宁夏石嘴山市第三中学2020届高三第四次高考适应性考试数学（理）试题

宁夏石嘴山市第三中学2020届高三第四次高考适应性考试数学（理）试题

高三年级第四次高考适应性考试数学（理科）能力测试 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.设集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出集合，，再根据集合的并集运算即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数的定义域、值域以及集合的基本运算，属于基础题.‎ ‎2.设，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数的性质得，由对数函数的性质得，根据正切函数的性质得，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由指数函数的性质，可得，由对数函数的性质可得，‎ 根据正切函数的性质，可得，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎3.在中，，，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的数量积公式直接求解即可 ‎【详解】因为，所以为直角三角形，‎ 所以，所以.‎ 故选B ‎【点睛】本题考查平面向量的夹角与模，以及平面向量数量积的运算，考查运算求解能力.‎ ‎4.在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为（ ）‎ A. 22 B. ‎-33 ‎C. -11 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2, S11＝=‎11 a6进而得到结果.‎ ‎【详解】等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，‎ 则a5＋a7＝2，∴a6＝(a5＋a7)＝1，∴{an}的前11项的和为 S11＝＝‎11a6＝11×1＝11.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.‎ ‎5.若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式和差角公式可得,求解即可 ‎【详解】由题,‎ ‎,‎ 所以,‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查差角公式的应用,考查运算能力 ‎6.设函数,则使成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得 成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.‎ 考点：抽象函数的不等式.‎ ‎【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．‎ ‎7.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A. 48 B. ‎72 ‎C. 90 D. 96‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛 ‎①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种 故答案为96‎ 点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．‎ ‎8.(+)(2-)5的展开式中33的系数为 A. -80 B. ‎-40 ‎C. 40 D. 80‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎， ‎ 由展开式的通项公式可得：‎ 当时，展开式中的系数为；‎ 当时，展开式中的系数为，‎ 则的系数为.‎ 故选C.‎ ‎【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.‎ ‎（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.‎ ‎9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为 （ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，‎ 即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．‎ 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎10.直线与曲线有两个不同的交点，则实数的k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 解：因为曲线y＝1＋(|x|≤2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点时，那么结合图像可知参数k的取值范围是，选A ‎11.已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：据题意得，设，则，或，因为位于轴两侧所以.所以两面积之和为.‎ ‎12.设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】设，，‎ 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ‎ ‎，当时，；当时，.‎ 所以，函数的最小值为.‎ 又，.‎ 直线恒过定点且斜率为，‎ 故且，解得，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.采集到两个相关变量，的四组数据发别为（3，2.5），（4，m），（5，4），（6，4.5），根据这些数据，求得关于的线性回归方程为，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有的代数式表示的，把样本中心点代入线性回归方程，得出关于的一次方程，解方程即可求解.‎ ‎【详解】， ‎ 关于的线性回归方程为，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，属于基础题.‎ ‎14.函数的图象在处的切线方程为，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：函数的图象在处的切线方程为，‎ ‎，解得：，‎ ‎.‎ 故答案应填：-3．‎ 考点：导数的几何意义．‎ ‎15.已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出几何体，找出球的球心，再根据球的体积公式即可求解.‎ ‎【详解】由题意可知为三棱锥，把三棱锥扩展为三棱柱，画出几何体如下：‎ 可以看出，上下底面中心连线中点与顶点连线即为球的半径，‎ 由已知，，‎ 根据勾股定理可得，‎ 则该球的体积为 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查空间几何体以及球的体积公式，考查了学生的空间想象能力，同时需熟记球的体积公式，此题属于中档题.‎ ‎16.下列共用四个命题.‎ ‎（1）命题“，”的否定是“，”；‎ ‎（2）在回归分析中，相关指数为的模型比为的模型拟合效果好；‎ ‎（3），，，则是的充分不必要条件；‎ ‎（4）已知幂函数为偶函数，则.‎ 其中正确的序号为_________．（写出所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依据含一个量词的命题的否定可知：命题“，”的否定是“，‎ ‎”，故命题（1）不正确；由回归分析的知识可知：相关指数越大，其模型的拟合效果越好，则命题（2）是正确的；取，尽管，但，故命题（3）不正确；由幂函数的定义可得，则（舍去），故，则命题（4）是正确的，应填答案 ．