北京市101中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

北京市101中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

北京101中学2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷 本试卷满分120分，考试时间100分钟 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.复数z，则|z|=( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用复数的除法运算法则,先计算出的表达式,然后再计算出.‎ ‎【详解】由题意复数z得,所以.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.‎ ‎2.设分别是中所对边的边长，则直线与位置关系是（ ）‎ A. 平行 B. 重合 C. 垂直 D. 相交但不垂直 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分别是中所对边的边长，‎ 则直线斜率为：，‎ 的斜率为：，‎ ‎∵=﹣1，∴两条直线垂直．‎ 故选C．‎ ‎3.已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z.则其中正确命题的个数为( )‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.‎ ‎【详解】对于①中复数和的模相等,例如,,则和是共轭复数是错误的;对于②和都是复数,若是虚数,则其实部互为相反数,则不是的共轭复数,所以②是正确的;‎ 对于③复数是实数,令,则所以,反之当时,亦有复数是实数,故复数是实数的充要条件是是正确的.综上正确命题的个数是个.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.‎ ‎4.椭圆的长轴为A‎1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个锐二面角，使点A1在平面B‎1A2B2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为（ ）‎ A 30° B. 45°‎ C. 60° D. 以上答案均不正确 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出满足条件的图形，由可得出为所求二面角的平面角，通过解三角形即可求出二面角.‎ ‎【详解】由椭圆得长轴 ，短轴.‎ 将坐标平面沿y轴折成一个锐二面角，如图.‎ 设点A1在平面上的射影恰是该椭圆的一个焦点，设该焦点为.‎ 则平面.所以.‎ 由,所以为所求二面角的平面角.‎ 在中， ‎ 所以.‎ 由条件二面角为锐角，所以 故选：A ‎【点睛】本题考查二面角的平面的求法，涉及翻折问题可椭圆的基本性质，属于中档题.‎ ‎5.已知两圆C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两圆外切和内切，得出圆心距与两圆的半径和差的关系，设出动圆的半径，消去，再由圆锥曲线的定义，可得动圆的圆心的轨迹，进一步求出其方程.‎ ‎【详解】设动圆的圆心，半径为 圆与圆:内切，与C2：外切.‎ 所以.‎ 由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴为16的椭圆.‎ 则，所以 ‎ 动圆的圆心的轨迹方程为：‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查两圆的位置关系以及判断方法和动点的轨迹方程，椭圆的定义，属于中档题.‎ ‎6.已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抛物线准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离.‎ ‎【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，‎ 因为是该抛物线上的两点，故，‎ 所以，‎ 又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.‎ ‎7.正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为1，E是棱BC的中点，动点P在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为（ ）‎ A. 1+ B. + C. 2 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设分别为的中点,则可证明平面，得到满足条件的动点P的轨迹为，然后求解即可.‎ ‎【详解】由，即满足.‎ 设分别为的中点，连接.‎ 设交于点，交于点.‎ 所以在正四棱锥S-ABCD中，平面.‎ 所以,且,‎ 由分别为的中点.‎ 所以,则有，,,且 ‎ 所以平面.‎ 故当点在平面内时，有成立.‎ 所以动点P的轨迹为平面截正四棱锥S-ABCD的截面，即.‎ 由分别为的中点.‎ 所以 又正四棱锥S-ABCD底面边长为2，高为1，所以,.‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题考查轨迹问题，考查线面的垂直的证明，属于中档题.‎ ‎8.设点P为双曲线右支上的动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，若点AB始终在第一、第四象限内，则双曲线离心率e的取值范围是( )‎ A. （1，] B. （1，] C. [，+∞） D. [，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合已知条件得到垂足始终在第一、第四象限内,则可以得到倾斜角的范围,再利用离心率的计算方法求出结果.