天津市第一中学2020届高三上学期月考数学试题

天津市第一中学2020届高三上学期月考数学试题

天津一中2019-2020高三年级二月考数学试卷 本试卷共150分,考试用时120分钟.考生务必将答案涂写在答题纸规定位置上,答在试卷上无效.‎ 一、选择题：本大题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数=（ ）‎ A. -4+ 2i B. 4- 2i C. 2- 4i D. 2+4i ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，=．‎ 考点：复数的运算.‎ ‎2.设函数的定义域为,不等式的解集为,则为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合M，N，按补集的概念求出集合，最后进行交集运算即可.‎ ‎【详解】,或,‎ ‎，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查集合的基本运算，求解时注意端点值，属于基础题.‎ ‎3.下列命题中是假命题的是（ ）‎ A. ，使是幂函数 B. ，使 C. ，函数都不是偶函数 D. ，函数有零点 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的概念可判断A选项；当时，，B选项正确；当时，为偶函数，C选项正确；设则，当时一定有解，D选项正确.‎ ‎【详解】A选项，因为是幂函数，所以，即，此时为幂函数，故A正确；‎ B选项，当时，，‎ ‎，即；‎ C选项，当时，为偶函数，故C错误；‎ D选项，由得，‎ 设则，所以当时一定有解，即，函数有零点，故D正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查幂函数的概念，特殊角的三角函数值，函数的奇偶性，函数与方程，属于中档题.‎ ‎4.已知中，是边上的点，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，利用余弦定理可得，从而，即，在中，利用正弦定理，即可得解.‎ ‎【详解】设，因为，，，‎ 所以，，，‎ 在中，，‎ 所以，,‎ 在中，，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理的运用，解题的关键是确定余弦定理、正弦定理运用的三角形，属于基础题.‎ ‎5.已知等差数列的公差,前项和为,若成等比数列,则（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断与的符号.‎ ‎【详解】由题意可得，即有 化简得，因为，所以，‎ 因为，所以，.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查等比数列的性质，等差数列的通项公式与前n项和，属于基础题.‎ ‎6.在中,是以为第三项,为第七项的等差数列的公差,是以为第三项,为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：因为是以为第三项,为第七项的等差数列的公差，因此4d=8,d=2，所以=2，是以为第三项,为第六项的等比数列的公比,q3="27,q=3,"=3,所以tan(A+B)=‎ ‎,所以三角形就是锐角三角形．‎ ‎7.数列满足，对，都有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，利用累加法可求得，所以 ‎，根据列项相消法求得和.‎ ‎【详解】因为对，都有且，所以，则，‎ ‎， ‎ 所以 ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查累加法求数列通项公式，列项相消法求数列前n项和，属于中档题.‎ ‎8.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出当时不等式解集，在根据偶函数的对称性求出当时不等式的解集，从而求出的解集，则，即可得解.‎ ‎【详解】当时,的解为；‎ 当时，根据偶函数图像的对称性知不等式的解为，‎ 所以不等式的解集为，‎ 所以不等式的解集为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查偶函数的性质，涉及一元二次不等式，属于基础题.‎ ‎9.函数，若方程有且只有两个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在同一坐标系中画出的图像与的图像，利用数形结合，易求出满足条件的实数的取值范围.‎ ‎【详解】画出函数图像如下：‎ 当时，函数的图像与的图像有两个交点，‎ 即方程有且只有两个不等的实根.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查分段函数的图像，根的存在性及根的个数的判断，将方程根的个数转化为求函数零点的个数，并用图像法进行解答是本题的关键，属于基础题.‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎10.某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,则选出的4人中恰有3名男生的概率_.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎4人中恰有3名男生只能是3名男生和1名女生的组合，利用古典概型的概率求解即可.‎ ‎【详解】根据题意从10人中选出4人恰有3名男生只能是3名男生1名女生，‎ 概率为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查随机事件的概率，古典概型，属于基础题.‎ ‎11.设，，，则从小到大顺序为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数、对数函数的单调性分别判断三个数与0,1之间的大小关系，即可比较出大小.‎ ‎【详解】因为，，，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用指数、对数函数的单调性比较数式的大小，属于基础题.‎ ‎12.已知，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：利用题设中的等式，把的表达式转化成，展开后，利用基本不等式求得y的最小值.‎ 详解：因为，所以，所以（当且仅当时等号成立），则的最小值是，总上所述，答案为.‎ 点睛：‎ 该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情况下求其分式形式和的最值的问题，在求解的过程中，注意相乘，之后应用基本不等式求最值即可，在做乘积运算的时候要注意乘1是不变的，如果不是1，要做除法运算.‎ ‎13.已知,坐标原点在上的射影为点，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：经过A、B两点的直线方程为：，设，因为，所以，由于，，则，解得，，所以．‎ 考点：向量的数量积 点评：本题用到向量垂直的结论：．在向量中，还有另一个重要的结论：．‎ ‎14.等差数列中，，，等比数列中，，，则满足的最小正整数是__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出公差，即可写出的通项公式，再求出等比数列的公比及通项公式，代入不等式中化简，由指数函数的单调性求解不等式即可.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，‎ ‎，则，，‎ 所以，，，‎ 因为，所以，化简得，解得，‎ 满足条件最小正整数的值为6.‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】本题考查等差数列、等比数列基本量的求解，涉及利用指数函数单调性求解不等式，属于基础题.‎ ‎15.对任给实数,不等式恒成立,则实数的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式变形为，利用换元法构造新函数，通过函数的导数研究函数的单调性与最值即可得解.