2019届二轮复习小题专练空间几何体课件（45张）

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第二篇　重点专题分层练 ， 中高档题得高分 第 14 练　空间 几何体 [ 小题提速练 ] 明晰 考 情 1. 命题角度：空间几何体的三视图，球与多面体的组合，一般以计算面积、体积的形式出现 . 2 . 题目难度：中档或中档偏难 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　空间几何体的三视图与直观图 要点重组 　 (1) 三视图画法的基本原则：长对正，高平齐，宽相等；画图时看不到的线画成虚线 . (2) 由三视图还原几何体的步骤 核心考点突破练 ↓ 根据正视图确定几何体的侧棱与侧面特征，调整实线、虚线对应棱的位置 ↓ (3) 直观图画法的规则：斜二测画法 . 1. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O － xyz 中的坐标分别是 (1,0,1) ， (1,1,0) ， (0,1,1) ， (0,0,0) ，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图为 解析　 在空间直角坐标系中作出四面体 OABC 的直观图如图所示，作顶点 A ， C 在 xOz 平面的投影 A ′ ， C ′ ，可得四面体的正视图 . 故选 A. 答案 解析 √ 2.(2018· 北京 ) 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 解析 √ 解析　 由三视图得到空间几何体，如图所示， 则 PA ⊥ 平面 ABCD ， 平面 ABCD 为直角梯形， PA ＝ AB ＝ AD ＝ 2 ， BC ＝ 1 ， 所以 PA ⊥ AD ， PA ⊥ AB ， PA ⊥ BC . 又 BC ⊥ AB ， AB ∩ PA ＝ A ， AB ， PA ⊂ 平面 PAB ， 所以 BC ⊥ 平面 PAB . 又 PB ⊂ 平面 PAB ，所以 BC ⊥ PB . 所以 △ PCD 为锐角三角形 . 所以侧面中的直角三角形为 △ PAB ， △ PAD ， △ PBC ，共 3 个 . 故选 C. 解析　 先观察俯视图，由俯视图可知选项 B 和 D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项 D 正确 . 3. 如图所示是一个几何体的三视图，则此三视图所描述的几何体的直观图是 答案 解析 √ 4. 已知正三棱锥 V － ABC 的正视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是 ___. 答案 解析 6 考点二　空间几何体的表面积与体积 方法技巧 　 (1) 求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上 . (2) 求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解 . (3) 已知几何体的三视图，可去判断几何体的形状和各个度量，然后求解表面积和体积 . √ 解析　 ∵ D 是等边三角形 ABC 的边 BC 的中点， ∴ AD ⊥ BC . 又 ABC － A 1 B 1 C 1 为正三棱柱， ∴ AD ⊥ 平面 BB 1 C 1 C . 答案 解析 6. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是 解析　 根据题意得到原四面体是底面为等腰直角三角形，高为 1 的三棱锥， 答案 解析 √ 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ________ ，其表面积为 ___________ __ ___. 答案 解析 解析　 由正视图和侧视图可知，该几何体含有半个圆柱，再结合俯视图不难得到该几何体是半个圆柱和一个倒立的直四棱锥组合而成，如图 . 故 该几何体的体积为 8. 已知一个圆锥的母线长为 2 ，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积 为 ______. 解析　 由题意，得圆锥的底面周长为 2π ， 设 圆锥的底面半径是 r ，则 2π r ＝ 2π ，解得 r ＝ 1 ， 答案 解析 考点三　多面体与球 要点重组 　 (1) 设球的半径为 R ，球的截面圆半径为 r ，球心到球的截面的距离为 d ，则有 r ＝ (2) 当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长 . 9. 已知三棱锥 S － ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SA ⊥ 平面 ABC ， SA ＝ AB ＝ 1 ， AC ＝ 2 ， ∠ BAC ＝ 60° ，则球 O 的表面积为 A.4π B.12π C.16π D.64π √ 答案 解析 解析　 在 △ ABC 中，由余弦定理得， BC 2 ＝ AB 2 ＋ AC 2 － 2 AB · AC cos 60° ＝ 3 ， ∴ AC 2 ＝ AB 2 ＋ BC 2 ，即 AB ⊥ BC . 又 SA ⊥ 平面 ABC ， ∴ SA ⊥ AB ， SA ⊥ BC ， 故球 O 的表面积为 4π × 2 2 ＝ 16π. 10. 已知圆柱的高为 1 ，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 解析　 设圆柱的底面半径为 r ，球的半径为 R ，且 R ＝ 1 ， 由圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上可知， r ， R 及圆柱的高的一半构成直角三角形 . √ 答案 解析 11. 已知四棱锥 P － ABCD 的底面 ABCD 是边长为 6 的正方形，且 PA ＝ PB ＝ PC ＝ PD ，若一个半径为 1 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是 答案 解析 √ 解析　 由题意知，四棱锥 P － ABCD 是正四棱锥 ，球的球心 O 在四棱锥的高 PH 上， 过 正四棱锥的高作组合体的轴截面如图 ： 其中 PE ， PF 是斜高， A 为球面与侧面的切点 . 设 PH ＝ h ，易知 Rt △ PAO ∽ Rt △ PHF ， 12. 一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上，则该圆锥的体积与球 O 的体积的比值为 _____. 答案 解析 解析　 设等边三角形的边长为 2 a ，球 O 的半径为 R ， 又底面 ABCD 是正方形，所以矩形 ADD 1 A 1 与矩形 CDD 1 C 1 的面积相等 ， 即 正视图与侧视图的面积之比是 1 ∶ 1. 1. 如图，在正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 P 是平面 A 1 B 1 C 1 D 1 内一点，则三棱锥 P － BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 A.1 ∶ 1 B.2 ∶ 1 C.2 ∶ 3 D.3 ∶ 2 易错易混专项练 √ 答案 解析 2. 