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文档介绍
北京市密云区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
密云区2019-2020学年度第一学期期末 高一数学试卷 2020.1 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合,,则集合中元素的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 直接根据交集的定义计算即可; 【详解】解:, 故选:B 【点睛】本题考查集合的运算,集合中元素个数的求法,属于基础题. 2.函数的最小正周期为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据余弦型函数最小正周期的求法即可求得结果. 【详解】最小正周期 故选: 【点睛】本题考查余弦型函数最小正周期的求解,属于基础题. 3.下列函数中,既是偶函数又在单调递增的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案. 【详解】解:根据题意,依次分析选项: 对于,,为指数函数,其定义域为,不是偶函数,不符合题意; 对于,,为幂函数,是奇函数,不符合题意; 对于,,为偶函数,在不是增函数,不符合题意; 对于,,为偶函数,且当时,,为增函数,符合题意; 故选:D. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定,关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题. 4.命题“”的否定为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 根据全称命题的否定为特称命题解答即可; 【详解】解:因为全称命题的否定为特称命题,则命题的否定为, 故选:C. 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,属于基础题. 5.已知定义在上的函数的图象是连续不断的,且有如下对应值表: 1 2 3 4 6.1 2.9 3.5 1 那么函数一定存在零点的区间是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断,关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号,如果端点函数值异号,则函数在该区间有零点. 【详解】解:因为函数是定义在上的连续函数,且,, 根据函数零点的存在定理可知故函数在区间内存在零点. 故选:A. 【点睛】本题考查函数零点的判断方法,关键要弄准函数零点的存在定理,把握好函数在哪个区间的端点函数值异号,属于基础题. 6.函数的图象如图所示,为了得到函数的图象,可以把函数的图象( ) A. 先向左平移个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变) B. 先向左平移个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) C. 每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位 D. 每个点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】 由函数的最值求出,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得的解析式,再利用的图象变换规律,得出结论. 【详解】解:根据函数的图象,设, 可得,,. 再根据五点法作图可得,,, 故可以把函数的图象先向左平移个单位,得到的图象, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即可得到函数的图象, 故选:A. 【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式,由函数的最值求出,由周期求出,由五点法作图求出的值.的图象变换规律,属于基础题. 7.定义域均为的两个函数,,“为偶函数”是“,均为偶函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数,定义在上,令,则的定义域也为,关于原点对称,只要看与的关系即可得出为偶函数,反之,通过举反例可得出非充分条件. 【详解】解:令, 由,均为偶函数,则,,故是偶函数,即必要性成立; 反之,设,,是偶函数,而,均不是偶函数,故充分性不成立; 则“为偶函数”是“,均为偶函数”的必要不充分条件. 故选:B. 【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性,充要条件的判定,其中根据“谁推出谁”的原则,求解充要条件,是解答本题的关键,属于基础题. 8.已知函数关于x的方程,有四个不同的实数解,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意作函数与的图象,从而可得,,,从而得解 【详解】解:因为,可作函数图象如下所示: 依题意关于x的方程,有四个不同的实数解,即函数与的图象有四个不同的交点,由图可知令, 则,,即,所以,则, 所以, 因,在上单调递增,所以,即 故选:B 【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用.属于中档题 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.________________. 【答案】 【解析】 分析】 根据对数的运算及分数指数幂的运算法则计算可得; 【详解】解: 故答案为:6 【点睛】本题考查对数及分数指数幂的运算,属于基础题. 10.函数的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用基本不等式即可求解. 【详解】解:, 函数 当且仅当,即时,上式取等号. 故答案为: . 【点睛】本题主要考查基本不等式,利用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”,属于基础题. 11.函数的定义域是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】 由 解不等式可得函数的定义域. 【详解】解:由,,可解得,, 函数的定义域为, 故答案为: 【点睛】本题考查正切函数的定义域,属于基础题. 12.给出下列三个论断:①;②;③且. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个真命题:__________. 【答案】①③推出②,②③推出① 【解析】 【分析】 利用不等式的基本性质可得. 【详解】解:由①;②;③且. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个真命题: (1)若,且,则;或(2)若,且,则; 对于(1)若且,则,由不等式的性质可得即; 对于(2)若且,则,由不等式的性质可得即; 故答案为:①③推出②,②③推出① 【点睛】本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 13.若函数为奇函数,则__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由函数为在定义域上为奇函数,则必有,然后利用待定系数法求解. 【详解】解:函数为奇函数 当时,,定义域为,且为奇函数,满足条件; 当时,,定义域为,且为奇函数,满足条件; 故答案为:. 【点睛】本题主要考查奇偶性的定义的应用,要注意判断和应用的区别,判断时一定要从两个方面,一是定义域是否关于原点对称,二是模型是否满足.应用时,已经知道奇偶性了,则对于定义域中任一变量都满足模型,做大题时用待定系数法求参数,做客观题时可用特殊值求解,属于基础题. 14.