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文档介绍
【数学】2020届数学(理)一轮复习人教A版第21讲两角和与差的正弦学案
第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S(α±β):sin(α±β)= . (2)公式C(α±β):cos(α±β)= . (3)公式T(α±β):tan(α±β)= . 常用结论 1.两角和与差的正切公式的变形: tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2.二倍角余弦公式的变形: sin2α=1-cos2α2,cos2α=1+cos2α2. 3.一般地,函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数)可以化为f(α)=a2+b2sin(α+φ)其中tanφ=ba或f(α)=a2+b2cos(α-φ)其中tanφ=ab. 题组一 常识题 1.[教材改编] sin 75°的值为 . 2.[教材改编] 已知cos α=-35,α∈π2,π,则sinα+π3的值是 . 3.[教材改编] cos 65°cos 115°-cos 25°sin 115°= . 4.[教材改编] 已知tan α=13,tan β=-2,则tan(α-β)的值为 . 题组二 常错题 ◆索引:忽略角的取值范围;公式的结构套用错误;混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号;方法选择不当致误. 5.已知tan5π4+α=17,α∈π2,π,则cos α的值是 . 6.化简:12sin x-32cos x= . 7.计算:1-tan15°1+tan15°= . 8.若α+β=3π4,则[1+tan(π-α)](1-tan β)的值为 . 探究点一 两角和与差的三角函数公式 例1 (1)[2018·湘潭模拟] 若sin(2α-β)=16,sin(2α+β)=12,则sin 2αcos β= ( ) A.23 B.13 C.16 D.112 (2)[2018·晋城一模] 已知cosα+π6=3cos α,tan β=33,则tan(α+β)= . [总结反思] 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示α±β的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的. 变式题 (1)[2018·佛山质检] 已知cos α=17,α∈0,π2,则cosα-π3= ( ) A.-1114 B.3314 C.5314 D.1314 (2)[2018·唐山三模] 已知tanα+π6=1,则tanα-π6= ( ) A.2-3 B.2+3 C.-2-3 D.-2+3 探究点二 两角和与差公式的逆用与变形 例2 (1)[2018·烟台一模] 已知cosx-π6=33,则cos x+cosx-π3= ( ) A.-1 B.1 C.233 D.3 (2)已知sin α+cos β=13,sin β-cos α=12,则sin(α-β)= . [总结反思] 常见的公式变形:(1)两角正切的和差公式的变形,即tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β);(2) asin α+bcos α=a2+b2sin(α+φ)tan φ=ba. 变式题 (1)[2018·河南中原名校联考] 22cos 375°+22sin 375°的值为 ( ) A.32 B.12 C.-32 D.-12 (2)(1+tan 20°)(1+tan 21°)(1+tan 24°)(1+tan 25°)= . 探究点三 角的变换问题 例3 (1)已知α∈-π3,0,cosα+π6-sin α=435,则sinα+π12的值是 ( ) A.-235 B.-210 C.235 D.-45 (2)[2018·莆田二模] 已知sin α=255,sin(β-α)=-1010,α,β均为锐角,则β= ( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6 [总结反思] 常见的角变换:π2±2α=2π4±α,2α=(α+β)+(α-β),α=α+β2+α-β2,π3+α=π2-π6-α等. 变式题 (1)[2018·榆林模拟] 若0<α<π4,-π2<β<0,cosπ4+α=13,cosπ4-β2=33,则cosα+β2= ( ) A.539 B.-33 C.7327 D.-69 (2)已知π2<β<α<34π,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35,则sin 2α= ( ) A.5665 B.-5665 C.1665 D.-1665 第21讲 两角和与差的正弦、余弦和正切 考试说明 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 【课前双基巩固】 知识聚焦 (1)sin αcos β±cos αsin β (2)cos αcos β∓sin αsin β (3)tanα±tanβ1∓tanαtanβ 对点演练 1.6+24 [解析] sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=22×32+22×12=6+24. 2.4-3310 [解析] ∵cos α=-35,α∈π2,π,∴sin α=45,∴sinα+π3=sin αcosπ3+cos αsinπ3=45×12+-35×32=4-3310. 3.-1 [解析] 原式=cos 65°cos 115°-sin 65°sin 115°=cos(65°+115°)=cos 180°=-1. 4.7 [解析] tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=7. 5.-45 [解析] 因为tan5π4+α=tanπ4+α=17,所以1+tanα1-tanα=17,所以tan α=-34,又α∈π2,π,所以cos α=-432+(-4)2=-45. 6.sinx-π3 [解析] 12sin x-32cos x=cosπ3sin x-sinπ3cos x=sinx-π3. 7.33 [解析] 1-tan15°1+tan15°=tan45°-tan15°1+tan45°tan15°=tan(45°-15°)=tan 30°=33. 