高考数学模拟试卷 2 (1)

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高考数学模拟试卷 2 (1)

- 1 - 武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试 理科数学(35) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 5 2i  的共轭复数是( ) A. 2 i B. 2 i  C. 2 i  D. 2 i 2.已知集合 2{ | 1}M x x  , { | 1}N x ax  ,若 N M ,则实数 a 的取值集合为( ) A.{1} B.{ 1,1} C.{1,0} D.{1, 1,0} 3.执行如图所示的程序框图,如果输入的 [ 2,2]t   ,则输出的 S 属于( ) A.[ 4,2] B.[ 2,2] C.[ 2,4] D.[ 4,0] 4.某几何体的三视图如图所示,则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点,它们之间距离的 最大值为( ) A. 3 B. 6 C. 2 3 D. 2 6 5.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可以从 0 9 中任选一个,某人在银行自动提 款机上取钱时,忘记了密码最后一位数字,如果任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概 - 2 - 率为( ) A. 2 5 B. 3 10 C. 1 5 D. 1 10 6.若实数 a ,b 满足 1a b  , log (log )a am b , 2(log )an b , 2logal b ,则 m , n , l 的大小关系为( ) A. m l n  B.l n m  C. n l m  D.l m n  7.已知直线 1y kx  与双曲线 2 2 4x y  的右支有两个交点,则 k 的取值范围为( ) A. 5(0, )2 B. 5[1, ]2 C. 5 5( , )2 2  D. 5(1, )2 8.在 ABC 中,角 A 、 B 、C 的对应边分别为 a ,b , c ,条件 p : 2 b ca  ,条件 q : 2 B CA  ,那么条件 p 是条件 q 成立的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.在 61( 1)x x   的展开式中,含 5x 项的系数为( ) A. 6 B. 6 C. 24 D. 24 10.若 x , y 满足 1 2 1 2x y    ,则 2 22 2M x y x   的最小值为( ) A. 2 B. 2 11 C. 4 D. 4 9  11.函数 ( ) 2sin( )( 0)3f x x     的图象在[0,1] 上恰有两个最大值点,则 的取值范围 为( ) A.[2 ,4 ]  B. 9[2 , )2  C. 13 25[ , )6 6   D. 25[2 , )6  12.过点 (2, 1)P  作抛物线 2 4x y 的两条切线,切点分别为 A , B , PA , PB 分别交 x 轴 于 E , F 两点,O 为坐标原点,则 PEF 与 OAB 的面积之比为( ) A. 3 2 B. 3 3 C. 1 2 D. 3 4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知sin 2cos  ,则sin cos   . - 3 - 14.已知向量 a  ,b  , c  满足 2 0a b c     ,且 1a  , 3b  , 2c  ,则 2 2a b a c b c           . 15.已知 ( , )2 2x    , ( ) 1y f x  为奇函数, '( ) ( ) tan 0f x f x x  ,则不等式 ( ) cosf x x 的解集为 . 16.在四面体 ABCD 中, 1AD DB AC CB    ,则四面体体积最大时,它的外接球半径 R  . 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 题~第 21 题为必考 题,每个试题考生都必须作答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.已知正数数列{ }na 满足: 1 2a  , 1 1 2 1 2n n n n na a a a     ( 2)n  . (1)求 2a , 3a ; (2)设数列{ }nb 满足 2 2( 1)n nb a n   ,证明:数列{ }nb 是等差数列,并求数列{ }na 的通项 na . 18.如图,在棱长为3的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, E , F 分别在棱 AB ,CD 上,且 1AE CF  . (1)已知 M 为棱 1DD 上一点,且 1 1D M  ,求证: 1B M  平面 1 1A EC . (2)求直线 1FC 与平面 1 1A EC 所成角的正弦值. 19.已知椭圆  : 2 2 14 2 x y  ,过点 (1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线 1l , 2l ,设 1l 与椭圆  交于 A 、 B 两点, 2l 与椭圆  交于C , D 两点. - 4 - (1)若 (1,1)P 为线段 AB 的中点,求直线 AB 的方程; (2)记 AB CD   ,求  的取值范围. 20.在某市高中某学科竞赛中,某一个区 4000 名考生的参赛成绩统计如图所示. (1)求这 4000 名考生的竞赛平均成绩 x (同一组中数据用该组区间中点作代表); (2)由直方图可认为考生竞赛成绩 z 服正态分布 2( , )N   ,其中  , 2 分别取考生的平均 成绩 x 和考生成绩的方差 2s ,那么该区 4000 名考生成绩超过84.41分(含84.81分)的人数 估计有多少人? (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况,现从全市参赛考生 中随机抽取 4 名考生,记成绩不超过...84.81分的考生人数为 ,求 ( 3)P   .