‎ ‎【详解】根据题意,因为点P为双曲线右支上的动点,过点P向两条渐近线作垂线,垂足分别为A,B,若点AB始终在第一、第四象限内,则有渐近线的倾斜角不大于,即,则双曲线的离心率为,又,则.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了求双曲线的离心率范围问题,解答时要结合题目中的已知条件,并能熟练运用离心率计算推导公式,考查了理解能力和转化能力.‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值 ．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于双曲线的右焦点坐标为，因此可知抛物线的焦点,故答案为6‎ 考点：考查了抛物线与双曲线的性质．.‎ 点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p的值，属于基础题．‎ ‎10.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于2，点E，F分别是边BC，AD的中点，则的值为_____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合已知条件运用向量的数量积运算法则即可求出结果.‎ ‎【详解】因为点,分别是边,的中点,‎ 则,又因为空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于2,所以原式.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积的运算,解题过程中运用向量的加法运算进行转化,转化为空间四边形边之间的关系,然后再结合题意计算出结果,需要掌握解题方法.‎ ‎11.已知A（﹣1，0），B（1，0）两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若，当时，动点M的轨迹可以是_____（把所有可能的序号都写上）.①圆；②椭圆；③双曲线；④抛物线.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点的坐标,得到点坐标,利用条件中计算出关于动点的轨迹方程,然后再进行判断轨迹图形.‎ ‎【详解】设,则,由题意计算可得,化简得,又因为,即得,当时,其轨迹方程是双曲线;当且时其轨迹方程是椭圆;当时其轨迹方程是圆,综上动点的轨迹可以是圆、椭圆、双曲线.‎ 故答案为: ①②③‎ ‎【点睛】本题考查了动点轨迹问题,求解过程中依据已知条件进行先求出轨迹方程,然后再进行判断,解答题目得方法是依据题意设出点坐标进行化简,注意分类讨论.‎ ‎12.过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为_____．‎ ‎【答案】2x﹣4y+3＝0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要∠ACB最小则分析可得圆心C到直线l的距离最大,此时直线l与直线垂直,即可算出的斜率求得直线l的方程.‎ ‎【详解】由题得,当∠ACB最小时,直线l与直线垂直,此时 ,又,故,又直线l过点,所以,即 .‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.‎ ‎13.斜率为的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，利用弦长公式求得弦长的表达式，进而求得弦长的最大值.‎ ‎【详解】设直线方程为，代入椭圆方程并化简得，，，.，当时，.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法，属于中档题.‎ ‎14.如图，正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足|A1P|的点P组成，则W的面积是_____；四面体P﹣A1BC的体积的最大值是_____.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意先找到满足条件的平面区域,然后计算出其面积;要求四面体的体积的最大值,已知高是固定的,当底面面积最大时就可以求得体积最大.‎ ‎【详解】连接,在正方体中可知,则三角形为直角三角形,又因为,,可计算得,又因为点 在正方形的边界及其内部运动,则平面区域是以点为圆心,半径为和之间交正方形的圆环,所以平面区域的面积是;由题意可知当点在边上时,四面体的体积最大值是.‎ 故答案为: ； ‎ ‎【点睛】本题考查了立体几何中的动点轨迹问题,求解时需要理清题意,计算求出满足题意的结果,在求四面体的最值时可以转化顶点和底面,找到确定值和变量,然后再求最值.‎ 三、解答题共5小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.‎ ‎15.已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z2的虚部为2.‎ ‎（1）求复数z；‎ ‎（2）设复数z，z2，z﹣z2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值.‎ ‎【答案】（1）1+i；（2）﹣2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先设出复数的表达式,结合已知条件中,实部大于,和的虚部为,列出方程求解出复数的表达式.‎ ‎（2）由（1）求出复数的表达式,即可得到,,在复平面上对应的点坐标,进而求出结果.‎ ‎【详解】（1）设复数z=x+yi,x、y∈R;‎ 由|z|,得x2+y2=2;‎ 又z实部大于即x>0,‎ z2=x2﹣y2+2xyi的虚部为2xy=2,‎ 所以xy=1;‎ 解得x=1,y=1;‎ 所以复数z=1+i;‎ ‎（2）复数,则,;‎ 则A（1,1）,B（0,2）,C（1,﹣1）;‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础.‎ ‎16.如图在△AOB中，∠AOB=90°，AO=2，OB=1，△AOC可以通过△AOB以直线AO为轴旋转得到，且OB⊥OC，点D为斜边AB的中点.