ，， ‎ ‎， ，则当时， 的最大值为，故选 ‎ (三) 求满足数列的特定条件的的最值 ‎【例3】【贵州省凯里市第一中 2018届高三下 期一模】已知的前项和为，且成等差数列， ，数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【分析】先求和，再解不等式.‎ ‎【答案】C ‎【解析】，当时， ，由成等差数列可得，即，解得，故，则，故，由得，即，则，即，故的最小值为.‎ ‎【小试牛刀】【四川省2017年普通高考适应性测试】设数列各项为正数,且,.‎ ‎（Ⅰ）证明 数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）令,数列的前项和为,求使成立时的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）6‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,‎ ‎,‎ 则.‎ 不等式即为,‎ 所以,‎ 于是成立时的最小值为6. ‎ ‎(四) 求满足条件的参数的最值 ‎【例4】【山东省枣庄市2017届高三上 期期末】已知为各项均为正数的数列的前项和,.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设,数列的前项和为,若对恒成立,求实数的最大值.‎ ‎【分析】(1)首先求得的值,然后利用与的关系推出数列为等差数列,由此求得的通项公式；(2)首先结合（1）求得的表达式,然后用裂项法求得,再根据数列的单调性求得的最大值．‎ ‎【解析】(1)当时,由,得,即.‎ 又,解得.由,可知. ‎ 两式相减,得,即.‎ 由于,可得,即,‎ 所以是首项为,公差为的等差数列,所以.‎ ‎(2)由 ,可得 ‎.‎ 因为,所以,所以数列是递增数列,‎ 所以,所以实数的最大值是.‎ ‎【点评】(1) 求解与参数有关的问题,一般是分离变量,再构造新函数求解.(2)使用裂项法,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项．要注意由于数列中每一项均裂成一正一负两项,所以互为相反数的项合并为零后,所剩正数项与负数项的项数必是一样多的,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点．‎ ‎【小试牛刀】已知数列的通项公式为,前项和为,若对任意的正整数,不等式恒成立,则常数所能取得的最大整数为 . ‎ ‎【答案】5‎ 五、迁移运用 ‎1.【福建省福州市2018届高三上 期期末质检】设数列的前项和为， ，且.若，则的最大值为（ ）‎ A. 51 B. 52 C. 53 D. 54‎ ‎【答案】A ‎【解析】若为偶数，则， ， ，所以这样的偶数不存在 若为奇数，则 若，则当时成立 若，则当不成立 故选 点睛 本题是道数列的综合题目，考查了数列的求和时的最值问题，需要注意这里的分类讨论，当为偶数、为奇数时运用等差数列求和，将和的表达式写出 ，然后结合题意进行讨论 ‎2．【福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上 期阶段性考试】已知在各项为正数的等比数列中， 与的等比中项为4，则当取最小值时首项等于（ ）‎ A. 32 B. 16 C. 8 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】设各项为正数的等比数列的公比为 ‎∵与的等比中项为4 _ _ _X_X_ ]‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ 当且仅当，即时取等号，此时，故选A ‎3.【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛,】已知在正项等比数列中,存在两项满足,且,则的最小值是（ ）‎ A． B．2 C. D．‎ ‎【答案】A ‎4.【天津六校2017届高三上 期期中联考】已知数列满足 ,．若,,且数列是单调递增数列,则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,所以,因为数列是单调递增数列,所以当时；当时,,因此,选D.‎ ‎5.设an＝－3n2＋15n－18,则数列{an}中的最大项的值是(　　)．‎ A. B. C．4 D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵an＝－3＋,由二次函数性质,得当n＝2或3时,an最大,最大为0.‎ ‎6.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1＝13,S3＝S11,当Sn最大时,n的值是(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】 C　‎ ‎【解析一】由S3＝S11,得a4＋a5＋…＋a11＝0,根据等差数列的性质,可得a7＋a8＝0,根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a7＞0,a8＜0,故n＝7时,Sn最大．‎ ‎【解析二】由S3＝S11,可得3a1＋3d＝11a1＋55d,把a1＝13代入,得d＝－2,‎ 故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n,根据二次函数的性质,知当n＝7时,Sn最大．‎ ‎【解析三】根据a1＝13,S3＝S11,则这个数列的公差不等于零,且这个数列的和先是单调递增然后又单调递减,根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,得只有当n＝＝7时,Sn取得最大值．‎ ‎7.在数列{an}中,an＝,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是 (　　)‎ A．a1,a50 B．a1,a44 C．a45,a44 D．a45,a50‎ ‎【答案】C ‎【解析】an＝＝1＋,‎ ‎∴当n∈[1,44]时,{an}单调递减,当n∈[45,100]时,{an}单调递减,‎ 结合函数f(x)＝的图象可知,(an)max＝a45,(an)min＝a44,选C.