2019届二轮复习第22讲　坐标系与参数方程(选修4－4)学案（全国通用）

2019届二轮复习第22讲　坐标系与参数方程(选修4－4)学案（全国通用）

(这是边文，请据需要手工删加) 名师导学·高考二轮总复习·理科数学 (这是边文，请据需要手工删加) 专题九　选考试题专题 (这是边文，请据需要手工删加) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 专　　　题　　　九 选考试题专题 知识网络　【p81】 第 22 讲　坐标系与参数方程(选修 4－4) 考 情 分 析　　【p1】 年份 卷别 题号 考查内容 命题规律 2018 Ⅰ 22 圆的极坐标方程化普通方程， 直线与圆的位置关系 Ⅱ 22 椭圆和直线参数方桯化普通 方程， 有关椭圆的中点弦问 题 Ⅲ 22 圆的参数方程，直线和圆的 位罝关系， 应用参数法求动 点轨迹 2017 Ⅰ 22 椭圆和直线参数方桯化普通 方桯， 利用参数方桯转化点 到直线的距离 Ⅱ 22 直线的极坐标方桯， 在极坐 标系中求动点轨迹方程， 利 用极角和极径求三角形面积 的最值 Ⅲ 22 直线的参数方桯， 利用参数 法求动点轨迹方程， 利用极 坐标方程求交点的极径 2016 Ⅰ 23 圆的参数方程化极坐标方程， 应用极坐标方程求参数的值 Ⅱ 23 圆的普通方程化极坐标方程， 直线参数的几何意义的应用 Ⅲ 23 椭圆的参数方程和直线的极 坐标方程化普通方程， 利用 椭圆的参数方程转化两点间 距离求其最小值 　　坐标系与参数方程主要 考查两个方面：一是极坐标 方程与普通方程的转化，二 是极坐标方程和参数方程的 简单应用，难度较小．直线 与圆的位置关系考查较多， 注意直线参数方程中参数的 几何意义的应用．重点考查 了数形结合的数学思想和转 化与化归能力．解决坐标系 与参数方程中求曲线交点、 距离、线段长等几何问题时， 求解的一般方法是分别化为 普通方程和直角坐标方程后 求解，或者直接利用直线参 数的几何意义或极坐标的几 何意义求解，解题时要结合 题目自身特点，确定选择恰 当方程形式. 专 题 探 究　【p82】 【命题趋势】 1．从近几年的高考命题看，主要侧重考查参数方程与普通方程的互化，利用参数方程解 决最值问题，极坐标与直角坐标的互化及应用等．全国高考以选考试题的形式出现，只有解 答题，难度不大．主要考查学生的转化能力，数形结合能力及识图、读图能力． 2．预计在今年高考中，对本专题的考查有两个方面，一是参数方程与普通方程、极坐标 方程与直角坐标方程的互化；二是利用曲线的参数方程、极坐标方程计算某些量或讨论某些 量之间的关系．全国高考试题仍然还是以选考试题的形式出现，分值为 10 分，难度中等偏 下． 【备考建议】 1．坐标系复习时建议从以下几方面着手：一是从理解坐标系的作用入手，要求学生了解 和掌握坐标系是刻画地描述平面中点的位置；二是要求学生会进行极坐标和直角坐标的互化； 三是通过图形比较，理解极坐标系中和平面直角坐标系中的方程的区别． 2．参数方程复习时，注意强调参数方程中参数的意义，另外要能选择适当的参数写出直 线、圆和圆锥曲线的参数方程． 典 例 剖 析　【p82】 探究一　参数方程，极坐标与直角坐标互化 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例 1 已知曲线 C1 的参数方程为{x＝4＋5cos t， y＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π)． 【解析】将{x＝4＋5cos t， y＝5＋5sin t 消去参数 t，化为普通方程得(x－4)2＋(y－5)2＝25， 即 C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 将{x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0 得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (Ⅱ)C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0. 由{x2＋y2－8x－10y＋16＝0， x2＋y2－2y＝0， 解得{x＝1， y＝1 或{x＝0， y＝2. 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为( 2， π 4 )，(2， π 2 ). 例 2 在极坐标系中， 曲线 C 的方程为 ρ＝2 2sin(θ＋π 4 ). 以极点 O 为原点， 极轴所在 直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy. (1)求曲线 C 的普通方程； (2)在直角坐标系中，点 P(x，y)是曲线 C 上的动点，试求当 2x＋y 取最大值时点 P 的直 角坐标. 