2012-2013学年山东省济南外国语学校高三（上）期中数学试卷（文科）

2012-2013学年山东省济南外国语学校高三（上）期中数学试卷（文科）

‎2012-2013学年山东省济南外国语学校高三（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）‎ ‎ ‎ ‎1. 设集合U={1, 2, 3, 4, 5}‎，A={1, 3, 5}‎，B={2, 5}‎，则A∩(‎∁‎UB)‎等于‎(‎        ‎)‎ ‎ A.‎{2}‎ B.‎{2, 3}‎ C.‎{3}‎ D.‎‎{1, 3}‎ ‎ ‎ ‎2. 复数‎5i‎1−2i‎=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎2−i B.‎1−2i C.‎−2+i D.‎‎−1+2i ‎ ‎ ‎3. “x>1‎”是“‎|x|>1‎”的（ ） ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎ ‎ ‎ ‎4. 已知函数f(x)=‎‎0，(x>0)，‎π，(x=0)，‎π‎2‎‎+1，(x<0)，‎则f(f(f(−1)))‎的值等于(        ) ‎ A.π‎2‎‎−1‎ B.π‎2‎‎+1‎ C.π D.‎‎0‎ ‎ ‎ ‎5. 下列函数中，既是偶函数又在‎(0, +∞)‎单调递增的函数是‎(‎        ‎)‎ ‎ A.y=‎x‎3‎ B.y=|x|+1‎ C.y=−x‎2‎+1‎ D.‎y=‎‎2‎‎−|x|‎ ‎ ‎ ‎6. 函数f(x)=x‎3‎−3x+2‎的零点为（ ） ‎ A.‎1‎，‎2‎ B.‎±1‎，‎−2‎ C.‎1‎，‎−2‎ D.‎±1‎，‎‎2‎ ‎ ‎ ‎7. 若点‎(a, 9)‎在函数y=‎‎3‎x的图象上，则tanaπ‎6‎的值为（ ） ‎ A.‎0‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎1‎ D.‎‎3‎ ‎ ‎ ‎8. 已知向量a‎→‎‎=(2, 1)‎，b‎→‎‎=(−1, k)‎，a‎→‎‎⋅(2a‎→‎−b‎→‎)=0‎，则k=(‎ ‎)‎ ‎ A.‎−12‎ B.‎−6‎ C.‎6‎ D.‎‎12‎ ‎ ‎ ‎9. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有‎30‎名，高二年级有‎40‎名．现用分层抽样的方法在这‎70‎名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了‎6‎名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ） ‎ A.‎6‎ B.‎8‎ C.‎10‎ D.‎‎12‎ ‎ ‎ ‎10. 若a>0‎，b>0‎，且函数f(x)‎＝‎4x‎3‎−ax‎2‎−2bx+2‎在x＝‎1‎处有极值，则ab的最大值等于（ ） ‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.‎6‎ D.‎‎9‎ ‎ ‎ ‎11. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)‎，x∈R，其中ω>0‎，‎−π<φ≤π．若函数f(x)‎的最小正周期为‎6π，且当x=‎π‎2‎时，f(x)‎取得最大值，则（ ） ‎ A.f(x)‎在区间‎[−2π, 0]‎上是增函数 B.f(x)‎在区间‎[−3π, −π]‎上是增函数 C.f(x)‎在区间‎[3π, 5π]‎上是减函数 D.f(x)‎在区间‎[4π, 6π]‎上是减函数 ‎ ‎ ‎12. 函数f(x)‎的定义域为R，f(−1)‎＝‎2‎，对任意x∈R，f′(x)>2‎，则f(x)>2x+4‎的解集为（ ） ‎ A.‎(−1, 1)‎ B.‎(−1, +∞)‎ C.‎(−∞, −l)‎ D.‎‎(−∞, +∞)‎ 二、填空题：本大题共4小题.每小题4分；共16分，将答案填在题中横线上.‎ ‎ ‎ ‎ 函数f(x)=‎‎1‎‎2x−1‎的定义域是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)‎是一次函数，且满足f(x+1)=4x−1‎，则f(x)=‎________．． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知x和y是实数，且满足约束条件x+y≤10‎x−y≤2‎‎2x≥7‎‎，则z=2x+3y的最小值是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 已知‎△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S=‎a‎2‎‎+b‎2‎−‎c‎2‎‎4‎，则角C=‎________． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)=sin(x+‎7π‎4‎)+cos(x−‎3π‎4‎)‎，x∈R，求f(x)‎的最小正周期和在‎[0, π‎2‎]‎上的最小值和最大值． ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎ ‎ ‎ 如图，直线l:y=x+b与抛物线C:x‎2‎=4y相切于点A．   ‎ ‎(1)‎求实数b的值；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．‎ ‎ ‎ ‎ 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥‎底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE // AB． ‎(‎Ⅰ‎)‎求证：CE⊥‎平面PAD； ‎(‎Ⅱ‎)‎若PA＝AB＝‎1‎，AD＝‎3‎，CD=‎‎2‎，‎∠CDA＝‎45‎‎∘‎，求四棱锥P−ABCD的体积． ‎ ‎ ‎ ‎ 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关，据统计，当X=70‎时，Y=460‎；X每增加‎10‎，Y增加‎5‎．已知近‎20‎年X的值为：‎140‎，‎110‎，‎160‎，‎70‎，‎200‎，‎160‎，‎140‎，‎160‎，‎220‎，‎200‎，‎110‎，‎160‎，‎160‎，‎200‎，‎140‎，‎110‎，‎160‎，‎220‎，‎140‎，‎160‎． ‎ ‎(1)‎完成如下的频率分布表 近‎20‎年六月份降雨量频率分布表 ‎ 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎1‎‎20‎ ‎ ‎ ‎4‎‎20‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2‎‎20‎ ‎ ‎ ‎(2)‎假定今年六月份的降雨量与近‎20‎年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于‎490‎（万千瓦时）或超过‎530‎（万千瓦时）的概率．‎ ‎ ‎ ‎ 在数列‎{an}‎ 中，已知a‎1‎‎=‎‎1‎‎4‎，an+1‎an‎=‎‎1‎‎4‎，bn‎+2=3log‎1‎‎4‎an(n∈N‎*‎)‎． ‎ ‎（1）求数列‎{an}‎ 的通项公式；‎ ‎ ‎ ‎（2）求证：数列‎{bn}‎ 是等差数列；‎ ‎ ‎ ‎（3）设数列‎{cn}‎ 满足cn‎=an⋅‎bn，求‎{cn}‎ 的前n项和Sn．‎ ‎ ‎ ‎ 已知函数f(x)=(x−k)‎ex． ‎ ‎（1）求f(x)‎的单调区间；‎ ‎ ‎ ‎（2）求f(x)‎在区间‎[0, 1]‎上的最小值．‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 参考答案与试题解析 ‎2012-2013学年山东省济南外国语学校高三（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 交、并、补集的混合运算 ‎【解析】‎ 先求出集合B在全集中的补集，然后与集合A取交集．‎ ‎【解答】‎ 解：因为集合U={1, 2, 3, 4, 5}‎，B={2, 5}‎， 所以CUB={1, 3, 4}‎， 又A={1, 3, 5}‎， 所以A∩(CUB)={1, 3, 5}∩{1, 3, 4}={1, 3}‎． 