已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的体积为 答案 解析 √ 解析　 由三视图知该几何体是正四棱锥 ( 底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥 ) 与半球体的组合体， 3. 已知 A ， B 是球 O 的球面上两点， ∠ AOB ＝ 90° ， C 为该球面上的动点 . 若三棱锥 O － ABC 体积的最大值为 36 ，则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π 答案 解析 √ 解析　 易知 △ AOB 的面积确定，若三棱锥 O － ABC 的底面 OAB 上的高最大 ， 则 其体积最大 . 因为高最大为半径 R ， 解得 R ＝ 6. 故 S 球 ＝ 4π R 2 ＝ 144π. 解题秘籍 　 (1) 三视图都是几何体的投影，要抓住这个根本点确定几何体的特征 . (2) 多面体与球的切、接问题，要明确切点、接点的位置，利用合适的截面图确定两者的关系，要熟悉长方体与球的各种组合 . 1.(2018· 浙江 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位： cm) ， 则 该几何体的体积 ( 单位： cm 3 ) 是 A.2 B.4 C.6 D.8 √ 解析　 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为 2 的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为 2,1 ，高为 2 ， 答案 解析 高考押题冲刺练 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 根据三视图作出原几何体 ( 四棱锥 P － ABCD ) 的直观图 如 右 ： 3. 如图是棱长为 2 的正方体的表面展开图，则多面体 ABCDE 的体积为 √ 解析　 多面体 ABCDE 为四棱锥 ( 如图 ) ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故选 D. 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ， 右 图画 出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 解析　 作出该几何体的直观图如图所示 ( 所作图形进行了一定角度的旋转 ) ， 5. 某锥体的三视图如图所示，用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分，则截面面积为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 三视图表示的几何体 ( 如图 ) 是四棱锥 ( 镶嵌入棱长为 2 的正方体中 ) ，且四棱锥 F － ABCD 的底面为正方形 ABCD ，面积为 4 ，设截面面积为 S ，所截得小四棱锥的高为 h ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，则该几何体的体积为 √ 解析　 该几何体是一个半球，上面有一个三棱锥，体积为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(2018· 全国 Ⅰ ) 某圆柱的高为 2 ，底面周长为 16 ，其三视图如图所示 . 圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在侧视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点 M ， N 的位置如图 ① 所示 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 圆柱的侧面展开图及 M ， N 的位置 ( N 为 OP 的四等分点 ) 如图 ② 所示， 故选 B. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 如图所示，该几何体是三棱锥 D — ABC ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 且 AB ⊥ AC ， DE ⊥ 平面 ABC ， 故外接球球心 O 必在直线 DE 上 ， 设 三棱锥 D — ABC 外接球的半径为 R ，由 ( OD － DE ) 2 ＋ EC 2 ＝ OC 2 ＝ R 2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 9. 某几何体的三视图如图所示 ( 单位： cm) ，则该几何体共有 ___ 条棱；该几何体的体积为 ___ cm 3 . 8 1 解析　 由三视图知该几何体为底面为上底是 1 cm ，下底是 2 cm ，高是 1 cm 的直角梯形 ， 有 一条高为 2 cm 的棱垂直于底面的四棱锥 ， 则 其有 8 条棱， 10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就 . 书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “ 阳马 ” ，若某 “ 阳马 ” 的三视图如图所示 ( 网格纸上小正方形的边长为 1) ，则该 “ 阳马 ” 最长的棱长为 ______. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由三视图知，几何体是四棱锥 ， 且 四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图所示 . 其中 PA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ PA ＝ 3 ， AB ＝ CD ＝ 4 ， AD ＝ BC ＝ 5 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为 ______. 解析　 依题意得，该几何体是由如图所示的三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 截去四棱锥 A － BEDC 得到的， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 已知三棱锥 A － BCD 中， AB ＝ AC ＝ BC ＝ 2 ， BD ＝ CD ＝ 点 E 是 BC 的中点，点 A 在平面 BCD 上的投影恰好为 DE 的中点 F ，则该三棱锥外接球的表面积为 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 连接 BF ，由题意 ，得 △ BCD 为等腰 直角三角形， E 是外接圆的圆心 . ∵ 点 A 在平面 BCD 上的投影恰好为 DE 的中点 F ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束