‎ ‎（1）求异面直线OB与CD所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线OB与平面COD所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系, 求出异面直线与的坐标表示,运用公式求出其夹角的余弦值.‎ ‎（2）先求出平面的法向量,然后运用公式求出直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）以O为原点,OC为x轴,OB为y轴,OA为z轴,建立空间直角坐标系,‎ O（0,0,0）,B（0,1,0）,C（1,0,0）,A（0,0,2）,D（0,,1）,‎ ‎（0,1,0）,（﹣1,）,‎ 设异面直线OB与CD所成角为θ,‎ 则cosθ,‎ ‎∴异面直线OB与CD所成角的余弦值为.‎ ‎（2）（0,1,0）,（1,0,0）,（0,,1）,‎ 设平面COD的法向量（x,y,z）,‎ 则,取,得（0,2,﹣1）,‎ 设直线OB与平面COD所成角为θ,‎ 则直线OB与平面COD所成角的正弦值为:‎ sinθ.‎ ‎【点睛】本题考查了求异面直线所成角问题以及线面角的正弦值问题,求解过程中建立空间直角坐标系,运用空间向量知识来求解,需要熟记运算公式并计算正确.‎ ‎17.已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥中：‎ ‎ (I)证明：平面平面;‎ ‎ (Ⅱ)求二面角的余弦值；‎ ‎ (Ⅲ)若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ） .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一问取中点，根据等腰三角形的性质求得，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得，‎ 利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值与的关系式，利用函数的有关知识求得结果.‎ ‎（Ⅰ）方法1：‎ 设的中点为，连接，. 由题意 ‎ ，，‎ 因为在中，，为的中点 所以，‎ 因为在中，，，‎ 所以 因为，平面 所以平面 因为平面 ‎ 所以平面 平面 方法2：‎ 设的中点为，连接，. ‎ 因为在中，，为的中点 所以，‎ 因为，，‎ 所以≌≌‎ 所以 所以 因为，平面 所以平面 因为平面 ‎ 所以平面 平面 方法3：‎ 设的中点为，连接，因为在中，，‎ 所以 设的中点，连接，及.‎ 因为在中，，为的中点 所以.‎ 因为在中，，为的中点 所以.‎ 因为，平面 所以平面 因为平面 所以 因为，平面 所以平面 因为平面 ‎ 所以平面 平面 ‎（Ⅱ）由平面，，如图建立空间直角坐标系，则 ‎，，，，‎ 由平面，故平面的法向量为 由，‎ 设平面的法向量为，则 由得：‎ 令，得，，即 由二面角是锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为 ‎（Ⅲ）设，，则 令 得 即，μ是关于λ单调递增函数，‎ 当时，，‎ 所以 ‎ ‎18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）.‎ ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为；‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）①证明见解析;②.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证;②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：，解出p的取值范围.‎ ‎【详解】（1）抛物线的焦点为 由点在直线上，得，即 所以抛物线C的方程为 ‎（2）设，线段PQ的中点 因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ，‎ 于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为 ‎①由消去得 因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以 从而，化简得.‎ 方程（*）的两根为，从而 因为在直线上，所以 因此，线段PQ的中点坐标为 ‎②因为在直线上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范围为 ‎【考点】直线与抛物线位置关系 ‎【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎19.一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB滑动，且，．当栓子在滑槽AB内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）设点，，依题意，‎ ‎，且，‎ 所以，且 即且 由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，‎ 于是，故，代入，可得，‎ 即所求的曲线的方程为 ‎（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有．‎ ‎（2）当直线斜率存在时，设直线，‎ 由消去，可得．‎ 因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，‎ 所以，即． ①‎ 又由可得；同理可得．‎ 由原点到直线的距离为和，可得 ‎． ②‎ 将①代入②得，．‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 因，则，，所以，‎ 当且仅当时取等号．‎ 所以当时，的最小值为8．‎ 综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8．‎ 考点：椭圆的标准方程、几何性质,直线与圆、椭圆的位置关系，最值．‎