山东省菏泽市郓城第一中学2019届高三下学期一模文科数学试题

山东省菏泽市郓城第一中学2019届高三下学期一模文科数学试题

郓城一中2019年普通高等学校招生模拟考试 文科数学 一、选择题 ‎1.若全集为实数集，集合，，则是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先具体求两个集合，再求.‎ ‎【详解】的定义域是，所以，‎ ‎ ，解得：或 ‎ 所以或，‎ ‎，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查集合的表示，集合的运算，属于基础计算题型.‎ ‎2.已知复数，，则的共轭复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据条件解出，计算和，最后得到共轭复数的虚部.‎ ‎【详解】，，解得：，‎ 所以， ‎ 所以虚部是.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查复数的运算，重点考查模和虚部，属于基础题型.‎ ‎3.在直角三角形中，为直角，，，其内切圆为圆，若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆的的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知此概率类型应是几何概型，所以利用等面积公式计算直角三角形内切圆的半径，利用面积比值计算概率.‎ ‎【详解】,‎ 设三角形的内切圆半径为，‎ 则，解得：，‎ 则内切圆的面积，直角三角形的面积,‎ 由题意可知此概率类型应是几何概型，‎ 所以豆子落在其内切圆的内的概率.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查几何概型，本题的关键是根据等面积公式计算内切圆的半径，属于基础题型.‎ ‎4.若等比数列的前项和为，且，则数列的公比（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，等式不成立，当时，根据等比数列的前项和列等式求公比.‎ ‎【详解】当时，等式不成立，所以，‎ 当时，，‎ 即，‎ 解得：.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查等比数列的前项和，属于基础计算题型.‎ ‎5.已知奇函数的导函数为，若在上是减函数，则不等式的解集是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知导函数是偶函数，所以不等式等价于，利用导函数的单调性解不等式.‎ ‎【详解】因为函数是奇函数，所以导函数是偶函数，‎ 所以，等价于 ‎ 因为在上是减函数，‎ 所以，解得： ，‎ 即不等式的解集是.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查利用函数的性质解抽象不等式，重点考查函数性质的综合应用，属于基础题型.‎ ‎6.若点是的重心，边的中点为，则下列结论错误的是（ ）‎ A. 是的三条中线的交点 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由定义可知的中线的交点就是重心，并且，由此判断选项，得到正确答案.‎ ‎【详解】A.的中线的交点就是重心，所以A正确；‎ B.根据平行四边形法则可知，因为点是的重心，所以，所以,所以B正确；‎ C.因为点是的重心，所以，所以，所以C正确；‎ D.由以上可知D错误.‎ ‎【点睛】本题考查向量共线，三角形重心的性质，属于基础题型.‎ ‎7.某圆锥的三视图如图.圆锥表面上的点在正视图上的对应点为，圆锥表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆锥侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据三视图，画出扇形侧面展开图，从到的路径中，最短路径是如图的长度，根据余弦定理求解.‎ ‎【详解】如图，圆锥底面周长是，所以圆锥展开图的扇形圆周角是，‎ 根据三视图可知，‎ 从到的路径中，最短路径是如图的长度，‎ 中，根据余弦定理，‎ 所以 ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查三视图，以及圆锥侧面展开图两点之间的最短距离，意在考查数形结合分析问题的能力，属于重点题型.‎ ‎8.已知为抛物线的焦点，过作垂直轴的直线交抛物线于、两点，以为直径的圆交轴于、两点，且，则抛物线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知圆是以焦点为圆心，为半径的圆，那么中，利用勾股定理求解.‎ ‎【详解】由题意可知通径，所以圆的半径是，‎ 在中，，，解得：，‎ 所以抛物线方程： ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质，重点考查数形结合分析问题的能力，本题的关键是根据抛物线和圆的几何性质抽象出数学等式，属于基础题型.‎ ‎9.已知函数.若在存在个零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据导数判断函数的单调性，再结合零点个数列出满足条件的不等式，得到实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时， ‎ ‎，‎ 所以函数在区间上单调递减，‎ 若在存在个零点，则 ‎，且 ，‎ 解得: ,‎ 所以的取值范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题型，本题的关键是确定函数的单调性，再结合零点存在性定理得到答案.‎ ‎10.