故选D．‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 复数的运算 ‎【解析】‎ 将分子、分母同时乘以‎1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i‎2‎用‎−1‎ 代替即可．‎ ‎【解答】‎ ‎5i‎1−2i‎=‎5i(1+2i)‎‎(1−2i)(1+2i)‎=−2+i ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎【解析】‎ 解绝对值不等式，进而判断“x>1‎”‎⇒‎“‎|x|>1‎”与“‎|x|>1‎”‎⇒‎“x>1‎”的真假，再根据充要条件的定义即可得到答案．‎ ‎【解答】‎ 解：当“x>1‎”时，“‎|x|>1‎”成立， 即“x>1‎”‎⇒‎“‎|x|>1‎”为真命题， 而当“‎|x|>1‎”时，x<−1‎或x>1‎，即“x>1‎”不一定成立， 即“‎|x|>1‎”‎⇒‎“x>1‎”为假命题， ∴ “x>1‎”是“‎|x|>1‎”的充分不必要条件． 故选A．‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 函数的求值 ‎【解析】‎ 根据分段函数的定义域，求出f(−1)‎的值，再根据分段函数的定义域进行代入求解；‎ ‎【解答】‎ 解：函数f(x)=‎‎0，(x>0)，‎π，(x=0)，‎π‎2‎‎+1，(x<0)，‎ f(−1)=π‎2‎+1>0‎， ∴ f(f(−1))=0‎， 可得f(0)=π， ∴ f(f(f(−1)))=π. 故选C.‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 函数奇偶性的判断 函数单调性的判断与证明 ‎【解析】‎ 首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间‎(0, +∞)‎上y=|x|+1=x+1‎、y=−x‎2‎+1‎、y=‎2‎‎−|x|‎=(‎‎1‎‎2‎‎)‎x的单调性易于选出正确答案．‎ ‎【解答】‎ 解：因为y=‎x‎3‎是奇函数， y=|x|+1‎，y=−x‎2‎+1‎，y=‎‎2‎‎−|x|‎均为偶函数， 所以选项A错误； 又因为y=−x‎2‎+1‎，y=‎2‎‎−|x|‎=(‎‎1‎‎2‎‎)‎‎|x|‎ 在‎(0, +∞)‎上均为减函数， 只有y=|x|+1‎在‎(0, +∞)‎上为增函数， 所以选项C，D错误，只有选项B正确． 故选B．‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 利用导数研究函数的极值 函数的零点 ‎【解析】‎ 令f(x)=x‎3‎−3x+2=0‎，解方程可得函数的零点．‎ ‎【解答】‎ 解：由f(x)=x‎3‎−3x+2=0‎，可得x‎3‎‎−1−3(x−1)=0‎ ∴ ‎(x−1)(x‎2‎+x−2)=0‎ ∴ ‎(x−1‎)‎‎2‎(x+2)=0‎ ∴ x=1‎或‎−2‎ ∴ ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎ 函数f(x)=x‎3‎−3x+2‎的零点为‎1‎或‎−2‎ 故选C．‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 指数函数的性质 ‎【解析】‎ 先将点代入到解析式中，解出a的值，再根据特殊三角函数值进行解答．‎ ‎【解答】‎ 解：将‎(a, 9)‎代入到y=‎‎3‎x中，得‎3‎a‎=9‎， 解得a=2‎． ∴ tanaπ‎6‎=tanπ‎3‎=‎‎3‎． 故选D．‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 数量积判断两个平面向量的垂直关系 ‎【解析】‎ 利用向量的数量积个数求出a‎→‎‎2‎‎，a‎→‎⋅‎b‎→‎；再利用向量的运算律将已知等式展开，将a‎→‎‎2‎‎，a‎→‎⋅‎b‎→‎的值代入，求出k的值．