西藏拉萨那曲第二高级中学2020届高三第三次月考数学（文）试题

西藏拉萨那曲第二高级中学2020届高三第三次月考数学（文）试题

数学试卷（文科） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生务必将自 己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，只需将答题卡上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 ，集合 ， ，则如图所示阴影区域表示的集合为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 ，阴影区域表示的集合为 ，由此能求出结果． 【详解】 全集 3，5， ，集合 ， ， 3， ， 如图所示阴影区域表示的集合为： ． {1,3,5,7}U = {1,3}A = {3,5}B = {3} {7} {3,7} {1,3,5} A B∪ ( )U A B∪  {1,U = 7} { }1,3A = { }3,5B = {1,A B∴ ∪ = 5} ∴ ( ) { }7U A B∪ = 故选 B． 【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力， 考查集合思想，是中等题． 2.已知复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先通过复数的乘法运算化简复数，再根据模的求法求解. 【详解】因为 ， ， 所以 . 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知函数 ，则 的值是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 根据分段函数的解析式，求得 ，进而求解 的值，得到答案． 【详解】 ，则 ， 又 ，则 ， 故答案选 C 【点睛】本题考查分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自 变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解． 【 2019 (1 )z i i= ⋅ − z = 2 2− 1− 2019 2 1009(1 ) ( ) (1 )z i i i i i= ⋅ − = × × − (1 )i i= − ⋅ − 1 i= − − 2z = ( ) ( ) ( )2log 0 3 0x x xf x x  >=  ≤ 1 4f f         9 9− 1 9 1 9 − 1( ) 24f = − 1 4f f         1 04 > 2 1 1( ) log 24 4f = = − 2 0− < 21 1= ( 2) 34 9f f f −   − = =     4.已知等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ，若 ，则 （ ） A. 10 B. 16 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 设等比数列的公比为 q，根据 ，求出公比，再结合 求解. 【详解】设等比数列 公比为 q， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 解得 或 （舍去）， 所以 . 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5.已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数 学计算等数学素养．先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角 公式即可计算出向量夹角． 【 详 解 】 因 为 ， 所 以 =0 ， 所 以 ， 所 以 = ，所以 与 的夹角为 ，故选 B． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式 的 { }na n nS 2 6 4 42, S 6a S a= − = 5a = 6 4 46S S a− = 2 2a = 2 6 4 42, S 6a S a= − = 4 3 2 2 2 26a q a q a q+ = 2 6 0q q+ − = 2q = 3q = − 3 3 5 2 2 2 16a a q= = × = a b ， 2a b = ba b ⊥  （ – ） a b π 6 π 3 2π 3 5π 6 ( )a b b− ⊥   ,a b  ( )a b b− ⊥   2 ( )a b b a b b− ⋅ = ⋅ −      2 a b b⋅ =   cosθ 2 2 | | 1 22 | | a b b ba b ⋅ = = ⋅      a b 3 π 求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 ． 6.已知命题 ： ， ，则 为( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【详解】 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题 ： ， ， . 故选： . 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 7.