【数学】2019届一轮全国通用版（文）第31讲不等关系与不等式学案

【数学】2019届一轮全国通用版（文）第31讲不等关系与不等式学案

第六章　不等式、推理与证明 第31讲　不等关系与不等式 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．‎ ‎2．了解不等式(组)的实际背景．‎ ‎3．掌握不等式的性质及应用.‎ ‎2016·北京卷，5‎ ‎2016·浙江卷，8‎ ‎2016·江苏卷，5‎ 利用作差、作商法比较大小，利用不等式的性质判断关于不等式的命题的真假.‎ 分值：5分 ‎1．两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 ‎(2)作商法 ‎2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a＞b⇔__b＜a__‎ ‎⇔‎ 传递性 a＞b，b＞c⇒__a＞c__‎ ‎⇒‎ 可加性 a＞b⇔__a＋c＞b＋c__‎ ‎⇔‎ 可乘性 ⇒__ac＞bc__‎ 注意c的符号 ⇒__ac＜bc__‎ 同向可加性 ⇒__a＋c＞b＋d__‎ ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒__ac＞bd＞0__‎ ‎⇒‎ 可乘方性 a＞b＞0⇒__an＞bn__(n∈N，n≥1)‎ a，b同为正数 可开方性 a＞b＞0⇒__＞__(n∈N，n≥2)‎ ‎3．不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a＞b，ab＞0⇒__＜__；‎ ‎②a＜0＜b⇒__＜__；‎ ‎③a＞b＞0，d>c>0⇒__＞__；‎ ‎④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒__＜____＜__.‎ ‎(2)有关分数的性质 若a＞b＞0，m＞0，则：‎ ‎①＜，＞(b－m＞0)；‎ ‎②＞，＜(b－m＞0)．‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(　√　)‎ ‎(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　×　)‎ ‎(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　×　)‎ ‎(4)同向不等式具有可加和可乘性．(　×　)‎ ‎(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．(　√　)‎ 解析　(1)正确．两个实数a，b之间的大小关系只有三种．‎ ‎(2)错误．同乘以一个负数或0时不等号改变．‎ ‎(3)错误．如－2<2，而－＜.‎ ‎(4)错误．同向不等式具有可加性，但不一定具有可乘性，如1＜2，－3＜－2，但－3>－4.‎ ‎(5)正确．当这个比值中的分母小于零时，分子小于分母，当这个比值中的分母大于零时，分子大于分母．‎ ‎2．下列四个结论，正确的是(　D　)‎ ‎①a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d；‎ ‎②a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＞bd；‎ ‎③a＞b＞0⇒＞；‎ ‎④a＞b＞0⇒＞.‎ A．①②　　 B．②③　　‎ C．①④　　 D．①③‎ 解析　利用不等式的同向可加性可知①正确；根据不等式的性质可知ac＜bd，故②不正确；因为函数y＝x是单调递增的，所以③正确；对④由a＞b＞0可知a2＞b2＞0，所以＜，所以④不正确．故选D．‎ ‎3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　D　)‎ A．＞　　 B．＜ C．＞　　 D．＜ 解析　因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，即得＞＞0，又a＞b＞0，得＞，从而有＜.‎ ‎4．设a，b，c∈R，且a＞b，则(　D　)‎ A．ac＞bc　　 B．＜ C．a2＞b2　　 D．a3＞b3‎ 解析　y＝x3在(－∞，＋∞)上为增函数，所以a3＞b3.‎ ‎5．下列各组代数式所有正确的判断是__①③④__.‎ ‎①x2＋5x＋6＜2x2＋5x＋9；‎ ‎②(x－3)2＜(x－2)(x－4)；‎ ‎③当x＞1时，x3＞x2－x＋1；‎ ‎④x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．‎ 解析　①2x2＋5x＋9－x2－5x－6＝x2＋3>0，‎ 所以x2＋5x＋6＜2x2＋5x＋9，故①正确．‎ ‎②(x－3)2－(x－2)(x－4)＝1，‎ 所以(x－3)2＞(x－2)(x－4)，故②错误．‎ ‎③当x＞1时，x3－(x2－x＋1)＝(x－1)(x2＋1)＞0，‎ 所以当x＞1时， x3＞x2－x＋1，故③正确．‎ ‎④x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，‎ 所以x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)，故④正确．‎ 一　比较两个数(式)的大小 比较大小的常用方法 ‎(1)作差法：其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论．