【数学】安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三5月模拟（理）（解析版）

【数学】安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三5月模拟（理）（解析版）

安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三5月模拟（理）‎ 全卷满分150分，考试用时120分钟 第I卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) ‎ ‎1.集合，,则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.若复数满足，其中为虚数单位，则 ‎ A. B. ‎ C. 1 D. 2‎ ‎3.已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是 A. 乙班的理科综合成绩强于甲班 B. 甲班的文科综合成绩强于乙班 C. 两班的英语平均分分差最大 D. 两班的语文平均分分差最小 ‎4.已知各项均不相等的等比数列成等差数列，设为数列的前n项和，则等于 A. B. ‎ C. 3 D. 1‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，令，若，则实数a的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的表面积是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.设、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足， ， ，用、、分别表示、、的面积，则的最大值是 ‎ A. B. 2 ‎ C. 4 D. 8‎ ‎8.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是 ‎ A. 要得到函数的图象只将的图象向右平移个单位 B. 函数的图象关于直线对称 C. 当时，函数的最小值为 D. 函数在上单调递增 ‎10.已知函数，则的大致图象为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11.已知定义在R上的偶函数（函数f(x)的导函数为）满足 ‎，e3f(2018)＝1，若，则关于x的不等式的解集为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12.已知函数，若函数在区间上恰有两个不同的零点，则实数的取值范围 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.代数式的展开式的常数项是________（用数字作答）‎ ‎14.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若则__________．(用M表示)‎ ‎15.已知点分别是双曲线的左、右焦点， 为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足， ，则双曲线的离心率的取值范围为__________．‎ ‎16.若变量满足约束条件，且的最小值为，则__________．‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎(I)求函数的最小正周期和最小值；‎ ‎(II)在中，A，B，C的对边分别为，已知，求a，b的值．‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为和之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设为用水量吨数在中的获奖的家庭数，为用水量吨数在中的获奖家庭数，记随机变量，求的分布列和数学期望．‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，四边形为等腰梯形沿折起，使得平面平面为的中点，连接（如图2）.‎ 图1 图2‎ ‎（Ⅰ）求证： ；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知点是拋物线的焦点, 若点在上,且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若直线经过点且与交于（异于）两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知，函数，．‎ 求证：；‎ 讨论函数零点的个数．‎ ‎22.选修4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (其中为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）把曲线的方程化为普通方程， 的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线， 相交于两点， 的中点为，过点做曲线的垂线交曲线于两点，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求证： ．‎ 参考答案 ‎1.B ‎【解析】根据题意得到集合M的解集，再由集合的补集的概念得到 ，最后由交集的概念得到结果.‎ ‎，=，‎ ‎ ，则.故答案为：B.‎ ‎2.C ‎【解析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.‎ 详解：由题意可得：，‎ 则.本题选择C选项.‎ ‎3.D ‎【解析】先对图象数据进行处理,再逐一进行判断即可得到结果.‎ 由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得： 乙班的理科综合成绩强于甲班,即选项正确，‎ 甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项正确， 两班的英语平均分分差最大，即选项正确，‎ 两班地理平均分分差最小，即选项错误，故选D.‎ ‎4.A ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q，由3a2，2a3，a4成等差数列，可得2×2a3=3a2+a4，4a2q=3,解得q．利用通项公式与求和公式即可得出．‎ 设等比数列{an}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，‎ ‎∴2×2a3=3a2+a4，‎ ‎∴4a2q=3，化为q2﹣4q+3=0，‎ 解得q=1或3．‎ q=1时， ,‎ q=2时， .故选：A．‎ ‎5.D ‎【解析】该程序的功能是计算并输出分段函数.‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，，无解.