已知双曲线的左右顶点分别为、，垂直于轴的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据，整理为，再结合双曲线方程，可知，，可得，可得双曲线标的离心率.‎ ‎【详解】设，，，， ‎ ‎， ‎ 整理为：，即，‎ 且 ，两式整理为：，，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 即双曲线的离心率.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，意在考查转化与化归的思想，属于中档题型，本题的关键是理解直线的任意性，这样再整理为，时，可知.‎ ‎11.在直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆交于第一象限内的点，点的纵坐标为，把射线顺时针旋转，到达射线，点在圆上，则的横坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的定义求，再由定义可知点的横坐标是.‎ ‎【详解】由条件可知，并且是第一象限角，那么，‎ 由条件可知射线所对的角是，‎ 则 ‎ 则点横坐标是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查三角函数的定义的综合应用，重点考查计算能力和理解应用，属于基础题型.‎ ‎12.已知正方体的棱长为，一只蚂蚁在该正方体的表面上爬行，在爬行过程中，到点的直线距离为，它爬行的轨迹是一个封闭的曲线，则曲线的长度是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意分析出爬行轨迹的封闭曲线，再利用圆的周长求曲线的长度.‎ ‎【详解】根据题意可知，封闭的曲线上的点看到点A的距离为，则形成的封闭曲线应是以点为球心，为半径的球面，在正方体上形成的封闭曲线如图所示：‎ 曲线只能在侧面，侧面和上底面上，‎ 在侧面上，曲线以点为圆心，半径为2的圆，其长度为，‎ 同理，在侧面上，曲线以为圆心，半径2的圆，其长度为，‎ 上底面上，曲线以为圆心，半径2的圆，其长度为，‎ 则曲线的长度为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查球与几何体的综合题型，重点考查弧长计算，属于中档题型，本题的难点是确定曲线的形状，而关键是理解平面截球，得到的是圆面，再根据球的几何性质，得到圆弧.‎ 二、填空题 ‎13.若实数满足条件，则的最大值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出可行域和初始目标函数，再平移初始目标函数，求解最优解，求目标函数的最大值.‎ ‎【详解】首先画出可行域，然后画出初始目标函数，令，‎ ‎，然后初始目标函数平移至点处时，取得最大值，‎ ‎ ，解得：，‎ 此时.‎ 故答案为：7‎ ‎【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.‎ ‎14.已知等差数列和等差数列的前项和分别为，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差中项公式，构造等差数列的前项和的比值，得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和和等差数列的性质，重点考查转化与变形，属于基础计算题型.‎ ‎15.△ABC中，，，则=_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A为锐角，由得，因此 考点：正余弦定理 ‎16.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求函数的导数，并设，，若满足条件可知恒成立，列满足条件的不等式，求实数的取值范围.‎ ‎【详解】 ‎ ‎，‎ ‎，‎ 设，‎ ‎，‎ 若函数在上单调递增，则恒成立，‎ 即 ，解得：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查导数和函数单调性的关系，以及二次函数，重点考查转化与化归的思想，属于中档题型，本题的关键是转化为恒成立，根据二次函数的图形和性质求解.‎ 三、解答题 ‎17.在锐角中，角所对的边分别为，已知，，且满足.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）如图，外一点，若在平面四边形中，，，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据正弦定理变换互化为，再求解；‎ ‎（2）首先中，根据余弦定理求，中利用正弦定理求的长度.‎ ‎【详解】解：（1）由正弦定理得：，‎ 因，所以 又因为，故.‎ ‎（2）由余弦定理得，，‎ 因为，，所以，所以，‎ ‎∵在中，，，由正弦定理得，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查逻辑推理，计算能力，属于基础题型.‎ ‎18.如图，在三棱锥中，平面，，点在直线上的正投影为点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，，直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明线面平行，需证明垂直于平面内的两条相交直线，关键是证明；‎ ‎（2）由条件可知，这样利用条件可求出棱锥的底面面积和高，最后求三棱锥的体积.‎ ‎【详解】解：（1）∵平面，平面，‎ ‎∴，又，，∴平面.‎ 又平面，‎ ‎∴，又，，∴平面.‎ ‎（2）由（1）知，平面，‎ ‎∴就是直线与平面所成的角，即.‎ ‎∴中，，，从而.‎ 又平面，∴三棱锥的高为.