四川省遂宁市射洪中学2020届高三下学期月考 数学(理)

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四川省遂宁市射洪中学2020届高三下学期月考 数学(理)

射洪中学高三第二学月考试 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,,则 ‎ A. B.C. D.‎ ‎2.已知复数,则 ‎ A. B.‎3 ‎C.1 D.‎ ‎3.命题“”的否定是 ‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.等差数列的前项和为,已知,,则的值等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.在△ABC中,设三边AB,BC,CA的中点分别为E,F,D,则=‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.函数为奇函数的充要条件是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.某班有60名学生,一次考试的成绩服从正态分布,若,估计该班数学成绩在100分以上的人数为( )‎ A.12 B.‎20 ‎C.30 D.40‎ ‎9.函数在区间上的最大值与最小值的差记为,若 恒成立,则的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎10.已知是上的偶函数,且在上单调递减,则不等式的解集为 A. B. C. D.‎ ‎11.已知三棱锥中,,,,若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上,则此球的体积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.双曲线的右焦点为,为双曲线上的一点,且位于第一象限,直线分别交于曲线于两点,若为正三角形,则直线的斜率等于 ‎ A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.设函数,则____________.‎ ‎14.若,满足约束条件则当取最小值时,的值为__________.‎ ‎15.在的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,且所有 项的系数和为256,则含的项的系数为_________.‎ ‎16.如图所示,在平面四边形中,,,,,则四边形的面积的最大值是 .‎ 三、 解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)在中,角的对边分别为,且.‎ ‎(I)求角的大小;‎ ‎(II)若,的面积为,求.‎ ‎18.(12分)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重. 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如在的列联表:已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为.‎ ‎(Ⅰ)请将右面的列联表补充完整;‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ ‎(Ⅱ)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;‎ ‎(Ⅲ)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行其他方面的排查,记选出患胃病的女性人数为,求的分布列以及数学期望.‎ 下面的临界值表供参考: ‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式 其中)‎ ‎19.(12分)在五面体中,, ,‎ ‎,,平面平面.‎ ‎(I) 证明: 直线平面;‎ ‎(II) 已知为棱上的点,试确定点位置,使二面 角的大小为.‎ ‎20.(12分)已知函数 ‎(I)讨论函数的单调性;‎ ‎(II)证明:.‎ ‎21.(12分)已知圆,圆,动圆与圆外切并与圆内切,圆心的轨迹为曲线.‎ ‎(I)求的方程;‎ ‎(II)若直线与曲线交于两点,问是否在轴上存在一点,使得当变动时总有?若存在,请说明理由.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,曲线(为参数,).在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线.‎ ‎(I)若与曲线没有公共点,求的取值范围;‎ ‎(II)若曲线上存在点到距离的最大值为,求的值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ 已知函数,‎ ‎(I)解不等式 ‎(II)若对于,有,求证:.‎ 理科数学参考答案 ‎1.A 2.A 3.C 4.C 5.A 6.B 7.C 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D ‎13. 14.1 15.8. 16..‎ ‎17.(1)∵ ∴由正弦定理得:‎ ‎∵ ∴ ∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎∵ ∴‎ ‎(2)由得:‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎18.(Ⅰ)列联表补充如下 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎(Ⅱ)∵∴ ‎ ‎∵‎ ‎∴有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关 ‎(Ⅲ)根据题意,的值可能为0,1,2,3‎ ‎, , , ‎ 分布列如下: ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 则 ‎19.(1)∵, ∴‎ ‎∴四边形为菱形,∴∵平面平面,平面平面,‎ ‎∵∴平面∴,又∵∴直线平面 ‎(2)∵,∴为正三角形,取的中点,连接,则 ‎∴,∵平面平面,平面,平面平面,‎ ‎∴平面∵∴两两垂直以为原点,的方向为轴, ‎ 建立空间直角坐标系∵, ,∴‎ 由(1)知是平面的法向量∵,‎ 设,则.‎ 设平面的法向量为∵, ∴,‎ 令,则∴∵二面角为,‎ ‎∴ ,解得 ‎∴点靠近点的的三等分点处 ‎20.(1)解:,‎ ‎①若时,在上单调递减;②若时,当时,单调递减;当时,单调递增;‎ 综上,若时,在上单调递减;‎ 若时,在上单调递减;在上单调递增;‎ ‎(2)证明:要证,只需证,‎ 由(1)可知当时,,即,‎ 当时,上式两边取以为底的对数,可得,‎ 用代替可得,又可得,所以,‎ ‎,‎ 即原不等式成立.‎ ‎21.解:(1)得圆的圆心为,半径;圆的圆心,半径.设圆的圆心为,半径为.因为圆与圆外切并与圆内切,所以 由椭圆的定义可知,曲线是以为左右焦点,长半轴长为2,短半轴为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 ‎(2)假设存在满足.设 联立得,由韦达定理有 ‎①,其中恒成立,‎ 由(显然的斜率存在),故,即②,‎ 由两点在直线上,故代入②得:‎ 即有 ‎③‎ 将①代入③即有:④,要使得④与的取值无关,当且仅当“”时成立,综上所述存在,使得当变化时,总有 ‎22.解:(1)因为直线的极坐标方程为,即,‎ 所以直线的直角坐标方程为;因为(参数,)‎ 所以曲线的普通方程为,‎ 由消去得,,‎ 所以,解得,故的取值范围为. ‎ ‎(2)由(1)知直线的直角坐标方程为,‎ 故曲线上的点到的距离,‎ 故的最大值为由题设得,解得.又因为,所以.‎ ‎23.解:(1)不等式f(x)<x+1,等价于|2x﹣1|<x+1,即﹣x﹣1<2x﹣1<x+1,‎ 求得0<x<2,故不等式f(x)<x+1的解集为(0,2).‎ ‎(2),‎ 所以f(x)=|2x﹣1|=|2(x﹣y﹣1)+(2y+1)|≤|2(x﹣y﹣1)|+|(2y+1)|≤2+<1.‎
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