已知 ，则 为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：先求出 的值，再把 变形为 ，再利用差角的余 弦公式展开化简即得 的值. 详解：∵ ， ∴90°＜ ＜180°， ∴ =- ， ∵c = , ∴c =- × ， 故选 D. 点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”， [0, ]π P x R∀ ∈ sin 1x ≤ p¬ 0x R∃ ∈ 0sin 1x ≥ x R∀ ∈ sin 1x≥ 0x R∃ ∈ 0sin 1x > x R∀ ∈ sin 1x >  P x R∀ ∈ sin 1x ≤ 0 0: ,sin 1p x R x∴¬ ∃ ∈ > C ( ) 3sin 30 ,60 1505 α α°+ = ° < < ° cosα 3 10 10 3 10 10 − 4 3 3 10 − 3 4 3 10 − ( )cos 30 α°+ cosα 0 0cos[(30 ) 30 ]α+ − cosα 60 150α° < < ° 30 α°+ ( )cos 30 α°+ 4 5 osα 0 0cos[(30 ) 30 ]α+ − osα 4 5 3 3 1 3 4 3 2 5 2 10 −+ × = 本题主要利用了看角变角， ，把未知的角向已知的角转化,从而完 成解题目标. 8.执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则判断框内应填入（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据程序框图的功能，一一循环，直至 ，终止循环，得到终止条件. 【详解】程序框图执行过程如下： ， ， ， ， 输出 ，则终止条件为 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 0 0(30 ) 30α α= + − 1 3S = 6?i < 7?i < 4?i < 9?i < 1 3S = 2, 1S i= = 1 2 3, 1 1 21 2S i += = − = + =− 1 3 1 , 2 1 31 3 2S i −= = − = + =+ 11 12 , 3 1 41 31 2 S i − = = = + = + 1 3S = 4?i < 9.某高中篮球社团计划招入女生 人，男生 人，若实数 满足约束条件 ，则 该社团今年计划招入学生人数最多为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】 根据实数 满足约束条件 ，画出可行域，将目标函数 ，转化为 ，平移直线 ，当直线在 y 轴上截距最大时，目标函数取得最大值. 详解】由实数 满足约束条件 ，画出可行域如图所示阴影部分： 将目标函数 ，转化为 ，平移直线 ，当直线在 y 轴上截距最大时， 经过点 ，此时，目标函数取得最大值，最大值为 13. 故选：B 【 x y ,x y 2 5 2 6 x y x y x − ≥  − ≤  ≤ ,x y 2 5 2 6 x y x y x x N y N − ≥  − ≤ ≤  ∈ ∈ z x y= + y x z= − + y x= − ,x y 2 5 2 6 x y x y x x N y N − ≥  − ≤ ≤  ∈ ∈ z x y= + y x z= − + y x= − ( )6,7A 【点睛】本题主要考查简单线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 10.要得到函数 的图像，只需要将函数 的图像（ ） A. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度 C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】 先将函数 ，转化为 ，再利用平移变换求解. 【详解】因为 ， 所以只需要将函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数 的 图像. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，还考查了转化问题的能力，属于基础题. 11.已知 ， ， ， ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：∵ ，∴ ∴ ， ， ∴ . 选 . 考点：利用函数图像比较大小. 12.在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 sin(2 )6y x π= + sin(2 )6y x π= − 3 π 3 π 6 π 6 π sin(2 )6y x π= + sin 2 6 6y x π π = + −     sin(2 ) sin 26 6 6y x x ππ  π = + = + −     sin(2 )6y x π= − 6 π sin(2 )6y x π= + 1( ,1)x e−∈ lna x= ln1( )2 xb = ln xc e= , ,a b c c b a> > b c a> > a b c> > b a c> > 1( ,1)x e−∈ ln ( 1,0)x∈ − ( 1,0)a∈ − (1,2)b∈ 1( ,1)c e−∈ b c a> > B ( ) 4 3xf x e x= + − 1 ,04  −   10, 4      1 1,4 2      1 3,2 4      【分析】 先判断函数 在 上单调递增，由 ,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数 在 上连续单调递增， 且 , 所以函数的零点在区间 内，故选 C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意 两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 第Ⅱ卷（非选择题） 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必 须做答.