‎ 综上，，则实数a的取值范围是.故选D.‎ ‎6.C ‎【解析】详解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是如图所示的三棱锥，三棱锥的高 ， 且侧面底面 ‎ ‎ ∴ ，的外接圆的圆心为斜边的中点 ，设该几何体的外接球的球心为 底面， 设外接球的半径为 则 ‎ 解得 ‎ ‎ ，∴外接球的表面积．故选C．‎ ‎7.B ‎【解析】设， ， ‎ ‎∵， ， ∴， ， 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即 ‎∵、、分别表示、、的面积 ‎∴，当且仅当时取等号 ‎∴的最大值是。故选B ‎8.D ‎【解析】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为，以为直径的圆的方程为． ‎ 由，解得，故点P的坐标为；‎ 由，解得，故点Q的坐标为． ‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，整理得，‎ ‎∴，故得，解得．选D．‎ ‎9.A ‎【解析】利用题设中的图像特征求出函数的解析式后可判断出A是正确的.‎ 因为的最大值为，故，又图象相邻两条对称轴之间的距离为，故即，所以，‎ 令，则即，‎ 因，故，.‎ ‎，故向右平移个单位后可以得到，故A正确；‎ ‎，故函数图像的对称中心为，故B错；‎ 当时，，故，故C错；‎ 当时，，在为减函数，故D错.综上，选A.‎ ‎10.A ‎【解析】可以排除法，利用奇偶性可排除选项；利用，可排除选项，从而可得结果.‎ 因为，‎ 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；‎ 又因为，可排除选项.故选A.‎ ‎11.B ‎【解析】是偶函数， ， ， ， ，即，设，则， 在上递增，由，得，相减可得， 的周期为， ， ， ，结合的周期为可化为， ， 不等式解集为，故选B.‎ ‎12.C ‎【解析】设，则，即，则，所以问题转化为在区间上恰有两个不同的零点，即在区间上恰有两个不同的零点，设，则，则问题转化为在区间上有两个不同的零点，结合二次函数图像可知，应满足，解得，故选择C.‎ ‎13.3‎ ‎【解析】的通项公式为.‎ 令，得；令，得.‎ ‎∴常数项为。故答案为.‎ ‎14.‎ ‎【解析】详解：由“斐波那契”数列可知 ‎ ‎ ‎ 。‎ ‎ 所以 ，‎ ‎ 所以 ‎ ‎15.‎ ‎【解析】由，可得，‎ 故为直角三角形，且，‎ ‎∴．‎ 由双曲线定义可得．‎ ‎∵，‎ ‎∴，可得．‎ 又，‎ 整理得．‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴，即双曲线的离心率的取值范围为．答案： ‎ ‎16.‎ ‎【解析】目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，‎ ‎∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为﹣1，‎ 则平面区域位于直线y=﹣3x+z的右上方，即3x+y=﹣8，‎ 作出不等式组对应的平面区域是一个封闭的三角形，‎ 则目标函数经过点A时，目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，‎ 代入得到 故答案为：-2.‎ ‎17.(Ⅰ) 的最小正周期,最小值为-4; (Ⅱ) .‎ ‎【解析】(Ⅰ)‎ ‎ ，‎ 所以的最小正周期,最小值为. ‎ ‎(Ⅱ)因为所以.‎ 又所以，得.因为 ‎，由正弦定理得，由余弦定理得，，‎ 又c=a，所以.‎ ‎18.（Ⅰ）30万；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由图，不低于3吨人数所占百分比为 所以假设全市的人数为（万人），则有，解得 所以估计全市人数为30万.‎ ‎（Ⅱ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，因为频率 ，‎ 所以，得，‎ 用水量在之间的户数为户，而用水量在吨之间的户数为户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，所以用水量在之间应抽取的户数为户，而用水量在吨之间的户数为户．‎ 据题意可知随机变量的取值为0,2,4．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 其分布列为：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 期望为：．‎ ‎19. （Ⅰ）,则,，又因为平面 平面且平面 平面 ，所以平面，从而．‎ ‎（Ⅱ）取AC中点F，连接EF、EC.，设E点到平面BCD的距离为，，,‎ DE与平面BCD所成角为，则.‎ ‎20. 解析：（1）由抛物线定义知,则,解得,又点在上, 代入,得,解得．‎ ‎（2）由（1）得,当直线经过点且垂直于轴时, 此时,‎ 则直线的斜率,直线的斜率,所以．当直线不垂直于轴时, 设,‎ 则直线的斜率,同理直线的斜率,设直线的斜率为,且经过,则 直线的方程为．联立方程,消得, ,‎ 所以,故,‎ 综上, 直线与直线的斜率之积为．‎ ‎21. ‎ 证明：设，则，‎ ‎，且，‎ 当时，，递增，‎ 当时，，递减，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 解：，，‎ ‎，，‎ ‎，方程有两个不相等的实根，分别为，‎ ‎，且，‎ ‎，‎ 当时，，递减，当时，，递增，‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ ‎．‎ 设，则，是减函数，‎ 当，即时，，‎ 函数只有一个零点，‎ 当，即时，，‎ 函数没有零点，‎ 当，即时，，且，‎ 由知，，‎ 若，则有，‎ ‎，‎ 函数有且只有一个大于的零点，‎ 又，即函数在区间有且只有一个零点，‎ 综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，‎ 当时，函数没有零点．‎ ‎22.（1）， （2）16‎ 解析：（1）曲线的参数方程为（其中为参数），消去参数可得.‎ 曲线的极坐标方程为，展开为，化为..‎ ‎（2）设，且中点为，‎ 联立，‎ 解得，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 线段的中垂线的参数方程为 ‎（为参数），‎ 代入，可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎23.解析：（1）‎ 当时，则，解得；‎ 当时，则不成立；‎ 当时，由，解得.‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎（2）即.‎ 因为,,‎ 所以,‎ 所以.故所证不等式成立.‎