【解析】(1)由 ρ＝2 2sin(θ＋π 4 )，得 ρ＝2sin θ＋2cos θ， 从而 ρ2－2ρsin θ－2ρcos θ＝0 , 由 ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， 得 x2＋y2－2x－2y＝0，即(x－1 ) 2 ＋(y－1 ) 2 ＝2 为圆 C 的普通方程． (2)由(1)可得，曲线 C 的参数方程为{x＝1＋ 2cos α， y＝1＋ 2sin α (α 为参数) . 2x＋y＝3＋ 2(sin α＋2cos α)＝3＋ 10sin(α＋φ )， 其中 sin φ＝2 5 5 ，cos φ＝ 5 5 ，φ∈(0， π 2 )， 当 α＝2kπ＋ π 2 －φ，k∈Z 时，2x＋y 取最大值 10＋3. 故 2x＋y 取到最大值时点 P 的直角坐标为(1＋2 10 5 ，1＋ 10 5 ). 【点评】解决坐标系与参数方程相关问题，一般先根据题目已知条件将曲线的方程转化 成同一坐标系下的方程，然后利用平面解析几何的方法进行计算求解即可．化参数方程为普 通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方 程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方 程化为普通方程来解决． 探究二　参数方程与极坐标方程的应用 例 3 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{x＝3cos θ， y＝sin θ (θ 为参数)，直线 l 的 参数方程为{x＝a＋4t， y＝1－t (t 为参数)． (1)若 a＝－1，求 C 与 l 的交点坐标； (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17，求 a. 【解析】(1)a＝－1 时，直线 l 的方程为 x＋4y－3＝0.曲线 C 的标准方程是x2 9 ＋y2＝1， 联立方程组{x＋4y－3＝0， x2 9 ＋y2＝1， 解得：{x＝3， y＝0 或{x＝－21 25， y＝24 25. 则 C 与 l 的交点坐标是(3，0 )和(－21 25 ， 24 25). (2)直线 l 的一般式方程是 x＋4y－4－a＝0.设曲线 C 上点 P(3cos θ ，sin θ). 则点 P 到直线 l 距离 d＝|3cos θ＋4sin θ－4－a| 17 ＝|5sin(θ＋φ )－4－a| 17 ，其中 tan φ ＝3 4. 依题意得：dmax＝ 17，解得 a＝－16 或 a＝8. 【点评】涉及圆、椭圆、抛物线上的动点的最值问题， 可以考虑应用其参数方桯设动点 的坐标， 以参数为目标函数的变量而求得最值． 例 4 在直角坐标系 xOy 中，圆 C1：(x－2 ) 2 ＋(y－4 ) 2 ＝20，以坐标原点 O 为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2：θ＝ π 3 (ρ ∈ R). (1)求 C1 的极坐标方程和 C2 的平面直角坐标系方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ π 6 (ρ ∈ R)，设 C1 与 C2 的交点为 O，M，C1 与 C3 的交 点为 O，N，求△OMN 的面积． 【解析】(1)因为圆 C1 的普通方程为 x2＋y2－4x－8y＝0， 把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入方程得ρ2－4ρcos θ－8ρsin θ＝0， 所以 C1 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ＋8sin θ， C2 的平面直角坐标系方程为 y＝ 3x. (2)分别将 θ＝ π 3 ，θ＝ π 6 代入 ρ＝4cos θ＋8sin θ， 得 ρ1＝2＋4 3，ρ2＝4＋2 3， 则△OMN 的面积为 S＝1 2×(2＋4 3)×(4＋2 3)×sin(π 3 －π 6 )＝8＋5 3. 【点评】解决这类问题一般有两种思路．一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交 点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐 标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件． 探究三　直线参数方程的应用 例 5 在直角坐标系 xOy 中，已知点 P(0， 3)，曲线 C 的参数方程为{x＝ 2cos φ， y＝2sin φ (φ为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为ρ＝ 3 2cos(θ－π 6 ) . (1)判断点 P 与直线 l 的位置关系并说明理由； (2)设直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 A，B，求 1 |PA | ＋ 1 |PB | 的值． 