第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答. 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.在 中， ， ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 先由题意，得到 ，再由 ，结合题中数据，即可求出结 果. 【详解】因为在 中， ， ，所以 ， 因此 故答案为： 【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记数量积的运算法则即可，属于常考题型. 14.已知 ，则 __________. ( )f x R 1 04 1 02 f f    <      >    ( ) 4 3xf x e x= + − R 1 1 4 4 1 1 2 2 1 14 3 2 04 4 1 14 3 1 02 2 f e e f e e    = + × − = − <       = + × − = − >    1 1,4 2      Rt ABC∆ 90C = ∠ 3AC = AB AC⋅ =  9 0CA CB⋅ =  ( )AB AC CB CA AC⋅ = − ⋅     Rt ABC∆ 90C = ∠ 3AC = 0CA CB⋅ =  ( ) 2 9AB AC CB CA AC CB CA CA⋅ = − ⋅ = − ⋅ + =        9 2sin cosα α= 2 cos2 sin 2 1 cos α α α + + = 【答案】3 【解析】 【分析】 根据 ，利用同角三角函数基本关系式得到 ，将 ，利 用二倍角公式变形为 ，分子分母同除以 ，然后将 代入求 解. 【详解】因为 ， 所以 ， ， ， ， . 故答案为：3 【点睛】本题主要考查条件三角函数基本关系式和三角恒等变换，还考查了运算求解的能力， 属于中档题. 15.曲线 在 处的切线的斜率为____________. 【答案】1 【解析】 【分析】 根据函数 ，利用导数公式求解. 【详解】因为 ， 所以 ， 所以 ， 故答案为：1 2sin cosα α= tanα 2 cos2 sin 2 1 cos α α α + + 2 2 2cos 2sin cos cos α α α α + 2cos α tanα 2sin cosα α= 1tan 2 α = 2 cos2 sin 2 1 cos α α α + + 2 2 2cos 2sin cos cos α α α α += 2 2 2 2 2 cos 2sin cos2 cos cos cos cos α α α α α α α + = 2 2tan 3α= + = 1y x = − (1, 1)− 1y x = − 1y x = − 2 1y x ′ = | 11y x′ == 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 16.在数列 中 ， ，记 为数列 的前 项和，则 的值为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】 由已知结合数列递推式求出数列前 5 项，得到数列是以 4 为周期的周期数列，由此求得答 案． 【详解】 ， ， ， ， 如此继续，得 ， . 故答案为 1010 【点睛】本题考查了数列递推式及前 n 项和的求法，关键是对数列周期性的发现，是中档 题． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 . （1）求角 ； （2）若 ， 的面积为 ，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【试题分析】（1）利用已知计算 ，即可得 .（2）利用余弦定理和三 角形面积公式建立方程组，解方程组可求得 的值，进而求得周长. 【试题解析】 （1）由 得 { }na 1 1a = 1 cos 2n n na a π + − = nS { }na n 2019S 1010 1 1a = 2 1 cos 12a a π= + = 3 2 2cos 02a a π= + = 4 3 3cos 02a a π= + = 5 4 4cos 12a a π= + = 4n na a+ = ( )2019 1 2 3 4504S a a a a= + + + 1 2 3a a a+ + + 504 2 1 1 0 1010= × + + + = ABC∆ A B C a b c tan tan 3 3 tan ·tanA B A B+ + = C 3c = ABC∆ 3 3 2 ABC∆ 3 π 3 3 3+ ( )tan 3A B+ = − π 3C = +a b tan tan 3 3tan ·tanA B A B+ + = ， 又 ，则 ，故 . 另解：由已知得 ， 则 ，即 ， 又 ，则 ，故 . （2）由余弦定理及（1），得 ，则 ， 又 ，则 ， 则 ，即 ， 所以 的周长为 . 18.