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ a‎→‎‎=(2,1)，b‎→‎=(−1,k)‎ ∴ a‎→‎‎2‎‎=5，a‎→‎⋅b‎→‎=k−2‎ ∵ a‎→‎‎⋅(2a‎→‎−b‎→‎)=0‎ 即‎2a‎→‎‎2‎−a‎→‎⋅b‎→‎=0‎ ‎10−k+2=0‎ 解得k=12‎ 故选D ‎9.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 分层抽样方法 ‎【解析】‎ 根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ 高一年级有‎30‎名， 在高一年级的学生中抽取了‎6‎名， 故每个个体被抽到的概率是‎6‎‎30‎‎=‎‎1‎‎5‎ ∵ 高二年级有‎40‎名， ∴ 要抽取‎40×‎1‎‎5‎=8‎， 故选：B．‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 利用导数研究函数的极值 ‎【解析】‎ 求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为‎0‎得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ f′(x)‎＝‎12x‎2‎−2ax−2b， 又因为在x＝‎1‎处有极值， ∴ a+b＝‎6‎， ∵ a>0‎，b>0‎， ∴ ab≤‎(a+b‎2‎)‎‎2‎=9‎， 当且仅当a＝b＝‎3‎时取等号， 所以ab的最大值等于‎9‎．‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 正弦函数的单调性 三角函数的周期性及其求法 三角函数的最值 ‎【解析】‎ 由函数f(x)‎的最小正周期为‎6π，根据周期公式可得ω=‎2π‎6π=‎‎1‎‎3‎，且当x=‎π‎2‎时，f(x)‎取得最大值，代入可得，‎2sin(π‎6‎+φ)=2‎，结合已知‎−π<φ≤π可得φ=‎π‎3‎ 可得f(x)=2sin(‎1‎‎3‎x+π‎3‎)‎，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可 ‎【解答】‎ 解：∵ 函数f(x)‎的最小正周期为‎6π，根据周期公式可得ω=‎2π‎6π=‎‎1‎‎3‎， ∴ f(x)=2sin(‎1‎‎3‎x+φ)‎， ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎∵ 当x=‎π‎2‎时，f(x)‎取得最大值，∴ ‎2sin(π‎6‎+φ)=2‎，φ=π‎3‎+2kπ， ∵ ‎−π<φ≤π，∴ φ=‎π‎3‎，∴ f(x)=2sin(‎1‎‎3‎x+π‎3‎)‎，  由‎−π‎2‎+2kπ≤‎1‎‎3‎x+π‎3‎≤π‎2‎+2kπ 可得函数的单调增区间：‎[6kπ−‎5π‎2‎，6kπ+π‎2‎]‎， 由π‎2‎‎+2kπ≤x‎3‎+π‎3‎≤‎3π‎2‎+2kπ可得函数的单调减区间：‎[6kπ+π‎2‎，6kπ+‎7π‎2‎]‎， 结合选项可知A正确， 故选A．‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 其他不等式的解法 ‎【解析】‎ 把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F(x)‎构成一个函数，把x＝‎−1‎代入F(x)‎中，由f(−1)‎＝‎2‎出F(−1)‎的值，然后求出F(x)‎的导函数，根据f′(x)>2‎，得到导函数大于‎0‎即得到F(x)‎在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F(x)‎大于‎0‎的解集，进而得到所求不等式的解集．‎ ‎【解答】‎ 设F(x)‎＝f(x)−(2x+4)‎， 则F(−1)‎＝f(−1)−(−2+4)‎＝‎2−2‎＝‎0‎， 又对任意x∈R，f′(x)>2‎，所以F′(x)‎＝f′(x)−2>0‎， 即F(x)‎在R上单调递增， 则F(x)>0‎的解集为‎(−1, +∞)‎， 即f(x)>2x+4‎的解集为‎(−1, +∞)‎．‎ 二、填空题：本大题共4小题.