‎ ‎【详解】因为对任给实数,不等式恒成立，‎ 所以，‎ 令，则，‎ ‎，‎ 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，‎ 所以当时，取得最小值，，‎ 所以实数的最大值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题：共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.已知.‎ ‎（1）求最小正周期及对称轴方程；‎ ‎（2）求在的值域；‎ ‎（3）已知锐角的内角的对边分别为，，，求边上的高的最大值.‎ ‎【答案】（1），对称轴方程为（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)逆用两角和与差的余弦公式化简函数解析式，再根据余弦型函数的周期及对称性求解即可；(2)根据对称轴分析出函数在上的单调性，从而求出值域；(3)先由求出角A，再根据余弦定理及基本不等式求出，再三角形面积公式求得，代入bc的范围即可得解.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎，对称轴方程为，；‎ ‎（2）当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ ‎，，，‎ 所以 ‎（3）因为，且三角形为锐角三角形，所以，‎ 解得，，‎ 由余弦定理得，‎ 即，解得，当且仅当时等号成立，‎ 因为，所以 当且仅当时，.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的综合应用，涉及两角和与差的余弦公式，余弦型函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题.‎ ‎17.已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆短轴的一个端点，的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）若是椭圆上异于顶点的四个点与相交于点，且,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意列出方程组，求解即可求得椭圆的标准方程；(2) 设，直线方程为，与椭圆方程联立求出，利用弦长公式求出，同理求出，从而表示出，根据题意求出k的取值范围从而求出的范围.‎ ‎【详解】解：（1），代入可得，‎ 解得，则，， ‎ 椭圆方程：‎ ‎（2），设，直线方程为，‎ 联立直线AC方程与椭圆方程可得，‎ ‎，‎ 因为，所以直线BD的方程为，‎ 把代入可得，‎ 因为是椭圆上异于顶点的四个点与，所以两条直线均不过点 ‎，所以，‎ 因为，所以，‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，韦达定理，弦长公式，属于较难题.‎ ‎18.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n+1)(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足：，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(3)令(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（1） ；(2);（3） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．n=1时，a1=S1=2，即可得出;（2）数列{bn}满足：an=，可得n≥2时，an﹣an﹣1==2．n=1时，=a1=2，可得b1;（3）cn===n•3n+n，令数列{n•3n}的前n项和为An，利用错位相减法即可得出An．进而得出数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【详解】（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n∈N*），‎ ‎∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣n（n﹣1）=2n．‎ n=1时，a1=S1=2，对于上式也成立．‎ ‎∴an=2n．‎ ‎（2）数列{bn}满足：an=+++…+，∴n≥2时，an﹣an﹣1==2．‎ ‎∴bn=2（3n+1）．‎ n=1时，=a1=2，可得b1=8，对于上式也成立．‎ ‎∴bn=2（3n+1）．‎ ‎（3）cn===n•3n+n，‎ 令数列{n•3n}的前n项和为An，则An=3+2×32+3×33+…+n•3n，‎ ‎∴3An=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，‎ ‎∴﹣2An=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，‎ 可得An=．‎ ‎∴数列{cn}的前n项和Tn=+．‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、方程思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.‎ ‎19.已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，数列的前项和，，且.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎（3）设，，的前项和，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）当为偶数时，；当为奇数时，（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意列出方程组，求出、，从而得到的通项公式，当时，，化简可得是首项为1的常数列，即可求得的通项公式；(2)分类讨论，当为偶数时，，分别利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和即可，当为奇数时，由可求得结果；(3)裂项法可得，从而求得.‎ ‎【详解】解；（1）因为，所以，‎ ‎，解得 所以，‎ 当时，，即，‎ ‎∴是首项为1的常数列，‎ ‎∴；‎ ‎（2）‎ 当为偶数时，‎ 当为奇数时，‎ ‎（3）‎ ‎【点睛】本题考查数列的综合，等差数列、等比数列通项公式、前n项和的求解，分组求和法，裂项相消法求和，计算时一定要数对项数，属于较难题.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若关于不等式恒成立，求整数的最小值；‎ ‎（3）若正实数满足，证明：.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间为（2）（3）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出函数的定义域与导数，通过导数的符号求函数的单调区间；(2)问题转化为恒成立，先求，然后分别讨论当和时函数的单调性，根据单调性求的最大值，若最大值小于零，则不等式恒成立，否则不恒成立，由此确定整数的最小值；(3) 由题意得，即，因为均为正实数，令，分析确定其最小值，也就是的最小值，所以解不等式可以确定，命题得证.‎ ‎【详解】解：（1）定义域为 由，即，解得或 ‎∴单调递减区间为.‎ ‎（2）设 不等式恒成立等价于恒成立，‎ 当时，则，，‎ 所以，在上单调递增，‎ 因为，不符合题意；‎ 当时，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 单调递增 极大值 单调递减 设在单调递减且 所以当时，‎ 所以整数的最小值为2；‎ ‎(3)由题意得，‎ 即，‎ 令，，则，‎ 在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，‎ 所以，令，‎ 则且，解得成立.‎ ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中作用，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的极值与最值，不等式恒成立问题，涉及求基本初等函数的导数，一元二次函数的性质，分类讨论思想，属于难题.‎