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3+2S6＝77，a10﹣a5＝10. （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{bn}满足：b1＝1，bn﹣bn﹣1＝an﹣n+1（n≥2），求数列{ }的前 n 项和 Tn. 【答案】（1）an＝2n﹣1（2） 【解析】 【分析】 （1）联立解方程组，得 ，求出通项公式即可； （2）求出 ，利用裂项相消法求出数列 的前 项和 ． 【详解】（1）等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a3+2S6＝77，a10﹣a5＝10， ，得 ， 故 an＝2n﹣1； （2）b1＝1，bn﹣bn﹣1＝an﹣n+1＝n（n≥2）， ( ) tan tan 3tan tan 3tan 31 tan tan 1 tan tan A B A BA B A B A B + −+ = = = −− − 0 A B π< + < 2 3A B π+ = ( ) 3C A B ππ= − + = sin sin 3sin sin3cos cos cos cos A B A B A B A B + + = ( ) ( )sin 3cos 0A B A B+ + + = ( )tan 3A B+ = − 0 A B π< + < 2 3A B π+ = ( ) 3C A B ππ= − + = 2 2 2 2 cos 3c a b ab π= + − 2 2 9a b ab+ − = 1 3 3 3sin2 4 2ABCS ab C ab∆ = = = 6ab = ( )2 2 2 2 9 2 27a b a b ab ab ab+ = + + = + + = 3 3a b+ = ABC∆ 3 3 3+ 4 nb 8 1 n n + 1 1 2 a d =  = nb 4{ } nb n nT 1 12 2 6 15 77 5 10 a d a d d + + + =  = （ ） 1 1 2 a d =  = ∴bn＝（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1＝n+n﹣1+…+2+1 ， 当 n＝1 时，显然成立， ， 数列{ }的前 n 项和 Tn＝8（ ）＝8（1 ） . 【点睛】考查等差数列求通项公式，裂项相消法和累加法求数列的和，中档题． 19.“微信运动”是手机 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生 M 的微信好友中有 400 位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了 40 位参与“微信运动”的微信好友（女 20 人， 男 20 人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别： 、 步，（说明：“ ”表示大于或等于 0，小于 2000，以下同理）， 、 步， 、 步， 、 步， 、 步，且 、 、 三种类别的人数比例为 ，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走 路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图． （Ⅰ）若以大学生 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的 所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生 的参与“微信运动”的 400 位微信 好友中，每天走路步数在 的人数； （Ⅱ）若在大学生 该天抽取的步数在 的微信好友中，按男女比例分层抽取 6 人进行身体状况调查，然后再从这 6 位微信好友中随机抽取 2 人进行采访，求其中至少有一 位女性微信好友被采访的概率． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） ． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）所抽取的 40 人中，该天行走 步的人数：男 12 人，女 14 人，由此能求出 1 2 n n += （ ） 4 1 18 1nb n n = − +（ ） 4 nb 1 1 1 11 2 2 1n n − + − + − + 1 1n − + 8 1 n n = + APP A 0 2000 0 2000 B 2000 5000 C 5000 8000 D 8000 10000 E 10000 12000 A B C 1: 4:3 M M 2000 8000 M 8000 10000 3 5 2000 8000∼ 400 位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走 步的人数． （Ⅱ）该天抽取的步数在 的人数：男 6 人，女 3 人，共 9 人，再按男女比例分 层抽取 6 人，则其中男 4 人，女 2 人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概 率． 【详解】（Ⅰ）由题意，所抽取的 40 人中，该天行走 步的人数：男 12 人，女 14 人， 所以 400 位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走 步的人数约为 人； （Ⅱ）该天抽取的步数在 的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占 的频率为 ，所以男生的人数为为 人，根据柱状图可得，女生人数为 3 人，再按男女比例分层抽取 6 人，则其中男 4 人，女 2 人．