- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
2020届二轮复习圆锥曲线问题中同解思想问题学案(全国通用)
专题12 圆锥曲线问题中同解思想问题 同解思想简化运算的思路:构造方程,巧用韦达定理. 类型一 构造两个直线方程 典例1. 如图,在平面直角坐标系中,椭圆过点,离心率为,又椭圆内接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC,BD相交于点,且,. (1)求椭圆的方程; (2)求直线AB的斜率. A B C D x P y · O 【答案】(1)(2)-1. 【解析】(1)解:依题意,解得所求椭圆的方程为. (2)解:设,则. 由,得.代入椭圆方程, 得. 整理,得, 即. ③ 设,同理可得. ④ 由③④可得直线AB的方程为x+y=,所以AB直线斜率为-1. 类型二 构造两个二次方程 典例2 设平面直角坐标系xOy中,设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求: (1)求实数的取值范围; (2)求圆的方程; (3)问圆是否经过某定点(其坐标与无关)?请证明你的结论. 【答案】(1)且;(2)(3)(-2,1)和(0,1). 【解析】解:(1)由解得且; (2)设二次函数与x轴的两个交点分别为和,则和是关于的方程 的两个不同解,设圆方程为,将点,,(0,b)分别代入圆方程有 由前两个方程可知和是关于的方程的两个不同解,所以,代入第三个方程解得, 所以圆C方程为; (3)由(2)圆C方程整理为,令 解得或,可知圆C经过两个定点(-2,1)和(0,1). 类型三 构造一个二次方程两根 典例3 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程. 【答案】(1)(2) 【解析】(1) 椭圆C的标准方程为 (2)若有切线斜率不存在,则 若两切线斜率都存在,设切线方程为 代入椭圆得, 由判别式为零得:, 两条切线相互垂直,所以, 点P的轨迹方程为 1. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q. (1) 求椭圆C的方程; (2) 试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论. 【答案】(1)+=1.(2)为定值 【解析】解: (1) 由题设,得+=1,①且=,② 由①、②解得a2=6,b2=3,故椭圆C的方程为+=1. (2) 设直线MP的斜率为k,则直线MQ的斜率为-k, 假设∠PMQ为直角,则k·(-k)=-1,即k=±1. 若k=1,则直线MQ的方程为y+1=-(x+2), 与椭圆C方程联立,得x2+4x+4=0, 该方程有两个相等的实数根-2,不合题意; 同理,若k=-1也不合题意.故∠PMQ不可能为直角. 记P(x1,y1)、Q(x2,y2). 设直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0, 则-2,x1是该方程的两根,则-2x1=,即x1=. 设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),同理得x2=. 因y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),故kPQ=====1,因此直线PQ的斜率为定值. 2. 已知椭圆的中心在原点,长轴在x轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于两点. (1)求椭圆的标准方程; (2)证明两点的横坐标的平方和为定值; (3)过点的动圆记为圆,,已知动圆过定点和(异于点),请求出定点的坐标. 【答案】(1)(2)见解析(3)(0,1). 【解析】解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由题意得, , 椭圆的标准方程为; (2)证明:设点将带入椭圆, 化简得:① , , P,Q两点的横坐标的平方和为定值4. (3)法1:设圆的一般方程为:,则圆心为(), PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, 圆心()满足,所以② 圆过定点(2,0),所以③ 圆过, 则 两式相加得: , , ④ 因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以, 由②③④解得: 代入圆的方程为:, 整理得:, 所以: 解得:或(舍). 所以圆过定点(0,1). 法2:设圆的一般方程为:,联立消去y得到:⑤,由题可知方程①和⑤同解 所以整理得,又有圆过点,可得且 ,由上述三个方程联立可得 ,余下同法一. 3. 设斜率为的直线与椭圆相交于两个不同点(也不同于椭圆的右顶点),则过的圆恒过一个异于点的顶点 【答案】见解析 【解析】证明:设圆的一般方程为,直线的方程为:。将直线方程代入圆的方程得: (1) 联立直线与椭圆方程得: (2) 方程(1)与方程(2)为同解方程,所以 又圆过点A ,则 从而我们可得到关于的三元一次方程组 解得上述方程组的解为: 代入圆的方程为: 整理得: 所以 解得: 或(舍) 故得证 注:最后解得一元二次方程: 查看更多