每小题4分；共16分，将答案填在题中横线上.‎ ‎【答案】‎ ‎(‎1‎‎2‎，+∞)‎ ‎【考点】‎ 函数的定义域及其求法 ‎【解析】‎ 首先分母不为‎0‎，根据根号有意义的条件进行求解；‎ ‎【解答】‎ 解：函数f(x)=‎‎1‎‎2x−1‎， ∴ ‎2x−1‎‎≠0‎‎2x−1≥0‎， ∴ x>‎‎1‎‎2‎， 故答案为：‎(‎1‎‎2‎, +∞)‎；‎ ‎【答案】‎ ‎4x−5‎ ‎【考点】‎ 函数解析式的求解及常用方法 ‎【解析】‎ 已知函数f(x)‎是一次函数，故用待定系数法求函数的解析式．‎ ‎【解答】‎ 解：因为函数f(x)‎是一次函数， 所以设函数的解析式为y=kx+b(k≠0)‎， 所以f(x+1)=k(x+1)+b=kx+k+b=4x−1‎， 所以k=4‎k+b=−1‎， 解得：k=4‎b=−5‎， 所以函数的解析式为f(x)=4x−5‎， 故答案为‎4x−5‎．‎ ‎【答案】‎ ‎23‎‎2‎ ‎【考点】‎ 简单线性规划 ‎【解析】‎ 先满足约束条件画出可行域，然后将各个角点的坐标代入目标函数的解析式，分析比较后，即可得到目标函数z=2x+3y的最小值；‎ ‎【解答】‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 解：∵ x和y是实数，且满足约束条件x+y≤10‎x−y≤2‎‎2x≥7‎，z=2x+3y， 画出可行域 A点坐标x+y=10‎x−y=2‎解得A(‎7‎‎2‎, ‎3‎‎2‎)‎， 将目标函数平移在点A(‎7‎‎2‎, ‎3‎‎2‎)‎， ∴ zmin‎=2×‎7‎‎2‎+3×‎3‎‎2‎=‎‎23‎‎2‎； 故答案为‎23‎‎2‎；‎ ‎【答案】‎ ‎45‎‎∘‎ ‎【考点】‎ 余弦定理的应用 ‎【解析】‎ 先利用余弦定理，将面积化简，再利用三角形的面积公式，可得cosC=sinC，根据C是‎△ABC的内角，可求得C的值．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意，S=a‎2‎‎+b‎2‎−‎c‎2‎‎4‎=‎2abcosC‎4‎=‎abcosC‎2‎ ∵ S=‎absinC‎2‎ ∴ cosC=sinC ∵ C是‎△ABC的内角 ∴ C=‎‎45‎‎∘‎ 故答案为：‎‎45‎‎∘‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎【答案】‎ 解：f(x)=sinxcos‎7π‎4‎+cosxsin‎7π‎4‎+cosxcos‎3π‎4‎+sinxsin‎3π‎4‎ ‎=‎2‎‎2‎sinx−‎2‎‎2‎cosx−‎2‎‎2‎cosx+‎2‎‎2‎sinx ‎=‎2‎(sinx−cosx)‎ ‎=2sin(x−π‎4‎)‎， ∵ ω=1‎，∴ T=2π； ∵ x∈[0, π‎2‎]‎，∴ x−π‎4‎∈[−π‎4‎, π‎4‎]‎， ∴ ‎−‎2‎‎2‎≤sin(x−π‎4‎)≤‎‎2‎‎2‎，即‎−‎2‎≤2sin(x−π‎4‎)≤‎‎2‎， 则函数在‎[0, π‎2‎]‎上的最大值为‎2‎，最小值为‎−‎‎2‎．‎ ‎【考点】‎ 求两角和与差的正弦 ‎【解析】‎ 将函数解析式两项分别利用两角和与差的正弦、余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数的值域，即可确定出函数的最小值与最大值．‎ ‎【解答】‎ 解：f(x)=sinxcos‎7π‎4‎+cosxsin‎7π‎4‎+cosxcos‎3π‎4‎+sinxsin‎3π‎4‎ ‎=‎2‎‎2‎sinx−‎2‎‎2‎cosx−‎2‎‎2‎cosx+‎2‎‎2‎sinx ‎=‎2‎(sinx−cosx)‎ ‎=2sin(x−π‎4‎)‎， ∵ ω=1‎，∴ T=2π； ∵ x∈[0, π‎2‎]‎，∴ x−π‎4‎∈[−π‎4‎, π‎4‎]‎， ∴ ‎−‎2‎‎2‎≤sin(x−π‎4‎)≤‎‎2‎‎2‎，即‎−‎2‎≤2sin(x−π‎4‎)≤‎‎2‎， 则函数在‎[0, π‎2‎]‎上的最大值为‎2‎，最小值为‎−‎‎2‎．