再从这 6 位微信好友中随机抽取 2 人进行采访，基本事件总数 种， 至少 1 个女性的对立事件是选取中的两人都是男性， ∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率： ． 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层 抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问 题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 20.已知抛物线 ： ，过点 的直线与抛物线相交于 ， 两点，且 ． （1）求 的值； （2）设动直线 ： 与抛物线 相切于点 ，点 是直线 上异于点 的一点，若以 为直径的圆恒过 轴上一定点 ，求点 的横坐标 ． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）设直线 的方程为 ，与抛物线联立，根据韦达定理求解即可； 2000 8000∼ 8000 10000∼ 2000 8000∼ 2000 8000∼ 26400 26040 × = 8000 10000∼ 0.15 2 0.3× = 20 0.3 6× = 2 6 15n C= = 2 4 2 6 31 5 CP C = − = C 2 2 ( 0)y px p= > (4,0) 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 8y y = − p l y kx m= + C P Q l P PQ x M Q 0x 1p = 0 1 2x = − AB 4x ty= + （2）先将直线与抛物线联立，由相切 ，得 ，进而得到 和 的坐标，设点 的坐标为 ，由 可得 对任意的 恒成立，只需 即可得解. 【详解】（1）设直线 的方程为 ， 将直线 的方程与抛物线 的方程联立 ，得 ， 所以， ，得 ； （2）将直线 的方程与抛物线 的方程联立 ，得 ， ① ，所以， ，② 方程①为 ，所以，点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ，设点 的坐标为 ， ， ， 对任意的 恒成立， ∴ ，解得 . 因此，点 的横坐标 . 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了舍设而不求的思想，着重考查了 学生的运算能力，属于中档题. 21.已知函数 （1）讨论函数 的单调性； 0∆ = 2 1km = P Q M M ( ,0)r 0MP MQ⋅ =  2 2 0 0 02 ( 1) 0m x r x rx r− + + − + = 2 2 0 0 02 ( 1) 0m x r x rx r= − + + − + = m 0 2 0 0 1 0 0 x r x rx r − + =  − + = AB 4x ty= + AB C 2 4 2 x ty y px = +  = 2 2 8 0y pty p− − = 1 2 8 8y y p= − = − 1p = l C 2 2 y kx m y x = +  = 2 2 2(2 2) 0k x kmx x m+ − + = 2 2 2(2 2) 4 4 8 0km k m km∆ = − − = − = 2 1km = 2 2 2 0k x x m− + = P 2(2 ,2 )m m Q 0 0( , )x kx m+ M ( ,0)r 2(2 ,2 )MP m r m= − 0 0( , )MQ x r kx m= − + 2 2 0 0(2 )( ) 2 2MP MQ m r x r kmx m⋅ = − − + +  2 2 0 0 02 ( 1) 0m x r x rx r= − + + − + = m 0 2 0 0 1 0 0 x r x rx r − + =  − + = 0 1 2 1 2 r x  =  = − Q 0 1 2x = − 2( ) ln ( 0, )a xf x x a a Rx a = + + ≠ ∈ ( )f x （2）设 ，当 时，证明： . 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）首先对函数求导，对式子进行因式分解，结合函数的定义域，对参数的范围进行讨论， 从而利用导数的符号确定出函数的单调区间； （2）构造新函数 ，对函数求导，得到函数的单调性， 从而得到函数的最值，根据函数的最小值大于等于零，从而证得结果. 