‎ 又中，，，，从而，.‎ ‎∴三棱锥的体积 ‎【点睛】本题考查线面垂直，棱锥的体积，重点考查推理证明，计算能力，属于基础题型.‎ ‎19.为了比较两位运动员甲和乙的打靶成绩，在相同条件下测得各打靶次所得环数（已按从小到大排列）如下：‎ 甲的环数：‎ 乙的环数：‎ ‎（1）完成茎叶图，并分别计算两组数据的平均数及方差；‎ ‎（2）（i）根据（1）的结果，分析两人的成绩；‎ ‎（ii）如果你是教练，请你作出决策：根据对手实力的强弱分析应该派两人中的哪一位上场比赛.‎ ‎【答案】（1）作图见解析；甲的环数的平均数为，方差；乙的环数的平均数为，方差为（2）（i）详见解析（ii）应派乙上场 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由茎叶图中的数据分别计算两组数据的平均数和方差；‎ ‎（2）（ⅰ）平均数相同的情况下，方差小说明数据比较集中，稳定，判断甲乙的成绩好坏；‎ ‎（ⅱ）根据对手的成绩是否大于平均分来判断.‎ ‎【详解】解：（1）完成茎叶图，如图所示.‎ 甲的环数的平均数为.‎ 方差 乙的环数的平均数为.‎ 方差为 ‎（2）（i）由（1）知，，，这表明甲乙二人打靶的平均水平相当，但甲成绩更稳定.‎ ‎（ii）由此作出决策：若对手实力较弱（以往平均成绩小于），则应派甲上场，这样胜率较大；若对手实力较强（以往平均成绩超过），则应派乙上场，这样可以拼一下.‎ ‎【点睛】本题考查统计的实际应用问题，重点考查样本的平均数，方差，以及分析，抽象概括能力，计算能力，属于基础题型.‎ ‎20.已知椭圆离心率为，椭圆上的点到右焦点的最小距离是，直线交椭圆于、两点，为坐标原点，‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求三角形面积的最大值，并求此时直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）面积的最大值为，此时直线的方程是.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由条件可知，且，求椭圆方程；‎ ‎（2）直线与椭圆方程联立，并且表示，，‎ 利用韦达定理表示三角形的面积，并通过换元求三角形面积的最值，和此时直线的方程.‎ ‎【详解】解：（1）因为，，所以，，，，‎ ‎（2）把直线代入椭圆，得，，‎ 设，，则，‎ 点到直线的距离为，‎ ‎，设，则 ‎，‎ 当，即，即时，，此时直线的方程是.‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，涉及椭圆中三角形面积的最值的求法，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若，试判断的符号；‎ ‎（2）讨论的零点的个数.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）当或时，有个零点；当且时，有个零点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先计算得到，设，利用二次求导，判断函数的单调性，和比较大小；‎ ‎（2）首先求函数的导数，讨论，两种情况讨论函数的单调性，判断函数的零点个数，当时，，‎ 设，再次求函数的导数，判断函数的单调性和最小值，讨论求函数的零点个数.‎ ‎【详解】解：（1）.‎ 设，则.‎ 设，则，‎ ‎∴当时，；当时，.‎ ‎∴当时，.故，从而.‎ ‎∴在上单调递增.‎ ‎∴当时，，从而；‎ 当时，，从而；‎ 当时，，从而.‎ ‎（2）的定义域为，.‎ ‎∴当时，，故在上单调递增，‎ 又，∴有个零点.‎ 当时，令，得；令，得.‎ ‎∴在上上单调递减，在上单调递增.‎ ‎∴.‎ 设，则.‎ ‎∴当时，；当时，.∴.‎ ‎∴当时，，即，‎ 又当时，；当时，；故有个零点.‎ 当时，，故有个零点.‎ 当时，，即，‎ 又当时，；由（1）知，故有个零点.‎ 当或时，有个零点；当且时，有个零点 ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，第二问中当时，判断零点个数相对其他情况比较难，还需构造函数，解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.‎ ‎22.已知直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线与圆的普通方程；‎ ‎（2）若直线分圆所得的弧长之比为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用，，，求圆的普通方程，消去参数，就是直线的普通方程；‎ ‎（2）由条件可知，劣弧所对的圆心角是，得到弦长为，利用弦长定理计算得到.‎ ‎【详解】解：（1）由题意知：‎ ‎；‎ ‎（2）；‎ 直线分圆所得的弧长之比为，劣弧所对的圆心角是，‎ 得到弦长等于，；‎ ‎，所以；‎ ‎【点睛】本题考查极坐标，参数方程，直角坐标方程的互化，重点考查互化公式，以及圆的弦长公式，属于基础计算题型.‎ ‎23.已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用零点分段法，分，，或三段去绝对值，得到函数，解不等式；‎ ‎（2）当时，不等式等价于恒成立，即是不等式解集的子集，讨论求的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，即 故不等式的解集为或.‎ ‎（2）即不等式的内恒成立，等价于当时，恒成立.‎ 当，则当时，矛盾.‎ 若，的解集为，所以，故.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立求参数的取值范围，重点考察零点分段法，以及转化与变形，计算能力，属于中档题型.‎