2018届二轮复习不等式、推理与证明：数学归纳法及其应用学案（全国通用）

2018届二轮复习不等式、推理与证明：数学归纳法及其应用学案（全国通用）

数 归纳法及其应用 ‎【考点梳理】‎ ‎1.数 归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；‎ ‎(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.‎ ‎2.数 归纳法的框图表示 ‎【考点突破】‎ 考点一、用数 归纳法证明等式 ‎【例1】用数 归纳法证明：‎ ＋＋＋…＋＝(n∈N*).‎ ‎[解析]证明：(1)当n＝1时，‎ 左边＝＝，‎ 右边＝＝，‎ 左边＝右边，所以等式成立.‎ ‎(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝，‎ 则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋ ‎＝＋＝ ‎＝＝＝.‎ 所以当n＝k＋1时，等式也成立，‎ 由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．用数 归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.‎ ‎2．由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数 归纳法.‎ ‎【对点训练】‎ 求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*).‎ ‎[解析]证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，‎ 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ 左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1)‎ ‎＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)‎ ‎＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2‎ ‎＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，‎ 所以当n＝k＋1时等式也成立.‎ 根据(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立.‎ 考点二、用数 归纳法证明不等式 ‎【例2】等比数列{an}的前n项和为Sn.已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0，且b≠1，b，r均为常数)的图象上.‎ ‎(1)求r的值；‎ ‎(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*).‎ 证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立.‎ ‎[解析] (1)解　由题意，Sn＝bn＋r，‎ 当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，‎ 所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，‎ 由于b>0，且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，＝b，即＝b，解得r＝－1.‎ ‎(2)证明　由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为··…·>.‎ ‎①当n＝1时，左式＝，右式＝，‎ 左式>右式，所以结论成立.‎ ‎②假设n＝k时结论成立，即··…·>，‎ 则当n＝k＋1时，··…··>·＝，‎ 要证当n＝k＋1时结论成立，‎ 只需证≥，‎ 即证≥，‎ 由基本不等式可得 ＝≥成立，‎ 故≥成立，所以当n＝k＋1时，结论成立.‎ 根据①②可知，n∈N*时，‎ 不等式··…·>成立.‎ ‎【类题通法】‎ 应用数 归纳法证明不等式应注意的问题 ‎1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数 归纳法.‎ ‎2．用数 归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，‎ 证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.‎ ‎【对点训练】‎ 求证：＋＋…＋0)，‎ 则f′(x)＝>0，∴f(x)在(0，＋∞)上递增，‎ ‎∴f(x)>f(0)＝0，∵>0，‎ ‎∴f>0，即ln－>0，‎ 即ln－>0，‎ ‎∴ln(k＋2)－ln(k＋1)－>0，即ln(k＋1)＋0，n∈N*.‎ ‎(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明(1)中的猜想.‎ ‎[解析] (1)解　当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，即a＋2a1－2＝0.‎ ‎∴a1＝－1(a1>0).‎ 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，‎ 将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.‎ ‎∴a2＝－(a2>0).同理可得a3＝－.‎ 猜想an＝－(n∈N*).‎ ‎(2)证明　①由(1)知，当n＝1，2，3时，通项公式成立.‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，‎ 即ak＝－.‎ 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，‎ 将ak＝－代入上式，整理得 a＋2ak＋1－2＝0，‎ ‎∴ak＋1＝－，‎ 即n＝k＋1时通项公式成立.‎ 根据①②可知，对所有n∈N*，an＝－成立.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．利用数 归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.‎ ‎2．“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.‎ ‎【对点训练】‎ 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数.‎ ‎(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；‎ ‎(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎[解析]由题设得，g(x)＝(x≥0).‎ ‎(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可猜想gn(x)＝.‎ 下面用数 归纳法证明.‎ ‎①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立.‎ ‎②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝.‎ 那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))‎ ‎＝＝＝，即结论成立.‎ 根据①②可知，结论对n∈N*成立.‎ ‎(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立.‎ 设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，‎ 则φ′(x)＝－＝，‎ 当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，‎ ‎∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增.‎ 又φ(0)＝0，‎ ‎∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立).‎ 当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)≤0，‎ ‎∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，‎ ‎∴φ(a－1)<φ(0)＝0.‎ 即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，‎ ‎∴ln(1＋x)≥不恒成立，‎ 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，1].‎