【解析】(1)点 P 在直线 l 上，理由如下： 直线 l：ρ＝ 3 2cos(θ－π 6 ) ，即 2ρcos(θ－π 6 )＝ 3，亦即 3ρcos θ＋ρsin θ＝ 3，∴直线 l 的直角坐标方程为 3x＋y＝ 3，易知点 P 在直线 l 上． (2)由题意，可得直线 l 的参数方程为{x＝－1 2t， y＝ 3＋ 3 2 t (t为参数)，曲线 C 的普通方程为x2 2 ＋y2 4 ＝1.将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得 2(－1 2t )2 ＋( 3＋ 3 2 t)2 ＝4，∴5t2＋12t－ 4＝0，设两根为 t1，t2，∴t1＋t2＝－12 5 ，t1·t2＝－4 5<0，故 t1 与 t2 异号，∴|PA |＋|PB |＝ |t1－t2 |＝ (t1＋t2 )2 －4t1·t2＝4 14 5 ， ∴|PA |·|PB |＝|t1|· |t2|＝－t1·t2＝4 5， ∴ 1 |PA | ＋ 1 |PB | ＝|PA |＋|PB | |PA |·|PB | ＝ 14. 探究四　极坐标、参数方程综合应用 例 6 已知抛物线 C 的方程为 y2＝8x，以抛物线 C 的焦点 F 为极点，以 x 轴在点 F 右侧 部分为极轴建立极坐标系． (1)求抛物线 C 的极坐标方程； (2)P，Q 是曲线 C 上的两个点，若 FP⊥FQ，求 1 |FP|＋ 1 |FQ|的最大值． 【解析】(1)由抛物线的定义得： ρ 4＋ρcos θ＝1(ρ>0)， 即：ρ＝ 4 1－cos α(ρ>0)． (2)由(1)得： 1 |FP|＋ 1 |FQ|＝ 1 ρ1＋ 1 ρ2＝ 1－cos θ＋1－cos(θ＋π 2 ) 4 ＝2＋sin θ－cos θ 4 ＝ 2＋ 2sin(θ－π 4 ) 4 ≤2＋ 2 4 ，当且仅当 θ＝3π 4 时等号成立，故 1 |FP|＋ 1 |FQ|的最大值为2＋ 2 4 . 规 律 总 结　【p85】 1．在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在象限和极角的范围，否则点的极 坐标将不唯一． 2．将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 3．参数方程化为普通方程的基本思想是消去参数，常用的消参数方法有代入消去法、加 减消去法、恒等式法(三角的或代数的)消去法，不能忘了参数的范围． 4．过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线参数方程的标准形式为{x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α (t 为参 数)，t 的几何意义是直线上的点 P 到点 P0(x0，y0)的数量，即 t＝|PP0|时为距离．使用该式时 直线上任意两点 P1、P2 对应的参数分别为 t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2 中点对应的参数为1 2 (t1＋t2)． 高 考 回 眸　【p85】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 考题 1[2018·全国卷Ⅱ]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{x＝2cos θ， y＝4sin θ (θ 为 参数)，直线 l 的参数方程为{x＝1＋tcos α， y＝2＋tsin α (t 为参数)． (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求 l 的斜率． 【解析】(1)因为曲线 C 的参数方程为{x＝2cos θ， y＝4sin θ (θ 为参数)， 所以曲线 C 的直角坐标方程为x2 4 ＋y2 16＝1. 因为直线 l 的参数方程为{x＝1＋tcos α， y＝2＋tsin a (t 为参数)． 所以①当 α≠ π 2 ＋kπ，k∈Z 时，直线 l 的直角坐标方程为 y＝xtan α＋2－tan α； ②当 α＝ π 2 ＋kπ，k∈Z 时，直线 l 的直角坐标方程为 x＝1. (2)解法一：点差法：设直线与椭圆的交点为 A、B，坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，中点 为 P. 则有{x 4＋ y 16＝1， x 4＋ y 16＝1， 作差可知：kAB·kOP＝ 1 e2－1，kAB·2＝ 1 12 16－1 ＝－4，所以 kAB＝－2. 解法二：参数法：将直线 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(1＋ 3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0， t1＋t2＝－4（2cos α＋sin α） 1＋3cos2α . 由题意可知：t1＋t2＝0，∴2cos α＋sin α＝0⇒tan α＝－2. 