8.2 [解析] 因为α+β=3π4,所以tan(α+β)=-1,即tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1,整理得(1-tan α)(1-tan β)=2,所以[1+tan(π-α)](1-tan β)=(1-tan α)(1-tan β)=2. 【课堂考点探究】 例1 [思路点拨] (1)利用两角和与差的正弦公式展开已知条件,进而求解;(2)先利用已知条件求出tan α,再根据两角和的正切公式求解. (1)B (2)-33 [解析] (1)由sin(2α-β)=16,sin(2α+β)=12, 可得sin 2αcos β-cos 2αsin β=16①, sin 2αcos β+cos 2αsin β=12②, 由①+②得2sin 2αcos β=23,所以sin 2αcos β=13.故选B. (2)∵cosα+π6=32cos α-12sin α=3cos α, ∴-sin α=3cos α,故tan α=-3, ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-3+331+3×33=-2332=-33. 变式题 (1)D (2)D [解析] (1)∵cos α=17,α∈0,π2,∴sin α=1-cos2α=1-172=437, ∴cosα-π3=cos αcosπ3+sin αsinπ3=17×12+437×32=1314.故选D. (2)由题意知,tanα-π6=tanα+π6-π3 =tanα+π6-tanπ31+tanα+π6tanπ3 =1-31+3=-2+3.故选D. 例2 [思路点拨] (1)首先利用两角差的余弦公式展开cosx-π3,整理后再逆用两角差的余弦公式即可;(2)将两个条件等式分别平方相加即可. (1)B (2)-5972 [解析] (1)由题可知,cos x+cosx-π3=cos x+cos xcosπ3+sin xsinπ3=32cos x+32sin x=332cosx+12sinx=3cosx-π6=3×33=1.故选B. (2)∵sin α+cos β=13,sin β-cos α=12,∴(sin α+cos β)2=19,(sin β-cos α)2=14,即sin2α+2sin αcos β+cos2β=19①,sin2β-2sin βcos α+cos2α=14②, 由①+②得sin2α+2sin αcos β+cos2β+sin2β-2sin βcos α+cos2α=(sin2α+cos2α)+(cos2β+sin2β)+2(sin αcos β-sin βcos α)=1+1+2sin(α-β)=2+2sin(α-β)=1336,则sin(α-β)=-5972. 变式题 (1)A (2)4 [解析] (1)22cos 375°+22sin 375°=22cos 15°+22sin 15°=cos(45°-15°)=cos 30°=32.故选A. (2)(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1+tan(20°+25°)(1-tan 20°tan 25°)+tan 20°tan 25°=2,同理可得(1+tan 21°)(1+tan 24°)=2,所以原式=4. 例3 [思路点拨] (1)对条件整理可得cosα+π3=45,又α+π12=α+π3-π4,利用两角差的正弦公式求解;(2)根据角的变换得β=α+(β-α),利用已知条件先求出sin β的值,再求角β. (1)B (2)C [解析] (1)由cosα+π6-sin α=435, 得cos αcosπ6-sin αsinπ6-sin α=435,即32cos α-32sin α=435, ∴12cos α-32sin α=45,即cosα+π3=45. ∵α∈-π3,0,∴α+π3∈0,π3, ∴sinα+π3=1-cos2α+π3=35, ∴sinα+π12=sinα+π3-π4=22sinα+π3-22cosα+π3=22×35-45=-210,故选B. (2)因为sin α=255,sin(β-α)=-1010,且α,β均为锐角,所以cos α=55,cos(β-α)=31010,所以sin β=sin[α+(β-α)]=sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α)=255×31010+55×-1010=25250=22,所以β=π4.故选C. 变式题 (1)A (2)B [解析] (1)由题可知,0<π4+α<π2,π4<π4-β2<π2,所以sinπ4+α=223,sinπ4-β2=63, 所以cosα+β2=cosπ4+α-π4-β2=cosπ4+αcosπ4-β2+sinπ4+αsinπ4-β2=13×33+223×63=539.故选A. (2)因为π2<β<α<3π4,所以0<α-β<π4,π<α+β<3π2,由cos(α-β)=1213,得sin(α-β)=513,由sin(α+β)=-35,得cos(α+β)=-45,则sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)]=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=513×-45+1213×-35=-5665,故选B. 【备选理由】 例1考查两角差的正切公式、基本不等式、正切函数的单调性,考查综合分析与运算的能力;例2主要考查三角函数中的恒等变换的应用,熟练运用相关公式和特殊角的关系是解题的关键;例3考查两角和与差的正弦公式的运用,关键是角的配凑,然后化简求值. 例1 [配合例1使用] [2018·南充模拟] 若tan α=3tan β0<β<α<π2,则α-β的最大值为 . [答案] π6 [解析] ∵tan α=3tan β0<β<α<π2, ∴tan β>0, ∴tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2tanβ1+3tan2β=21tanβ+3tanβ. ∵tan β>0, ∴1tanβ+3tan β≥21tanβ·3tanβ=23,∴tan(α-β)≤33,当且仅当3tan2β=1,即tan β=33时取等号,此时β=π6,tan α=3tan β,即tan α=3,α=π3. 又0<β<α<π2,∴0<α-β<π2, ∴0查看更多
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