黑龙江省大庆实验中学2020届高三下学期开学考试数学（理）试题

黑龙江省大庆实验中学2020届高三下学期开学考试数学（理）试题

大庆实验中学高三“战疫”线上开学考试理科数学综合测试（一）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数满足（为虚数单位），则的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列说法中正确的是（ ）‎ A．“”是“”成立的充分不必要条件 ‎ B．命题，则 C．为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40‎ D．已知回归直线的斜率为1.23，样本点的中心为，则回归直线方程为.‎ ‎4．函数的大致图像是（　　）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ）‎ A．甲不是海南人 B．湖南人比甲年龄小 C．湖南人比河南人年龄大D．海南人年龄最小 ‎6.已知实数满足，则的最小值为（　　）‎ A． B． C．1 D．6‎ ‎7．若把单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）‎ A．179 B．‎181 ‎C．193 D．205‎ ‎8．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质描述错误的是（ ）‎ A．函数在区间上单调递增 B．函数图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递减 D．函数图象关于点对称 ‎9．1772年德国的天文学家J.E.波得发现了求太阳和行星距离的法则。记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如下表：‎ 星名 水星 金星 地球 火星 木星 土星 与太阳的距离 ‎4‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎16‎ ‎52‎ ‎100‎ 除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当时德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳的平均距离为28处还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐通过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳平均距离为28的谷神星。请你根据这个定则，估算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是 A．388 B．‎772 ‎C．1540 D．3076‎ ‎10.阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德，欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值的动点的轨迹。已知在中，角所对的边分别为，且则面积的最大值为 A. B. C. D.‎ ‎11. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知与的图像至少有三个不同的公共点，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．已知，则__________.‎ ‎14．已知，则展开式中的常数项为______．‎ ‎15．已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为__________.‎ ‎16.已知实数满足其中是自然对数的底数，则 三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤.‎ 17. ‎（本小题满分12分）‎ 已知数列的各项均为正数，且其中为数列的前项和 （1） 求数列的通项公式 （1） 设数列满足，求数列的前项和 17. ‎（本小题满分12分）‎ 随着科技的发展，网络已逐渐融入人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到下表（单位：人）‎ 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 ‎50‎ ‎100‎ 女性 ‎70‎ ‎100‎ 合计 ‎（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？‎ ‎（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；‎ ‎②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．‎ 参考公式：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，分别是棱的中点，，，直线与平面所成的角的正弦值为.‎ （1） 证明：平面；‎ （1） 求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图,椭圆的左、右焦点分别为轴,直线交y轴于点,为椭圆E上的动点,△的面积的最大值为1.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)如图,过点作两条直线与椭圆E分别交于A,B,C,D,且使AD⊥x轴,问四边形ABCD的两条对角线的交点是不是定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若，函数的极大值为，求实数的值；‎ ‎（2）若对任意的，，在上恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 22. ‎（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线C的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎(1)求曲线C的参数方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线与 轴和y轴分别交于A，B两点，P为曲线C上的动点，求△PAB面积的最大值．‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数的最大值是，其中 （1）求的值； （2）若实数满足，且，求证：‎ ABDDD AACBC CB ‎13. 14.-160 15.6 16.‎ 17. ‎（1）‎ （2） 由题意知，，‎ ‎18.解：（1）完成列联表（单位：人）：‎ 经常网购 偶尔或不用网购 合计 男性 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 女性 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 合计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ 由列联表，得：，‎ ‎∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．‎ ‎（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，‎ ‎∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：．‎ ‎② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，‎ ‎∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，‎ 由题意，∴随机变量的数学期望，方差D（X）=．‎ ‎20.解析　(1)设M(c,yM),由题意可得+=1,即yM=.‎ ‎∵OH是△F‎1F2M的中位线,且OH=,‎ ‎∴|MF2|=,即=,整理得a2=2b4,①‎ 又由题知,当Q在椭圆E的上、下顶点时,△F‎1F2Q的面积最大,∴()max=·‎2c·b=1,整理得bc=1,即b2(a2-b2)=1,②‎ 联立①②可得2b6-b4=1,变形得(b2-1)(2b4+b2+1)=0,解得b2=1,进而a2=2.‎ ‎∴椭圆E的方程为+y2=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),C(x2,y2),则由对称性可知D(x1,-y1),B(x2,-y2),设直线AC与x轴交于点(t,0),直线AC的方程为x=my+t(m≠0),‎ 联立消去x,得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,‎ ‎∴y1+y2=,y1y2=,由A,B,S三点共线有kAS=kBS,‎ 即=,将x1=my1+t,x2=my2+t,代入整理得2my1y2+(t-4)(y1+y2)=0,从而=0,化简得‎2m(4t-2)=0,解得t=.‎ 于是直线AC的方程为x=my+,故直线AC过定点.‎ 同理可得BD过定点.‎ ‎∴直线AC与BD的交点是定点,定点坐标为.‎ ‎21（1）由题意，‎ ‎.‎ ‎①当时，，‎ 令，得；，得，‎ 所以在单调递增单调递减.‎ 所以的极大值为，不合题意.‎ ‎②当时，，‎ 令，得；，得或，‎ 所以在单调递增，，单调递减.‎ 所以的极大值为，得.‎ 综上所述. ‎ ‎（2）令，‎ 当时，，‎ 故上递增， ‎ 原问题上恒成立 ‎ ‎①当时，，，，‎ 此时，不合题意. ‎ ‎②当时，令，，‎ 则，其中，，‎ 令，则在区间上单调递增 ‎（ⅰ）时，，‎ 所以对，，从而在上单调递增，‎ 所以对任意，，‎ 即不等式在上恒成立. ‎ ‎（ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，‎ 所以存在唯一的使得，且时，.‎ 从而时，，所以在区间上单调递减，‎ 则时，，即，不符合题意.‎ 综上所述，.‎ ‎22.【详解】‎ ‎（1）由，得的参数方程为（为参数）‎ 由，得直线的直角坐标方程为 ‎（2）在中分别令和可得：，‎ 设曲线上点，则到距离：‎ ‎，其中：，‎ 当，‎ 所以面积的最大值为 ‎23.【答案】：（1）；（2）见解析 ‎ ‎【解析】： （1）‎ 当时取得最大值 则 ‎（2）由（1）有 又（当且仅当时等号成立）‎