2020年上海高考数学高考真卷【word版；可编辑；含答案】1
2020年上海高考数学高考真卷
一、填空题
1. 已知集合A={1，2，4}， B=2，3，4，求A∩B=_________.
2. limn→∞n+13n-1=________.
3. 已知复数z满足z=1-2i（i为虚数单位），则|z|=________.
4. 已知行列式1ac2db300=6，则行列式acdb=________.
5. 已知f(x)=x3，则f-1(x)=________.
6. 已知a，b，1，2的中位数为3，平均数为4，则ab=________.
7. 已知 x+y≥2，y≥0，x+2y-3≤0， 则z=y-2x的最大值为________.
8. 已知an是公差不为零的等差数列，且a1+a10=a9，则a1+a2+⋯+a9a10=________.
9. 从6个人中选4个人值班，第一天1个人，第二天1个人，第三天2个人，共有多少种排法________．
10. 椭圆x24+y23=1，过右焦点F作直线l交椭圆于P、Q两点，P在第二象限，已知QxQ,yQ，Q'xQ',yQ'都在椭圆上，且yQ+yQ'=0，FQ'⊥PQ，则直线l的方程为________.
11. 设a∈R，若存在定义域R的函数fx既满足“对于任意x0∈R，fx0的值为x02或x0”又满足“关于x的方程fx=a无实数解”，则a的取值范围为________.
12. 已知a1→，a2→，b1→，b2→，⋯⋯，bk→(k∈N*)是平面内两两互不相等的向量，满足|a1→-a2→|=1且|ai→-bj→|∈{1,2}（其中i=1，2，j=1，2，⋯，k），则k的最大值为________.
二、选择题
13. 下列不等式恒成立的是( )
A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥-2ab
C.a+b≥-2|ab| D.a+b≤2|ab|
14. 已知直线l的解析式为3x-4y+1=0，则下列各式是l的参数方程的是( )
A.x=4+3ty=3-4t B.x=4+3ty=3+4t
C.x=1-4ty=1+3t D.x=1+4ty=1+3t
15. 在棱长为10的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，点P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线交正方体于P、Q两点，则Q点所在的平面是( )
A.AA1B1B B.BB1C1C
C.CC1D1D D.ABCD
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16. 若存在a∈R且a≠0，对任意的x∈R，均有fx+a
0恒成立；q2：fx单调递增，存在x0<0使得fx0=0，则使fx具有性质P的充分条件是( )
A.只有q1 B.只有q2 C.q1和q2 D.q1和q2都不是
三、解答题
17. 已知边长为1的正方形ABCD，沿BC旋转一周得到圆柱体．
(1)求圆柱体的表面积；
(2)正方形ABCD绕BC逆时针旋转π2到A1BCD1，求AD1与平面ABCD所成的角．
18. 已知fx=sinωxω>0.
(1)若fx的周期是4π，求ω，并求此时fx=12的解集；
(2)已知ω=1，gx=f2x+3f-xfπ2-x，x∈0,π4，求gx的值域．
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19. 已知v=qx ，x∈(0,80]，且v=100-135(13)80x,x∈(0,40)-k(x-40)+85,x∈40,80 k>0.
(1)若v>95，求x的取值范围；
(2)已知x=80时， v=50，求x为多少时，q可以取得最大值，并求出该最大值．
20. 双曲线C1：x24-y2b2=1，圆C2：x2+y2=4+b2b>0在第一象限交点为A，AxA,yA，曲线Γ：
x24-y2b2=1，|x|>xA，x2+y2=4+b2，|x|>xA.
(1)若xA=6，求b．
(2)若b=5，C2与x轴交点记为F1、F2，P是曲线Γ上一点，且在第一象限，并满足|PF1|=8，求∠F1PF2.
(3)过点S0,2+b22且斜率为-b2的直线l交曲线Γ于M，N两点，用b的代数式表示OM→⋅ON→，并求出OM→⋅ON→的取值范围．
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21. 有限数列{an}，若满足|a1-a2|≤|a1-a3|≤⋯≤|a1-am|，m是项数，则称{an}满足性质P.
(1)判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质P，请说明理由.
(2)若a1=1，公比为q的等比数列，项数为10，具有性质P，求q的取值范围.
(3)若an是1，2，⋯，m的一个排列m≥4，bk=ak+1(k=1，2，⋯，m-1)，{an}，{bn}都具有性质P，求所有满足条件的{an}.
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参考答案与试题解析
一、填空题
1.{2,4}
2.13
3.5
4.2
5.x13
6.36
7.-1
8.278
9.180
10.x+y-1=0
11.-∞,0∪0,1∪1,+∞
12.6
二、选择题
13.B
14.D
15.D
16.C
三、解答题
17.解：(1)由题意知r=1，h=1，
则S=2πrh+2πr2=4π.
