【数学】2021届一轮复习人教版（文）41直接证明与间接证明作业
直接证明与间接证明
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一、选择题
1．用反证法证明某命题时，对结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是( )
A．自然数a，b，c中至少有两个偶数
B．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．自然数a，b，c都是奇数
D．自然数a，b，c都是偶数
B [“恰有一个”否定是“至少有两个或一个也没有”，故选B.]
2．已知m＞1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a，b大小不定
B [∵a＝－＝，
b＝－＝.
而＋＞＋＞0(m＞1)，
∴＜，
即a＜b.]
3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则下列三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于6 B．至少有一个不大于6
C．都小于6 D．至少有一个不小于6
D [由a，b，c∈(0，＋∞)知
＋＋＝＋＋≥18(当且仅当a＝4，b＝2，c＝3时，等号成立)，
因此三个数中至少有一个不小于6，故选D.]
4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证
0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
C [由题意知0
⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.]
5．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
A [因为函数f(x)＝x在R上是减函数，
且≥≥，
所以f≤f()≤f，
即A≤B≤C，故选A.]
二、填空题
6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设 ．
x≠－1且x≠1 [“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．]
7．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥
2成立的条件的个数是 ．
3 [要使＋≥2，只要>0，且>0，即a，b不为0且同号即可，故有3个．]
8．在甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是 ．
甲 [假设甲获奖，则甲、乙、丙都说了假话，丁说了真话，满足题意，故获奖的歌手是甲．]
三、解答题
9．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
[证明] 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.
∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，
从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
10．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.
[证明] 假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，
则有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c＝＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋＝22＋3≥3.
这与a＋b＋c＜3矛盾，假设不成立，
故a，b，c至少有一个不小于1.
1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋
x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
A [由题意知f(x)在R上单调递减，
由x1＋x2＞0得x1＞－x2，则f(x1)＜f(－x2)，
即f(x1)＜－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＜0，故选A.]
2．(2019·武汉模拟)在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”，四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
A [①假定甲说的是真话，则丙说“甲说的对”也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故甲说的是假话；
②假定乙说的是真话，则丁说“反正我没有责任”也为真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故乙说的是假话；
③假定丙说的是真话，由①知甲说的也是真话，这与四人中只有一个人说的是真话矛盾，所以假设不成立，故丙说的是假话；
综上可得，丁说的真话，甲乙丙三人说的均为假话，即乙丙丁没有责任，所以甲负主要责任，故选A.]
3．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是 ．
[若二次函数f(x)≤0在区间[－1,1]内恒成立，则
解得p≤－3或p≥，
故满足题干要求的p的取值范围为.]
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn
}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
[解] (1)由已知得所以d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
因为p，q，r∈N*，所以所以2＝pr，即(p－r)2＝0，
所以p＝r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
1．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为V＝×(底面圆的周长的平方×高)，则由此可推得圆周率π的取值为( )
A．3 B．3.1
C．3.14 D．3.2
A [设圆柱体的底面半径为r，高为h，由圆堡瑽(圆柱体)的体积V＝×(底面圆的周长的平方×高)得到×(2πr)2×h＝πr2h，解得π＝3，故选A.]
2．(2019·荆门模拟)在△ABC中，内角A，B，C有关系＋＋≥；在四边形ABCD中，内角A，B，C，D有关系＋＋＋≥；在五边形ABCDE中，内角A，B，C，D，E有关系＋＋＋＋≥；……
(1)猜想在n边形A1A2A3…An中内角A1，A2，A3，…，An有怎样的关系(不需证明)；
(2)用你学过的知识，证明△ABC中的关系：＋＋≥，并指出等号成立的条件．
[解] (1)在△ABC中，内角A，B，C有关系＋＋≥＝；
在四边形ABCD中，内角A，B，C，D有关系＋＋＋≥＝；
在五边形ABCDE中，内角A，B，C，D，E有关系＋＋＋＋≥＝，观察规律：＋＋…＋≥.
(2)证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴(A＋B＋C)＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝3＋2×3＝9
∴＋＋≥，当且仅当A＝B＝C＝时，等号成立．