解法三：{x2 4＋y2 16＝1， y＝xtan α＋2－tan α， ⇒(4＋tan2α)x2＋2tan α(2－tan α)x＋(2－tan α)2－16＝0， 所以 x1＋x2＝－2tan α（2－tan α） （4＋tan2α） ＝2， 解得：tan α＝－2. 【命题立意】本题主要考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化， 考查直线与椭圆 的中点弦问题及其解法． 考题 2[2018·全国卷Ⅲ]在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的参数方程为 {x＝cos θ， y＝sin θ (θ 为参数)，过点(0 ， － 2)且倾斜角为 α 的直线 l 与⊙O 交于 A，B 两点． (1)求 α 的取值范围； (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程． 【解析】(1)⊙O 的参数方程为{x＝cos θ， y＝sin θ， ∴⊙O 的普通方程为 x2＋y2＝1. 当 α＝90°时，直线 l：x＝0 与⊙O 有两个交点； 当 α≠90°时，设直线 l 的方程为 y＝xtan α－ 2，由直线 l 与⊙O 有两个交点有 |0－0－ 2| 1＋tan2α<1，得 tan2α>1， ∴tan α>1 或 tan α<－1，∴45°<α<90°或 90°<α<135°，综上 α∈(45°，135 °)． (2)点 P 坐标为(x，y)，当 α＝90°时，点 P 坐标为(0，0)；当 α≠90°时，设直线 l 的方 程为 y＝kx－ 2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴{x2＋y2＝1　①， y＝kx－ 2　②，有 x2＋(kx－ 2)2＝1，整理得(1＋ k2)x2－2 2kx＋1＝0， ∴x1＋x2＝2 2k 1＋k2，y1＋y2＝ －2 2 1＋k2 ， ∴{x＝ 2k 1＋k2　③， y＝－ 2 1＋k2　④， 得 k＝－x y， 代入④得 x2＋y2＋ 2y＝0. 当点 P(0，0)时满足方程 x2＋y2＋ 2y＝0， ∴AB 的中点 P 的轨迹方程是 x2＋y2＋ 2y＝0，即 x 2＋(y＋ 2 2 )2 ＝1 2，由图可知，A 1 ( 2 2 ，－ 2 2 )，A2(－ 2 2 ，－ 2 2 )，则－ 2 2 0)，过点 P(－2，－4)的直线 l：{x＝－2＋ 2 2 t， y＝－4＋ 2 2 t (t 为参数)与曲线 C 相交于 M，N 两点． (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数 a 的值． 【解析】(1)把{x＝ρcos θ， y＝ρsin θ 代入 ρsin2θ＝2acos θ，得 y2＝2ax(a>0)， 由{x＝－2＋ 2 2 t， y＝－4＋ 2 2 t (t 为参数)，消去 t 得 x－y－2＝0， ∴曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是 y2＝2ax(a>0)，x－y－2＝0. (2)将{x＝－2＋ 2 2 t， y＝－4＋ 2 2 t (t 为参数)代入 y2＝2ax， 整理得 t2－2 2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0. 设 t1，t2 是该方程的两根， 则 t1＋t2＝2 2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)， ∵|MN|2＝|PM|·|PN|， ∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2， ∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)， ∴a＝1. B 组　能力提升 8．以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单 位．已知直线 l 的参数方程为{x＝tcos φ， y＝1＋tsin φ(t 为参数，0≤φ<π)，曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ. (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，当 φ 变化时，求|AB |的最小值． 【解析】(1) 由{x＝tcos φ， y＝1＋tsin φ，消去 t 得 xsin φ－ycos φ＋cos φ＝0， 所以直线 l 的普通方程为 xsin φ－ycos φ＋cos φ＝0. 