2018届二轮复习恒成立与存在性问题的探究学案（江苏专用）
【热身训练】
1．对任意实数x∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a<0恒成立，则实数a的取值范围________．
解析：
分离参数法：a>＝2－x恒成立－1≤x≤1，所以a>3.
2．若不等式(m2－m)2x－<1在[－1，＋∞)有解，则实数m的取值范围________．
解析：首选分离参数法，(m2－m)＜＋在[－1，＋∞)有解，y＝＋，x∈[－1，＋∞)的最大值为6，m2－m<6，所以－2
0，若不等式－－≤0恒成立，则实数m的取值范围________．
解析：首选分离参数法，m≤(3a＋b)(a，b>0)恒成立，(3a＋b)＝9＋＋＋1≥16，所以m≤16.
4.已知对满足x＋y＋4＝2xy的任意正实数x，y，都有x2＋2xy＋y2－ax－ay＋1≥0，则实数a的取值范围是________．
【热点追踪】
恒成立与存在性问题主要涉及到函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现恒成立与存在性问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分.
（一）单变量问题
例1. 不等式x2－ax＋1≥0对一切实数恒成立，求实数a的取值范围．
解析：Δ≤0，所以－2≤a≤2.
变式1 不等式x2－ax＋1≥0对实数x∈(0，]恒成立，求实数a的取值范围．
解析：a≤x＋恒成立，所以a≤.
变式2 存在实数x∈，使得x2－x＋a>0成立，求实数a的取值范围．
（二）多变量问题
例2. 已知函数f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对∀x1∈ [2,3]，∃x2∈[1,2]，f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．
解析：g(x2)≤f(x1)min＝4，所以g(x2)min＝－m≤4，所以m≥－.
变式1 已知函数f(x)＝x2，g(x)＝－m，若对∀x1∈[2,3]，∀x2∈[1,2]，f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．
解析：g(x2)≤f(x1)min＝4，所以g(x2)max＝－m≤4，所以m≥－.
变式2 已知函数f(x)＝x2，g(x2)＝－m，若对∃x1∈[2,3]，∃x2∈[1,2]，f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．
解析：g(x2)≤f(x1)max＝9所以g(x2)min＝－m≤9所以m≥－.学
（三）图象法
例3. 已知函数f(x)＝若对于t∈R，f(t)≤kt恒成立，求实数k的取值范围．
解析：①当t≥1时，ln t≤kt恒成立，所以k≥，t∈[1，＋∞)．令g(t)＝，则g′(t)＝，当t∈(1，e)时，g′(t)>0，则g(t)＝在t∈(1，e)时为增函数；当t∈(e，＋∞)时，g′(t)<0，则g(t)＝在t∈(e，＋∞)时为减函数．所以g(t)max＝g(e)＝，所以k≥.
②当0x＋存在x∈(1,2)，min>4，－m>4，所以m<－4.
2．若不等式bx＋c＋ 9ln x≤x2对任意实数x∈(0，＋∞)，b∈(0,3)恒成立，则实数c的取值范围________．
解析：g(b)＝bx＋c＋9ln x－x2，利用图象只需g(3)＝3x＋c＋9ln x－x2≤0恒成立x∈(0，＋∞)，c≤x2－3x－ 9ln x恒成立x∈(0，＋∞)，令g(x)＝x2－3x－9ln x，g′(x)＝，易得，c≤－9ln 3.
3．设函数f(x)＝x－，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：2mx－<0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，2mx2－<0恒成立x
∈[1，＋∞)利用图象，设g(x)＝2mx2－，只能，所以m<－1.
4．已知函数f(x)＝，若不等式f(x)≥kx对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是________．