用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法．‎ ‎(2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论．要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负进行判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．‎ ‎(3)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小．‎ ‎(4)特殊值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特殊值验证法比较大小．‎ ‎【例1】 (1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a‎1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　B　)‎ A．M＜N　　 B．M＞N C．M＝N　　 D．不确定 ‎(2)对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：‎ ‎①loga(1＋a)＜loga；‎ ‎②loga(1＋a)＞loga；‎ ‎③a1＋a＜a1＋；‎ ‎④a1＋a＞a1＋.‎ 其中成立的是(　D　)‎ A．①与③　　 B．①与④‎ C．②与③　　 D．②与④‎ ‎(3)若a＝，b＝，则a与b的大小关系为__a＞b__.‎ 解析　(1)M－N＝a‎1a2－(a1＋a2－1)＝a‎1a2－a1－a2＋1‎ ‎＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，‎ 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1＜0，a2－1＜0.‎ ‎∴(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0.∴M＞N.‎ ‎(2)当0＜a＜1时，(1＋a)－＝＜0，‎ 则1＋a＜1＋，因此②④成立．‎ ‎(3)∵a＝＞0，b＝＞0，‎ ‎∴＝·＝＝＞1，∴a＞b.‎ 二　不等式的性质及应用 ‎(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．‎ ‎(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．‎ ‎【例2】 (1)已知a，b，c，d为实数，则“a＞b且c>d”是“ac＋bd＞bc＋ad”的(　A　)‎ A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　　 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)若＜＜0，则下列不等式：①a＋b＜ab；②＞；③a＜b；④ab＜b2中，正确的不等式有(　C　)‎ A．①②　　 B．②③‎ C．①④　　 D．③④‎ 解析　(1)因为c＞d，所以c－d＞0.又a＞b，所以两边同时乘以(c－d)，得a(c－d)＞b(c－d)，即ac＋bd>bc＋ad.若ac＋bd＞bc＋ad，则a(c－d)＞b(c－d)，所以可能a>b且c>d，也可能a＜b且c＜d，所以“a＞b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．‎ ‎(2)因为＜＜0，所以b＜a＜0，a＋b＜0，ab＞0，所以a＋b＜ab，＜，在b＜a两边同时乘以b，因为b＜0，所以ab＜b2.因此正确的是①④.‎ 三　应用不等式的性质求范围 应用不等式性质求范围问题的注意点 应用不等式的性质求某些代数式的取值范围应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．此外，这类问题还可以用线性规划的知识求解．‎ ‎【例3】 三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤‎2a，b≤a＋c≤2b，则的取值范围是____.‎ 解析　两个不等式同时除以a，得 将②×(－1)得 两式相加，得1－≤－1≤2－，‎ 解得≤≤.‎ ‎1．若a，b∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是(　C　)‎ A．a2＞b2　　 B．＞1‎ C．‎2a＞2b　　 D．lg(a－b)＞0‎ 解析　A项，当a＝－1且b＝－2时，显然满足a＞b，但不满足a2＞b2，故错误；B项，当a＝－1且b＝－2时，显然满足a＞b，但＝，故错误；C项，由指数函数的单调性可知当a＞b时，‎2a＞2b，故正确；D项，当a＝－1且b＝－2时，显然满足a＞b，但lg(a－b)＝lg 1＝0，故错误．故选C．‎ ‎2．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤‎3a，则的取值范围为(　B　)‎ A．(1，＋∞)　　 B．(0,2)‎ C．(1,3)　　 D．(0,3)‎ 解析　由已知及三角形的三边关系得 ‎∴即∴ 两式相加，得0＜2×＜4，∴的取值范围为(0,2)．故选B．‎ ‎3．下列命题中正确的是(　C　)‎ A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若ac＞bc，则a＞b C．若＜，则a＜b D．