由 ρcos2θ＝4sin θ，得(ρcos θ)2 ＝4ρsin θ， 把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式，得 x2＝4y， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y. (2) 将直线 l 的参数方程代入 x2＝4y，得 t2cos2φ－4tsin φ－4＝0， 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则 t1＋t2＝4sin φ cos2φ ，t1t2＝ －4 cos2φ， 所以|AB |＝|t1－t2 |＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 16sin2φ cos4φ ＋ 16 cos2φ＝ 4 cos2φ. 当 φ＝0 时，|AB |的最小值为 4. 9．已知曲线 C1：x＋ 3y＝ 3和 C2：{x＝ 6cos φ， y＝ 2sin φ (φ 为参数)．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位． (1)把曲线 C1 和 C2 的方程化为极坐标方程； (2)设 C1 与 x，y 轴交于 M，N 两点，且线段 MN 的中点为 P，若射线 OP 与 C1，C2 交于 P，Q 两点，求 P，Q 两点间的距离． 【解析】(1)曲线 C1 化为 ρcos θ＋ 3ρsin θ＝ 3， ∴ρsin(θ＋π 6 )＝ 3 2 . 曲线 C2 化为x2 6＋y2 2＝1.(*) 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式， 得 ρ2 6 cos2θ＋ρ2 2 sin2θ＝1，即 ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6， ∴曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2＝ 6 1＋2sin2θ. (2)∵M( 3，0)，N(0，1)，所以 P( 3 2 ， 1 2)， ∴OP 的极坐标方程为 θ＝ π 6 ， 把 θ＝ π 6 代入 ρsin(θ＋π 6 )＝ 3 2 得 ρ1＝1，P(1， π 6 ). 把 θ＝ π 6 代入 ρ2＝ 6 1＋2sin2θ得 ρ2＝2，Q(2， π 6 ). ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即 P，Q 两点间的距离为 1. 10．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{x＝4cos θ， y＝2sin θ (θ 为参数)． (1)求曲线 C 的普通方程； (2)经过点 M(2，1)(平面直角坐标系 xOy 中的点)作直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若 M 恰好为线段 AB 的中点，求直线 l 的斜率． 【解析】(1)由曲线 C 的参数方程，得{cos θ＝x 4， sin θ＝y 2， 所以曲线 C 的普通方程为x2 16＋y2 4＝ 1. (2)设直线 l 的倾斜角为 θ1，则直线 l 的参数方程为{x＝2＋tcos θ1， y＝1＋tsin θ1 (t 为参数). 代入曲线 C 的直角坐标方程，得(cos2θ1＋4sin2θ1)t2＋(4cos θ1＋8sin θ1)t－8＝0， 所以 t1＋t2＝－4cos θ1＋8sin θ1 cos2θ1＋4sin2θ1 ，由题意可知 t1＝－t2. 所以 4cos θ1＋8sin θ1＝0，得 k＝－1 2.所以直线 l 的斜率为－1 2. 11．在极坐标系中，曲线 C1：ρ＝2cos θ，曲线 C2：ρsin2θ＝4cos θ.以极点为坐标原 点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 xOy，曲线 C 的参数方程为{x＝2＋1 2t， y＝ 3 2 t (t 为参数)． (1)求 C1，C2 的直角坐标方程； (2)C 与 C1，C2 交于不同四点，这四点在 C 上的排列顺次为 P，Q，R，S，求||PQ |－|RS || 的值． 【解析】(1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由 ρ＝2cos θ得 ρ2＝2ρcos θ， 所以曲线 C1 的直角坐标方程为(x－1 ) 2 ＋y2＝1， 由 ρsin2θ＝4cos θ得 ρ2sin2θ＝4ρcos θ，所以曲线 C2 的直角坐标方程为：y2＝4x. (2)不妨设四个交点自下而上依次为 P，Q，R，S，它们对应的参数分别为 t1，t2，t3，t4. 把{x＝2＋1 2t， y＝ 3 2 t 代入 y2＝4x，得3t2 4 ＝4(2＋t 2 )，即 3t2－8t－32＝0， 则 Δ1＝(－8 ) 2 －4×3×(－32 )＝448>0，t1＋t4＝8 3， 把{x＝2＋1 2t， y＝ 3 2 t 代入(x－1 ) 2 ＋y2＝1，得(2＋1 2t－1)2 ＋( 3 2 t )2 ＝1，即 t2＋t＝0， 则 Δ2＝1>0，t2＋t3＝－1， 所以||PQ|－|RS||＝|(t2－t1)－(t4－t3)|＝|t2＋t3－(t1＋t4)|＝|1＋8 3 |＝11 3 .