(精确到 0.001) 附:① 2 204.75s  , 204.75 14.31 ; ② 2( , )z N   ,则 ( ) 0.6826P z        , ( 2 2 ) 0.9544P z        ; ③ 40.8413 0.501 . 21.已知函数 ( ) (ln )xf x xe a x x   , a R . (1)当 a e 时,求 ( )f x 的单调区间; (2)若 ( )f x 有两个零点,求实数 a 的取值范围. (二)选考题:共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分.作答时请写清题号. 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,l 的极 - 5 - 坐标方程为 (cos 2sin ) 10    , C 的参数方程为 3cos 2sin x y      ( 为参数, R  ). (1)写出l 和C 的普通方程; (2)在C 上求点 M ,使点 M 到l 的距离最小,并求出最小值. 23.[选修 4-5:不等式选讲] 已知 ( ) 2 2f x ax x    . (1)在 2a  时,解不等式 ( ) 1f x  ; (2)若关于 x 的不等式 4 ( ) 4f x   对 x R 恒成立,求实数 a 的取值范围. - 6 - 武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试 理科数学参考答案(35) 一、选择题 1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12:CC 二、填空题 13. 2 5 14. 13 15. (0, )2  16. 15 6 三、解答题 17.(1)由已知 2 1 2 1 3 2a a a a    ,而 1 2a  , ∴ 2 2 2 22 3 2( 2)a a    ,即 2 2 22 3 0a a   . 而 2 0a  ,则 2 3a  . 又由 3 2 3 2 5 2a a a a    , 2 3a  , ∴ 2 3 39 5 2( 3)a a    ,即 2 3 32 8 0a a   . 而 3 0a  ,则 3 4a  . ∴ 2 3a  , 3 4a  . (2)由已知条件可知: 2 2 1 12( ) 2 1n n n na a a a n      , ∴ 2 2 2 2 1( 1) ( 1) ( 1)n na a n n      , 则 2 2 2 2 1( 1) ( 1) ( 1)n na n a n      2 2 3( 1) 2a     2 2 2( 1) 1a   0 , 而 2 2( 1)n nb a n   , ∴ 0nb  ,数列{ }nb 为等差数列. - 7 - ∴ 2 2( 1)na n  .而 0na  , 故 1na n  . 18.解:(1)过 M 作 1MT AA 于点T ,连 1BT ,则 1 1AT  . 易证: 1 1 1AA E A BT   ,于是 1 1 1AA E A BT   . 由 1 1 1 1 90A BT ATB     ,知 1 1 1 90AA E ATB     , ∴ 1 1A E BT . 显然 MT  面 1 1AA B B ,而 1A E  面 1 1AA B B , ∴ 1MT A E ,又 1BT MT T , ∴ 1A E  面 MTB ,∴ 1 1A E MB . 连 1 1B D ,则 1 1 1 1B D AC . 又 1 1 1D M AC , 1 1 1 1B D D M D , ∴ 1 1AC  面 1 1MD B , ∴ 1 1 1AC MB . 由 1 1A E MB , 1 1 1AC MB , 1 1 1 1A E AC A , ∴ 1B M  面 1 1A EC . (2)在 1 1D C 上取一点 N ,使 1 1ND  ,连接 EF . 易知 1 / /A E FN . ∴ 1 1 1 1A EFC N EFC E NFCV V V    1 1 1 13 ( 2 3) 3 33 3 2NFCS        . 对于 1 1A EC , 1 1 3 2AC  , 1 10A E  , 而 1 22EC  , 由余弦定理可知 1 1 10 18 22 1cos 2 10 3 2 20 EAC       . - 8 - ∴ 1 1A EC 的面积 1 1 1 1 1 sin2S AC A E EAC   1 19 33 2 10 192 220      . 由等体积法可知 F 到平面 1 1A EC 之距离 h 满足 1 1 1 1 1 3 A EC A EFCS h V   ,则 1 3 19 33 2 h   ,∴ 6 19 h  , 又 1 10FC  ,设 1FC 与平面 1AEC 所成角为 , ∴ 6 19 6 3 190sin 9510 190     . 19.解:(1)设直线 AB 的斜率为 tank  ,方程为 1 ( 1)y k x   ,代入 2 22 4x y  中, ∴ 2 22[ ( 1)] 4 0x kx k     . ∴ 2 2 2(1 2 ) 4 ( 1) 2( 1) 4 0k x k k x k       . 判别式 2 2 2[4( 1) ] 4(2 1)[2( 1) 4]k k k k       28(3 2 1)k k   . 