里氏震级M的计算公式为:M=lgA﹣lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅A0为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的 倍. 【答案】6,10000 【解析】 【详解】试题分析:根据题意中的假设,可得M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=6;设9级地震的最大的振幅是x,5级地震最大振幅是y,9=lgx+3,5=lgy+3,由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍. 解:根据题意,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001, 则M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣(﹣3)=6. 设9级地震的最大的振幅是x,5级地震最大振幅是y, 9=lgx+3,5=lgy+3,解得x=106,y=102, ∴. 故答案耿:6,10000. 点评:本题考查对数的运算法则,解题时要注意公式的灵活运用. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.已知集合,. (1)当时,求,; (2)当时,求,; (3)当时,求的范围. 【答案】(1),; (2),; (3) 【解析】 【分析】 (1)首先求出集合,再根据交集、并集的定义计算即可; (2)首先求出集合,再根据交集、并集的定义计算即可; (3)由,即与无公共部分,从而求出参数的取值范围; 【详解】解:(1)当时,, 所以, . (2)当时,, 所以, . (3)因为, 所以的范围是. 【点睛】本题考查集合的运算及集合的包含关系求参数的取值范围,属于基础题. 16.已知角的顶点与原点O重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边与单位圆交点为. (1)求 和的值; (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)由任意角的三角函数的定义,可得,,,再根据两角和的余弦公式及二倍角正弦公式计算可得; (2)利用同角三角函数的基本关系将弦化切,再代入计算即可; 【详解】解:(1)根据题意,,, 所以, . (2) 因为, 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系以及两角和的余弦公式,属于基础题. 17.已知函数是定义在上的偶函数,当时,.现已画出函数在轴右侧的图象,如图所示. (1)画出函数在轴左侧的图象,根据图象写出函数在上的单调区间; (2)求函数在上的解析式; (3)解不等式. 【答案】(1)图见解析;函数的单调增区间是,单调减区间是 (2) (3) 【解析】 【分析】 (1)根据偶函数的对称性作出函数图象,由函数图象读出函数的单调区间; (2)当时,,再根据当时,,可得.再根据函数为偶函数,可得,由此能求出函数的解析式. (3)因为,当时,,当时,;由函数图象读出解集即可; 【详解】解:(1)如图作函数图象. 函数的单调增区间是:,单调减区间是:. (2)因为时,, 若,则,, 又因为是定义在上的偶函数, 所以,当时,. 综上:. (3)因 当时,,即;当时,,即; 所以解集为:. 【点睛】本题考查函数的图象的作法,函数的奇偶性的性质的应用,函数解析式的求法,考查运算求解能力,数形结合思想,属于基础题. 18.已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调区间; (2)求函数的零点. 【答案】(1);单调递增区间为,;单调递减区间为 ,; (2)或,. 【解析】 【分析】 (1)首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简为, 再根据正弦函数的周期公式求出最小正周期,最后根据正弦函数的单调性求出的单调区间; (2)令,即,即或, ,解得即可; 【详解】(1) , 即, 所以的最小正周期. 因为的单调增区间为,, 令, 解得,. 因为的单调减区间为,, 令, 解得,. 所以的单调递增区间为,. 单调递减区间为 ,. (2)函数的零点, 令,即. 或, 解得或, 所以的零点为或, 【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于中档题. 19.已知函数. (1)当时,求的最大值; (2)若函数为偶函数,求的值; (3)设函数,若对任意,存在,使得,求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) (3) 【解析】 【分析】 (1)代入的值,求出函数的最大值即可; (2)根据偶函数图象关于轴对称,二次函数的一次项系数为0,可得的值; (3)求解的值域和的值域,可得,即可求解实数的取值范围. 【详解】(1)当时, 故当时,的最大值是1 (2)因为函数为偶函数, ,所以, 可得, 即实数的值为. (3) , , 所以的值域为. 当时,存在,使得,设的值域, 转化为:函数的值域是的值域的子集; 即:当时, 函数,对称轴, 当时,即,可得;; 可得:; 当时,即,可得,或, 显然,不满足,此时无解; 当时,即,可得,;不满足,此时无解; 综上可得实数的取值范围为 【点睛】本题主要考查偶函数的性质的应用,二次函数的最值问题,存在性问题,属于中档题.. 20.对于正整数集合,如果任意去掉其中一个元素之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合为“可分集合”. (1)判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程); (2)求证:五个元素的集合一定不是“可分集合”; (3)若集合是“可分集合”. ①证明:为奇数; ②求集合中元素个数的最小值. 【答案】(1)集合不是“可分集合”,集合是“可分集合”;(2)见解析;(3)①见解析;②最小值是7 【解析】 【分析】 (1)根据定义直接判断即可得到结论; (2)不妨设,若去掉的元素为,则有①,或者②;若去掉的元素为,则有③,或者④,求解四个式子可得出矛盾,从而证明结论; (3)①设集合所有元素之和为,由题可知,均为偶数,因此均为奇数或偶数.分类讨论为奇数和为偶数的情况,分析可得集合中元素个数为奇数;②结合(1)(2)问,依次验证当时,当时,当时集合是否为“可分集合”,从而证明结论. 【详解】(1)集合不是“可分集合”,集合是“可分集合”; (2)不妨设, 若去掉的元素为,将集合分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,则有①,或者②; 若去掉的元素为,将集合分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相等,则有③,或者④. 由①、③,得,矛盾;由①、④,得,矛盾; 由②、③,得,矛盾;由②、④,得,矛盾. 因此当时,集合一定不是“可分集合”; (3)①设集合所有元素之和. 由题可知,均为偶数,因此均为奇数或偶数. 如果为奇数,则也均为奇数,由于,所以为奇数. 如果为偶数,则均为偶数,此时设,则也是“可分集合”. 重复上述操作有限次,便可得各项均为奇数的“可分集合”. 此时各项之和也为奇数,则集合中元素个数为奇数. 综上所述,集合中元素个数为奇数. ②当时,显然任意集合不是“可分集合”. 当时,第(2)问已经证明集合不是“可分集合”. 当时,集合,因为: 3+5+7+9=11+13,1+9+13=5+7+11,9+13=1+3+7+11,1+3+5+11=7+13, 1+9+11=3+5+13,3+7+9=1+5+13,1+3+5+9=7+11, 则集合是“可分集合”. 所以集合中元素个数的最小值是7. 【点睛】本题考查新定义下的集合问题,对此类题型首先要多读几遍题,将新定义理解清楚,然后根据定义验证,证明即可,注意对问题思考的全面性,考查学生的思维迁移能力、分析能力,属于难度较高的创新题.查看更多