(2)如图，
由题意知： D1C⊥平面ABCD，
则∠D1AC即为AD1与平面ABCD所成的角.
∵ AB=BC=CD1=1 ，AC=2，
∴ tan∠D1AC=CD1AC=12=22，
则AD1与平面ABCD所成的角为arctan22.
18.解：(1)由题可得T=2πω=4π⇒ω=12，
∴ fx=sin12x,
当fx=12时，有sin12x=12，
∴ 12x=2kπ+16π或12x=2kπ+56πk∈Z，
∴ {x|x=4kπ+π3或4kπ+53π,k∈Z}.
(2)由ω=1得fx=sinx，
∴ gx=sin2x+3sin-xsinπ2-x
=sin2x-3sinxcosx
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=-32sin2x+1-cos2x2
=12-sin(2x+π6).
∵ x∈[0,π4]，
∴ 2x∈[0,π2]，
∴ 2x+π6∈[π6,2π3]，
∴ sin2x+π6∈[12,1]，
∴ g(x)∈[-12,0].
19.解：(1)当x∈40,80时， v=-kx-40+85，
因为k>0，
所以v≤85.
又因为v>95 ，
所以x∈40,80时无解.
当x∈0,40时，
100-1351380x>95，
即 1380x<127，
即80x>3，
则x<803.
故x的取值范围为0,803.
(2)因为x=80时， v=50，
所以-k×80-40+85=50，
解得k=78.
当x=80时，q=vx=80×50=4000.
故q=vx=100x-135x(13)80x,x∈(0,40)-78x(x-40)+85x，x∈40,80
当x∈0,40时，
v=100-1351380x<100，
q=vx<100×40=4000.
当x∈40,80时，q=-78x2+120x，
当x=-1202×-78=4807时，
qmax=-78×48072+120×4807=288007>4000.
综上所述：当x=4807时，q可以取得最大值，最大值为288007.
20.解：(1)因为点A是双曲线C1和圆C2的交点，且xA=6，
所以64-yA2b2=1①，6+yA2=4+b2②，
由①可得yA2b2=12，
将其代入到②中，得到6+12b2=4+b2，
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所以b2=4，解得b=±2（舍去负值），
所以b=2.
(2)当b=5时，双曲线C1的方程为x24-y25=1，
曲线C2的方程为x2+y2=9，
所以F1-3,0，F23,0，
所以F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点，
若点P在曲线Γ上的圆的部分上，
则|PF1|≤|F1F2|=6，不符合题意，舍去．
所以点P在曲线Γ上的双曲线部分，
所以根据双曲线的性质可得|PF1|-|PF2|=2a=4，
所以|PF2|=4，
所以在△PF1F2中，由余弦定理可得：
cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|
=82+42-622×8×4=1116，
所以∠F1PF2=arccos1116.
(3)设圆C2的半径为R，
则R2=b2+4，
由题意设直线l的方程为y=-b2x+b2+42，
注意到直线l与双曲线C1的一条渐近线平行，
且不经过原点，
所以直线l与双曲线C1只有一个交点，
因为原点O到直线l的距离为d=b2+421+b24=b2+4，
即原点O到直线l的距离等于圆C2的半径，
所以直线l与圆C2相切．
记直线l与圆C2的切点为点N，连接ON，OM，如图所示，
因为直线l与圆C2相切，切点为点N，
所以ON⊥MN，
所以直线ON的方程为y=2bx，
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联立y=-b2x+b22+2，y=2bx，
得到x=b，y=2，
所以Nb,2，
结合图象可知，若要使得直线l与曲线Γ有两个交点，
则直线l与圆C2的切点N在点A的右下方，
联立x24-y2b2=1，x2+y2=4+b2，得到yA2=b4b2+4，
若点Nb,2在点A的右下方，则yN2<yA2，即4<b4b2+4，
所以b4-4b2-16>0，
所以b2<2-25（舍去）或b2>2+25，
即b2>2+25，
因为ON⊥MN，
所以OM→⋅ON→=ON→+NM→⋅ON→
=|ON→|2+NM→⋅ON→
=|ON→|2
=R2
=b2+4，
所以OM→⋅ON→=b2+4∈6+25,+∞.
21.解：(1)对于第一个数列有|3-2|=1，|3-5|=2，|3-1|=2，满足题意，该数列满足性质P；
对于第二个数列有|4-3|=1，|4-2|=2，|4-5|=1，|4-1|=3，不满足题意，该数列不满足性质P．
(2)由题意可得，|qn-1|≥|qn-1-1|，
两边平方得：q2n-2qn+1≥q2n-2-2qn-1+1，
整理得：(q-1)qn-1qn-1(q+1)-2≥0.
当q≥1时，得qn-1q+1-2≥0，此时关于n恒成立，
所以等价于n=2时，qq+1-2≥0，
所以q+2)(q-1≥0，
所以q≤-2或者q≥1，
所以取q≥1.
当0
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