2020届二轮复习圆锥曲线问题中同解思想问题学案(全国通用)

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2020届二轮复习圆锥曲线问题中同解思想问题学案(全国通用)

‎ 专题12 圆锥曲线问题中同解思想问题 同解思想简化运算的思路:构造方程,巧用韦达定理.‎ 类型一 构造两个直线方程 典例1. 如图,在平面直角坐标系中,椭圆过点,离心率为,又椭圆内接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC,BD相交于点,且,.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求直线AB的斜率.‎ A B C D x P y ‎·‎ O ‎【答案】(1)(2)-1.‎ ‎【解析】(1)解:依题意,解得所求椭圆的方程为. ‎ ‎(2)解:设,则.‎ 由,得.代入椭圆方程,‎ 得.‎ 整理,得, ‎ 即. ③‎ 设,同理可得. ④‎ 由③④可得直线AB的方程为x+y=,所以AB直线斜率为-1.‎ 类型二 构造两个二次方程 典例2 设平面直角坐标系xOy中,设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为C.求:‎ ‎(1)求实数的取值范围;‎ ‎(2)求圆的方程;‎ ‎(3)问圆是否经过某定点(其坐标与无关)?请证明你的结论.‎ ‎【答案】(1)且;(2)(3)(-2,1)和(0,1).‎ ‎【解析】解:(1)由解得且;‎ ‎ (2)设二次函数与x轴的两个交点分别为和,则和是关于的方程 的两个不同解,设圆方程为,将点,,(0,b)分别代入圆方程有 ‎ 由前两个方程可知和是关于的方程的两个不同解,所以,代入第三个方程解得,‎ 所以圆C方程为;‎ ‎(3)由(2)圆C方程整理为,令 解得或,可知圆C经过两个定点(-2,1)和(0,1).‎ 类型三 构造一个二次方程两根 典例3 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)‎ 椭圆C的标准方程为 ‎(2)若有切线斜率不存在,则 若两切线斜率都存在,设切线方程为 代入椭圆得,‎ 由判别式为零得:,‎ 两条切线相互垂直,所以,‎ 点P的轨迹方程为 ‎1. 已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.‎ ‎(1) 求椭圆C的方程;‎ ‎(2) 试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.‎ ‎【答案】(1)+=1.(2)为定值 ‎【解析】解: (1) 由题设,得+=1,①且=,②‎ 由①、②解得a2=6,b2=3,故椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2) 设直线MP的斜率为k,则直线MQ的斜率为-k,‎ 假设∠PMQ为直角,则k·(-k)=-1,即k=±1.‎ 若k=1,则直线MQ的方程为y+1=-(x+2),‎ 与椭圆C方程联立,得x2+4x+4=0,‎ 该方程有两个相等的实数根-2,不合题意;‎ 同理,若k=-1也不合题意.故∠PMQ不可能为直角.‎ 记P(x1,y1)、Q(x2,y2).‎ 设直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,‎ 则-2,x1是该方程的两根,则-2x1=,即x1=.‎ 设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),同理得x2=.‎ 因y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),故kPQ=====1,因此直线PQ的斜率为定值.‎ ‎2. 已知椭圆的中心在原点,长轴在x轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过A点的动直线交椭圆于两点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)证明两点的横坐标的平方和为定值;‎ ‎(3)过点的动圆记为圆,,已知动圆过定点和(异于点),请求出定点的坐标. ‎ ‎【答案】(1)(2)见解析(3)(0,1).‎ ‎【解析】解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由题意得, , 椭圆的标准方程为;‎ ‎(2)证明:设点将带入椭圆,‎ 化简得:①‎ ‎, , ‎ P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.‎ ‎(3)法1:设圆的一般方程为:,则圆心为(),‎ PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为:, ‎ 圆心()满足,所以②‎ 圆过定点(2,0),所以③‎ 圆过, 则 两式相加得:‎ ‎ ,‎ ‎, ④‎ 因为动直线与椭圆C交与P,Q(均不与A点重合)所以,‎ 由②③④解得: ‎ 代入圆的方程为:,‎ 整理得:,‎ 所以: 解得:或(舍). ‎ 所以圆过定点(0,1).‎ 法2:设圆的一般方程为:,联立消去y得到:⑤,由题可知方程①和⑤同解 所以整理得,又有圆过点,可得且 ‎,由上述三个方程联立可得 ‎,余下同法一.‎ ‎3. 设斜率为的直线与椭圆相交于两个不同点(也不同于椭圆的右顶点),则过的圆恒过一个异于点的顶点 ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】证明:设圆的一般方程为,直线的方程为:。将直线方程代入圆的方程得: (1)‎ 联立直线与椭圆方程得: (2)‎ 方程(1)与方程(2)为同解方程,所以 又圆过点A ,则 从而我们可得到关于的三元一次方程组 解得上述方程组的解为:‎ 代入圆的方程为:‎ 整理得:‎ 所以 解得:‎ 或(舍)‎ 故得证 注:最后解得一元二次方程: ‎
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