‎ ‎8.已知函数,且,设等差数列的前项和为,若,则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得等差数列的通项公式和求和公式,代入由基本不等式可得．‎ 由题意可得或 解得a=1或a=-4,‎ 当a=-1时,,数列{an}不是等差数列；‎ 当a=-4时,,,‎ ‎,‎ 当且仅当,即时取等号,‎ ‎∵n为正数,故当n=3时原式取最小值,故选D．‎ ‎9．【天一大联考2017—2018 年高中毕业班阶段性测试】已知等差数列的通项公式为，前项和为，若不等式恒成立，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】[ ]‎ ‎【解析】由题可知 恒成立，即恒成立，设t=n+1，则，因为函数在， ，所以，所以M的最小值是 ‎10．【江苏省常州2018届高三上 期期末】各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为是各项均为正数的等比数列，且，所以 ‎，则，即，即，即的最小值为.‎ ‎11．【福建省闽侯县第八中 2018届高三上 期期末】已知数列的前项和为，且，则使得的最小正整数的值为__________． ‎ ‎【答案】‎ ‎12．【河北省承德市联校2018届高三上 期期末】设等差数列满足， ,则的最大值为________．‎ ‎【答案】512‎ ‎【解析】依题意有，解得，故.，故当时，取得最大值为.‎ ‎13．【新疆乌鲁木齐地区2018届高三第一次诊断】设是等差数列的前项和，若， ，则数列的最大项是第________项.‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】因为， ，所以 ‎ 所以最大, 为最小正数项,因此 最大,即最大项是第13项.‎ ‎14.【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列的前项和为，当时， ，且，设，则 的最小值是________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】当 时， ，即 ，展开化为 ∵正项数列的前项和为 ∴数列是等比数列，首项为1，公比为4．‎ ‎ ‎ ‎ 则 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 当且仅当即时等号成立.‎ 故答案为9‎ ‎15．【山西省太原市2018届高三上 期期末】已知数列的前项和为，且， ， .‎ ‎（1）求及数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的最大项.‎ ‎【解析】（1）由题得，解得，‎ 故，‎ 则时， ，令， 成立，‎ 所以数列的通项公式为.‎ ‎（2）， .‎ 当时， ，则，‎ 当时， ，则，[ ]‎ 故数列前3项依次递增，从第3项开始依次递减，‎ 所以数列的最大项为.‎ ‎16.【天津六校2017届高三上 期期中联考】已知各项都是正数的数列的前项和为,,‎ ‎（1） 求数列的通项公式；‎ ‎（2） 设数列满足 ,,数列的前项和,求证 ；‎ ‎（3） 若对任意恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）‎ ‎【解析】（1）时,‎ 是以为首项,为公差的等差数列 ‎ ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎, ,即 ‎ ‎（3）由得, 当且仅当时,有最大值, ‎ ‎17.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N*),且S3＋a3,S5＋a5,S4＋a4成等差数列．‎ ‎ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；‎ ‎ (Ⅱ)设Tn＝Sn－(n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．‎ ‎【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,‎ 因为S3＋a3,S5＋a5,S4＋a4成等差数列,‎ 所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5,‎ 即4a5＝a3,于是q2＝＝.‎ 又{an}不是递减数列且a1＝,所以q＝－.‎ 故等比数列{an}的通项公式为 an＝×＝(－1)n－1·.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得Sn＝1－＝ 当n为奇数时,Sn随n的增大而减小,‎ 所以1Sn－≥S2－＝－＝－.‎ 综上,对于n∈N*,总有－≤Sn－≤.‎ 所以数列{Tn}最大项的值为,最小项的值为－.‎ ‎18.公差不为零的等差数列{an}中,a1、a2、a5成等比数列,且该数列的前10项和为100．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=an﹣10,求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．‎ ‎【答案】（1）an=2n﹣1；（2）﹣25．‎ ‎【解析】（1）∵公差不为零的等差数列{an}中,a1、a2、a5成等比数列,‎ 且该数列的前10项和为100,‎ ‎∴,‎ ‎∴解得a1=1,d=2,‎ ‎∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．‎ ‎19.已知数列满足 ,,且 ‎,记集合.‎ ‎（1）若,写出集合的所有元素；‎ ‎（2）若集合存在一个元素时3的倍数,证明 的所有元素都是3的倍数；‎ ‎（3）求集合的元素个数的最大值.‎ 解析 （1）,,.‎ ‎（3）由,,,可归纳证明.因为是正整数,,所以是2的倍数.‎ 从而当时,是的倍数. * ‎ 如果是3的倍数,由（2）知对所有正整数,是3的倍数,因此当时,,这时,中的元素的个数不超过5.如果不是3的倍数,由（2）知,对所有的正整数,不是3的倍数,因此当时,,这时的元素的个数不超过8.‎ 当时,有8个元素.‎ 综上可知,集合的元素个数的最大值为8.‎