高考数学一轮复习练案27第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第一讲平面向量的概念及其线性运算含解析

高考数学一轮复习练案27第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第一讲平面向量的概念及其线性运算含解析

- 6 -‎ ‎ [练案27]第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入 第一讲　平面向量的概念及其线性运算 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．设a0为单位向量，‎ ‎①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；‎ ‎②若a与a0平行，则a＝|a|a0；‎ ‎③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.‎ 上述命题中，假命题的个数是(　D　)‎ A．0　 B．1　‎ C．2　 D．3‎ ‎[解析]　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则当a为零向量时，a的方向任意；当a不为零向量时，a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题，综上所述，假命题的个数是3.故选D.‎ ‎2．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　A　)‎ A．－＋　　 B．－－ C.－　　 D．＋ ‎[解析]　如图所示，＝＋＝＋＝－＋.故选A.‎ ‎3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　D　)‎ A．　 B．　‎ - 6 -‎ C．　 D． ‎[解析]　在方格纸上作出＋，如图所示，则容易看出＋＝，故选D.‎ ‎4．(2018·课标全国Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　A　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝，故选A.‎ ‎5．(2020·重庆高三二诊)已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝‎4a＋5b与n＝‎2a＋λb共线，则实数λ的值为(　C　)‎ A．5　 B．3　‎ C．　 D．2‎ ‎[解析]　因为向量m＝‎4a＋5b与n＝‎2a＋λb共线，所以存在实数t，使得m＝tn，即‎4a＋5b＝t(‎2a＋λb)，又向量a，b互相垂直，故a，b不共线，所以解得.故选C.‎ ‎6．(2020·黑龙江统一仿真模拟)点G为△ABC的重心(三角形三边中线的交点)，设＝a，＝b，则＝(　D　)‎ A．a－b　　 B．a＋b C．‎2a－b　　 D．b－‎‎2a ‎[解析]　如图，＋＝，‎ - 6 -‎ 即＋＝，‎ 故＝－2＝b－‎2a.故选D.‎ 二、多选题 ‎7．(2020·湖北枣阳白水高中期中改编)下列说法正确的是(　BC　)‎ A．单位向量都相等 B．模为0的向量与任意向量共线 C．平行向量一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等 ‎[解析]　对于A，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C正确；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误，故选B、C正确．‎ ‎8．(2020·广东仲元中学期中改编)在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　AC　)‎ A．||＝||一定成立 B.＝＋一定成立 C.＝一定成立 D.＝－一定成立 ‎[解析]　在平行四边形ABCD中，＝＋一定不成立，＝一定不成立，＝－一定成立，但||＝||不一定成立，故选A、C.‎ 三、填空题 ‎9．如图所示，下列结论不正确的是__②④__.‎ ‎①＝a＋b；‎ ‎②＝－a－b；‎ ‎③＝a－b；‎ - 6 -‎ ‎④＝a＋b.‎ ‎[解析]　由a＋b＝，知＝a＋b，①正确；由＝a－b，从而②错误；＝＋b，故＝a－b，③正确；＝＋2b＝a＋b，④错误．故正确的为①③.‎ ‎10．设a和b是两个不共线的向量，若＝‎2a＋kb，＝a＋b，＝‎2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于__－4__.‎ ‎[解析]　∵A，B，D三点共线，∴∥.∵＝‎2a＋kb，＝＋＝a－2b，∴k＝－4.故填－4.‎ ‎11．(2020·河南三市联考)若＝，＝(λ＋1)，则λ＝　－　.‎ ‎[解析]　由＝可知，点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则＝－，所以λ＋1＝－，解得λ＝－.‎ ‎12．如图所示，已知∠B＝30°，∠AOB＝90°，点C在AB上，OC⊥AB，若用和来表示向量，则＝　＋　.‎ ‎[解析]　易知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.‎ 四、解答题 ‎13．(1)设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.‎ ‎①求证：A，B，D三点共线；‎ ‎②若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值；‎ ‎(2)已知a、b不共线，若向量ka＋b与a＋kb共线反向，求实数k的值．‎ ‎[解析]　(1)①证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，‎ ‎∵＝2e1－8e2，∴＝2，又与有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ - 6 -‎ ‎②由①可知＝e1－4e2，‎ 又＝3e1－ke2，由B，D，F三点共线，得＝λ，‎ 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，‎ ‎∴解得k＝12，‎ ‎(2)∵ka＋b与a＋kb共线反向，‎ ‎∴存在实数λ使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)．‎ ‎∴∴k＝±1.又λ<0，∴k＝－1.‎ B组能力提升 ‎1．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为(　C　)‎ A．梯形　　 B．菱形 C．矩形　　 D．正方形 ‎[解析]　 ‎ 如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形. ‎ ‎2．(2020·广西玉林高中模拟)设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝(　D　)‎ A．　 B．　‎ C．　 D． ‎[解析]　∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴＋2＋3＝(＋)＋2×(＋)＋3×(＋)＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝.‎ ‎3．(2020·江西南昌莲塘一中质检)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(　A　)‎ A．λμ＝1　　 B．λμ＝－1‎ C．λ－μ＝－1　　 D．λ＋μ＝2‎ ‎[解析]　∵与有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使＝t，即λa＋‎ - 6 -‎ b＝ta＋μtb，则消去参数t得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，＝a＋b，此时存在实数使＝，故和共线 .∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．故选A.‎ ‎4．(2020·四川成都七中一诊)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　B　)‎ A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的反向延长线上 C．点P在线段AB的延长线上 D．点P不在直线AB上 ‎[解析]　∵2＝2＋，∴2－2＝，即2＝，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选B.‎ ‎5．(2020·甘肃诊断)设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝(　B　)‎ A．－　　 B．＋ C.－　　 D．＋ ‎[解析]　解法一：设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，即－－3＝－4x－4y，则解得即＝＋，故选B.‎ 解法二：在△ABC中，＝－4，即－＝，则＝＋＝－＝－(＋)＝＋，故选B.‎