设 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y ,则 1 2 2 2 1 2 2 4 ( 1) 2 1 2( 1) 4 2 1 k kx x k kx x k         . ∵ AB 中点为 (1,1) , ∴ 1 2 2 1 2 ( 1)( ) 12 2 1 k kx x k    ,则 1 2k  . ∴直线的 AB 方程为 11 ( 1)2y x   ,即 2 1 0x y   . (2)由(1)知 2 1 21AB k x x   2 1 2 1 2( ) 4x x x x   2 2 2 1 8(3 2 1) 2 1 k k k k      . 设直线的 CD 方程为 1 ( 1)( 0)y k x k     . 同理可得 2 2 2 1 8(3 2 1) 2 1 k k kCD k      . - 9 - ∴ 2 2 3 2 1( 0)3 2 1 AB k k kCD k k       . ∴ 2 2 41 3 1 2 k k k      41 13 2k k     . 令 13t k k   , 则 4( ) 1 2g t t    , ( , 2 3] [2 3, )t     . ( )g t 在 ( , 2 3]  ,[2 3, ) 分别单调递减, ∴ 2 3 ( ) 1g t   或1 ( ) 2 3g t   . 故 22 3 1   或 21 2 3   . 即 6 2 6 2[ ,1) (1, ]2 2     . 20.解:(1)由题意知: 中间值 45 55 65 75 85 95 概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 ∴ 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3x         85 0.15 95 0.1 70.5     , ∴ 4000 名考生的竞赛平均成绩 x 为 70.5分. (2)依题意 z 服从正态分布 2( , )N   ,其中 70.5x   , 2 204.75D   , 14.31  , ∴ z 服从正态分布 2 2( , ) (70.5,14.31 )N N   , 而 ( ) (56.19 84.81) 0.6826P z P z           , ∴ 1 0.6826( 84.81) 0.15872P z    . ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为 0.1587 4000 634.8  人 634 人. (3)全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率1 0.1587 0.8413  . 而 (4,0.8413)B  , ∴ 4 4 4( 3) 1 ( 4) 1 0.8413P P C        1 0.501 0.499   . - 10 - 21.解:(1)定义域为: (0, ) , 当 a e 时, (1 )( )'( ) xx xe ef x x   . ∴ ( )f x 在 (0,1) 时为减函数;在 (1, ) 时为增函数. (2)记 lnt x x  ,则 lnt x x  在 (0, ) 上单增,且t R . ∴ ( ) (ln )xf x xe a x x   ( )te at g t   . ∴ ( )f x 在 0x  上有两个零点等价于 ( ) tg t e at  在 t R 上有两个零点. ①在 0a  时, ( ) tg t e 在 R 上单增,且 ( ) 0g t  ,故 ( )g t 无零点; ②在 0a  时, '( ) tg t e a  在 R 上单增,又 (0) 1 0g   , 11( ) 1 0ag ea    ,故 ( )g t 在 R 上只有一个零点; ③在 0a  时,由 '( ) 0tg t e a   可知 ( )g t 在 lnt a 时有唯一的一个极小值 (ln ) (1 ln )g a a a  . 若 0 a e  , (1 ln ) 0g a a  最小 , ( )g t 无零点; 若 a e , 0g 最小 , ( )g t 只有一个零点; 若 a e 时, (1 ln ) 0g a a  最小 ,而 (0) 1 0g   , 由于 ln( ) xf x x  在 x e 时为减函数,可知: a e 时, 2a ee a a  . 从而 2( ) 0ag a e a   , ∴ ( )g x 在 (0,ln )a 和 (ln , )a  上各有一个零点. 综上讨论可知: a e 时 ( )f x 有两个零点,即所求 a 的取值范围是 ( , )e  . 22.解:(1)由 l : cos sin 10 0      ,及 cosx   , siny   . ∴l 的方程为 2 10 0x y   . 由 3cosx  , 2siny  ,消去 得 2 2 19 4 x y  . - 11 - (2)在C 上取点 (3cos ,2sin )M   ,则 3cos 4sin 10 5 d    0 1 5cos( ) 10 5      . 其中 0 0 3cos 5 4sin 5       , 当 0  时, d 取最小值 5 . 此时 0 93sin 3cos 5    , 0 0 82sin 2cos 5    , 9 8( , )5 5M . 23.解:(1)在 2a  时, 2 2 2 1x x    . 在 1x  时, (2 2) ( 2) 1x x    ,∴1 5x  ; 在 2x   时, (2 2) ( 2) 1x x     , 3x  ,∴ x 无解; 在 2 1x   时, (2 2) ( 2) 1x x     , 1 3x   ,∴ 1 13 x   . 综上可知:不等式 ( ) 1f x  的解集为 1{ | 5}3x x   . (2)∵ 2 2 4x ax    恒成立, 而 2 2 (1 )x ax a x     , 或 2 2 (1 ) 4x ax a x      , 故只需 (1 ) 4a x  恒成立,或 (1 ) 4 4a x   恒成立, ∴ 1a   或 1a  . ∴ a 的取值为1或 1 .
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