【详解】（1） 当 时， ， 当 时， ， ∴ 时， 在 上递减，在 递增 时， 在 上递增，在 递减 （2）设 则 ， 时， ， 递减 ， 递增， 设 ， ,则 时， 时， 递增， 时， ， 递减 ， ，即 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数 单调性，注意分类讨论思想的应用，应用导数证明不等式恒成立，注意构造新函数，结合最 1( ) 2a xg x x a a = + − + 0a > ( ) ( )f x g x≥ 1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a = − = + + − 2 2 1 2 1 ( 2 )( )( ) a x a x af x x x a ax + −′ = − + = 0a > ( ) 0f x x a′ > ⇒ > ( ) 0 0f x x a′ < ⇒ < < 0a < ( ) 0 0 2f x x a′ > ⇒ < < − ( ) 0 2f x x a′ < ⇒ > − 0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ 0a < ( )f x (0, 2 )a− ( 2 , )a− +∞ 1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a = − = + + − 2 2 1( ) ( 0)a x aF x xx x x −′ = − = >  0a > (0, )x a∴ ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x ( , )x a∈ +∞ ( ) 0,F x′ > ( )F x 1( ) ( ) ln 1F x F a a a ∴ ≥ = + − 1( ) ln 1h x x x = + − ( 0)x > 2 2 1 1 1( ) ( 0)xh x xx x x −′ = − = > 1x > ( ) 0,h x′ > ( )h x 0 1x< < ( ) 0h x′ < ∴ ( )h x ( ) (1) 0h x h∴ ≥ = ( ) ( ) 0F a h a∴ = ≥ ( ) 0F x∴ ≥ ( ) ( )f x g x≥ 值得到结果. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时 请在答题卡上涂上相应的题号. 选修 4—4：坐标系与参数方程 22.已知曲线 ， 是曲线 上的动点，以坐标原点 为极点， 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，以极点 为中心，将点 绕点 逆时针旋转 得到点 ，设点 的轨迹方程为曲线 . （Ⅰ）求曲线 ， 的极坐标方程； （Ⅱ）射线 与曲线 ， 分别交于 ， 两点，定点 ，求 的面积. 【答案】（1） ： ， ： （2） 【解析】 【分析】 （1）利用 ，即可得出答案．（2）分别计算出点 M 到 射线 距离和点 P,Q 的极坐标，结合三角形面积计算公式，即可得出答案． 【详解】（1）曲线 ，把公式 代入可得： 曲线 的极坐标方程为 . 设 ，则 ，则有 . 所以，曲线 的极坐标方程为 . （2） 到射线 的距离为 ， 射线 与曲线 交点 ， 射线 与曲线 交点 的 2 2 1 : ( 3) 9C x y+ − = A 1C O x O A O 90° B B 2C 1C 2C 5 ( 0)6 πθ ρ= > 1C 2C P Q ( 4,0)M − MPQ∆ 1C 6sinρ α= 2C 6cosρ ϕ= − 3 3 3− cos , sinx yρ θ ρ θ= = 5 6 πθ = ( )22 1 : 3 9C x y+ − = x cos y sin ρ α ρ α =  = 1C 6sinρ α= ( ),B ρ ϕ , 2A πρ ϕ −   6sin 62 cos πρ ϕ ϕ = − = −   2C 6cosρ ϕ= − M 5 6 πθ = 54sin 26d π= = 5 6 πθ = 1C 53, 6P π     5 6 πθ = 2C 53 3, 6Q π     ∴ 故 【点睛】本道题目考查了普通方程和极坐标方程的转化，以及在极坐标方程下面积的计算方 法，方程转化记住 ，极坐标长度用纵坐标相减． 选修 4—5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|. (1)求 f(x)的最小值 m； (2)若 a，b，c 均为正实数，且满足 a＋b＋c＝m，求证： ＋ ＋ ≥3. 【答案】（1）m＝3 （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）分段讨论当 x＜－1 时，当－1≤x＜2 时，当 x≥2 时，函数 f(x)的值域，然后求函数在定义 域上的值域即可； （2）由已知条件 a＋b＋c＝3，再结合重要不等式证明即可. 【详解】解：（1）当 x＜－1 时，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)； 当－1≤x＜2 时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)； 当 x≥2 时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)． 即 ， 综上，f(x)的最小值 m＝3. （2）证明：因为 a，b，c 均为正实数，且满足 a＋b＋c＝3， 所以 ＋ ＋ ＋(a＋b＋c) ＝ ＋ ＋ ≥2 ＝2(a＋b＋c)， 3 3 3PQ = − 1 3 3 32S PQ d= × × = − cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2b a 2c b 2d c [ )( ) 3,f x ∈ +∞ 2b a 2c b 2d c 2b aa  +   2c bb  +   2a cc  +   22 2 ( )b ca ba b a cc + ⋅ + ⋅⋅ 当且仅当 a＝b＝c＝1 时，取“＝”， 所以 ＋ ＋ ≥a＋b＋c， 又 a＋b＋c＝3， 即 ＋ ＋ ≥3. 【点睛】本题考查了含绝对值符号的函数值域的求法，重点考查了重要不等式的应用，属中 档题. 2b a 2c b 2d c 2b a 2c b 2d c