‎ 点睛：本题是一道选择填空题，求解时充分借助题设中提供的四个命题的条件和结论，综合运用所学知识从而对问题做出正确的推理和判断，从而选出正确的命题，排除错误的命题，进而使得问题获解．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用降次公式化简，然后利用三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.‎ ‎（2）由求得，用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.‎ ‎【详解】（1）依题意，由得，令得.所以的单调递增区间.‎ ‎（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.‎ 由余弦定理得，，解得或.‎ 当时，，则为钝角，与已知三角形为锐角三角形矛盾.所以.‎ 所以三角形的面积为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎18. 某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）‎ ‎（1）应收集多少位女生样本数据？‎ ‎（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.‎ ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ 附：‎ ‎ ‎ ‎0.10 ‎ ‎0.05 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.005 ‎ ‎ ‎ ‎2.706 ‎ ‎3.841 ‎ ‎6.635 ‎ ‎7.879 ‎ ‎【答案】（1）90；（2）0.75；（3）有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由分层抽样性质，得到；（2）由频率分布直方图得；（3）利用2×2列联表求.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，所以应收集90位女生的样本数据． ‎ ‎（2）由频率发布直方图得，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75. ‎ ‎（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下：‎ 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可算得 有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”‎ 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：‎ ‎(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；‎ ‎(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎19.已知数列满足，，，其中．‎ ‎(1)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前n项和为．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）=. ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由,，,作差代入,再利用等差数列的通项公式即可得出,进而得出.（Ⅱ）,可得.利用“裂项求和”可得:数列的前项和为=‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：∵=‎ ‎=，∴数列是公差为2的等差数列，‎ 又，∴，‎ 故∴，解得． ‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，∴‎ ‎∴数列前项和为 ‎=. ‎ 点晴：本题考查的是数列中的递推关系和数列求和问题.第一问中关键是根据==得到是公差为2的等差数列;第二问中的通项由可得 ， 利用“裂项求和”可得:数列的前项和为=.‎ ‎20.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD．‎ 由于AB//CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD．‎ 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为，‎ 由（1）可知，平面，故，可得平面.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）及已知可得，，，.‎ 所以，，，.‎ 设是平面的法向量，则 即 可取.‎ 设是平面的法向量，则 即可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【名师点睛】高考对空间向量与立体几何考查主要体现在以下几个方面：‎ ‎①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；‎ ‎②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；‎ ‎③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.‎ ‎21.已知椭圆（）的焦距为2，离心率为，右顶点为.‎ ‎（I）求该椭圆的方程；‎ ‎（II）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线，的斜率之和为定值.‎ ‎【答案】（I）.（II）见解析.‎ ‎【解析】‎ 分析：（I）由椭圆的焦距和离心率可得，，故，从而可得椭圆的方程．（II）讨论直线的斜率，当斜率存在时设其方程为，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及题意可求得，即得结论成立．‎ 详解：（I）由题意可知，故，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎（II）由题意得，当直线的斜率不存在时，不符合题意；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.‎ 由消去y整理得，‎ ‎∵直线与椭圆交于两点，‎ ‎∴，‎ 解得．‎ 设，，‎ 则，，‎ 又，‎ ‎∴.‎ 即直线，的斜率之和为定值.‎ 点睛：求定值问题常见的方法 ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎22.设，函数．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间上有唯一零点，试求a的值．‎ ‎【答案】（1）的单调减区间是，单调增区间是；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入中可得（）,令,解得,进而求得单调区间；‎ ‎（2）令,解得（舍）,,可得函数在上单调递减,在上单调递增,则,由于函数在区间上有唯一零点,则,整理即为,设,可得在是单调递增的,则,进而求得 ‎【详解】（1）函数,‎ 当时,（）,‎ ‎∴,‎ 令,即,‎ 解得或（舍）,‎ ‎∴时,；时,,‎ ‎∴的单调减区间是,单调增区间是 ‎（2）,‎ 则,‎ 令,得,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴方程的解为（舍）,；‎ ‎∴函数在上单调递减,在上单调递增，‎ ‎∴,‎ 若函数在区间上有唯一零点,‎ 则,‎ 而满足,‎ ‎∴,‎ 即 设,‎ ‎∵在是单调递增的,‎ ‎∴至多只有一个零点,‎ 而,‎ ‎∴用代入,‎ 得,‎ 解得 ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,考查函数零点及不等式的应用问题 ‎ ‎