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d 解析　由不等式的性质知C项正确．故选C．‎ ‎4．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　C　)‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2‎ B．若＞，则a＞b C．若a3＞b3且ab＜0，则＞ D．若a2＞b2且ab＞0，则＜ 解析　当c＝0时，可知A项不正确；当c＜0时，可知B项不正确；对于C项，由a3＞b3且ab＜0知a＞0且b＜0，所以＞成立，C项正确；当a＜0且b＜0时，可知D项不正确．‎ 易错点　忽视两个变量的相互制约关系 错因分析：由两个不等式的范围求另一个式子的范围时，宜采用待定系数法，否则会扩大所求范围．‎ ‎【例1】 已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求‎3a－2b的取值范围．‎ 解析　 设‎3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，‎ 则有解得 ‎∴‎3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)．‎ ‎∵≤(a＋b)≤，－≤(a－b)≤，‎ ‎∴－2≤‎3a－2b≤10，即‎3a－2b的范围是[－2,10]．‎ ‎【跟踪训练1】 已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．‎ 解析　f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝‎4a－2b.‎ 由题意得设m(a－b)＋n(a＋b)＝‎4a－2b，‎ 则解得故f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)．‎ ‎∵3≤3(a－b)≤6,2≤a＋b≤4，∴5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，‎ 即5≤f(－2)≤10，∴f(－2)的取值范围是[5,10]．‎ 课时达标　第31讲 ‎[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．‎ 一、选择题 ‎1．设a，b为实数，则“a<或b<”是“0|a＋b|‎ 解析　令a＝－1，b＝－2，代入选项验证可知D项错误．‎ ‎3．如果a，b，c满足cac　　 B．bc>ac C．cb2　　 B．a 解析　因为0＜a＜b＜1，所以－＝＜0，可得＜；a＞b；(lg a)2＞(lg b)2；lg a＜lg b＜0，可得＞.综上可知，只有D项正确．‎ ‎5．设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是(　D　)‎ A．　　 B． C．(0，π)　　 D． 解析　由题设得0＜2α＜π，0≤≤，‎ ‎∴－≤－≤0，∴－＜2α－＜π.‎ ‎6．(2018·湖北重点高中联考)已知0＜c＜1,1＞a＞b＞0，下列不等式成立的是(　D　)‎ A．ca＞cb　　 B．＜ C．bac＞abc　　 D．logac＞logbc ‎ 解析　对于A项，构造函数y＝cx，因为0b>0，根据单调性得知caa>b>0，故<⇒<，取倒数得>，故B项错误；对于C项，bac>abc，两边变形得c<，整理得bac0，logbc>0，利用对数函数的换底公式，则有>⇒logac>logbc，故D项正确．故选D．‎ 二、填空题 ‎7．已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是__＋≥＋__.‎ 解析　＋－＝＋ ‎＝(a－b)＝.‎ 因为a＋b＞0，(a－b)2≥0，‎ 所以≥0，所以＋≥＋.‎ ‎8．若－1|b|，则a2>b2；②若a>b，则<；‎ ‎③若 a>b，则a3>b3；④若a<0，－1a.‎ 其中所有正确结论的序号是__①③④__.‎ 解析　对于①，因为a＞|b|≥0，所以a2＞b2，即①正确；‎ 对于②，当a＝2，b＝－1时，显然不正确；‎ 对于③，显然正确；‎ 对于④，因为a＜0，－1＜b＜0，‎ ab2－a＝a(b2－1)＞0，所以ab2＞a，即④正确．‎ 三、解答题 ‎10．若实数a≠1，比较a＋2与的大小．‎ 解析　∵a＋2－＝＝，‎ ‎∴当a＞1时，a＋2＞；‎ 当a＜1时，a＋2＜.‎ ‎11．已知x，y为正实数，满足1≤lg xy≤2,3≤lg≤4，求lg(x4y2)的取值范围．‎ 解析　设a＝lg x，b＝lg y，则lg xy＝a＋b，‎ lg＝a－b，lg (x4y2)＝‎4a＋2b.‎ 设‎4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，‎ ‎∴解得 ‎∴lg(x4y2)＝3lg (xy)＋lg.‎ ‎∵3≤3lg (xy)≤6,3≤lg≤4，‎ ‎∴6≤lg(x4y2)≤10，即lg(x4y2)的取值范围是[6,10]．‎ ‎12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，求的取值范围．‎ 解析　∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0，‎ ‎∴b＝－(a＋c)．‎ 又a＞b＞c，‎ ‎∴a＞－(a＋c)＞c，且a＞0，c＜0，‎ ‎∴1＞－＞，即1＞－1－＞，∴ 解得－2＜＜－，即的取值范围是.‎