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 解：‎(1)‎由y=x+bx‎2‎‎=4y，消去y得：x‎2‎‎−4x−4b=0‎， 因为直线l与抛物线C相切， 所以Δ=(−4‎)‎‎2‎−4×(−4b)=0‎， 解得b=−1‎；‎ ‎(2)‎由‎(1)‎可知b=−1‎， 把b=−1‎代入①得：x‎2‎‎−4x+4=0‎， 解得x=2‎， 代入抛物线方程x‎2‎‎=4y，得y=1‎， 故点A的坐标为‎(2, 1)‎， 因为圆A与抛物线C的准线相切， 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=−1‎的距离， 即r=|1−(−1)|=2‎， 所以圆A的方程为：‎(x−2‎)‎‎2‎+(y−1‎)‎‎2‎=4‎．‎ ‎【考点】‎ 抛物线的性质 直线与椭圆结合的最值问题 ‎【解析】‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎（1）由y=x+bx‎2‎‎=4y，得：x‎2‎‎−4x−4b=0‎，由直线l与抛物线C相切，知‎△=(−4‎)‎‎2‎−4×(−4b)=0‎，由此能求出实数b的值．‎ ‎（2）由b=−1‎，得x‎2‎‎−4x+4=0‎，解得x=2‎，代入抛物线方程x‎2‎‎=4y，得点A的坐标为‎(2, 1)‎，因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=−1‎的距离，由此能求出圆A的方程．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎由y=x+bx‎2‎‎=4y，消去y得：x‎2‎‎−4x−4b=0‎， 因为直线l与抛物线C相切， 所以Δ=(−4‎)‎‎2‎−4×(−4b)=0‎， 解得b=−1‎；‎ ‎(2)‎由‎(1)‎可知b=−1‎， 把b=−1‎代入①得：x‎2‎‎−4x+4=0‎， 解得x=2‎， 代入抛物线方程x‎2‎‎=4y，得y=1‎， 故点A的坐标为‎(2, 1)‎， 因为圆A与抛物线C的准线相切， 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=−1‎的距离， 即r=|1−(−1)|=2‎， 所以圆A的方程为：‎(x−2‎)‎‎2‎+(y−1‎)‎‎2‎=4‎．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：因为PA⊥‎平面ABCD，CE⊂‎平面ABCD， 所以PA⊥CE， 因为AB⊥AD，CE // AB，所以CE⊥AD 又PA∩AD＝A，所以CE⊥‎平面PAD． （2）由‎(‎Ⅰ‎)‎可知CE⊥AD， 在Rt△ECD中，DE＝CDcos‎45‎‎∘‎＝‎1‎，CE＝CDsin‎45‎‎∘‎＝‎1‎，又因为AB＝CE＝‎1‎，AB // CE， 所以四边形ABCE为矩形， 所以SABCD‎=SABCE+S‎△CED=AB⋅CE+‎1‎‎2‎CE⋅DE ‎=1×2+‎1‎‎2‎×1×1=‎‎5‎‎2‎， 又PA⊥‎平面ABCD，PA＝‎1‎， 所以VP−ABCD‎=‎1‎‎3‎SABCD⋅PA=‎1‎‎3‎×‎5‎‎2‎×1=‎‎5‎‎6‎ ‎【考点】‎ 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 直线与平面垂直 ‎【解析】‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎由已知容易证PA⊥CE，CE⊥AD，由直线与平面垂直的判定定理可得 ‎(‎Ⅱ‎)‎由‎(‎Ⅰ‎)‎可知CE⊥AD，从而有四边形ABCE为矩形，且可得P到平面ABCD的距离PA＝‎1‎，代入锥体体积公式可求 ‎【解答】‎ ‎（1）证明：因为PA⊥‎平面ABCD，CE⊂‎平面ABCD， 所以PA⊥CE， 因为AB⊥AD，CE // AB，所以CE⊥AD 又PA∩AD＝A，所以CE⊥‎平面PAD． （2）由‎(‎Ⅰ‎)‎可知CE⊥AD， 在Rt△ECD中，DE＝CDcos‎45‎‎∘‎＝‎1‎，CE＝CDsin‎45‎‎∘‎＝‎1‎，又因为AB＝CE＝‎1‎，AB // CE， 所以四边形ABCE为矩形， 所以SABCD‎=SABCE+S‎△CED=AB⋅CE+‎1‎‎2‎CE⋅DE ‎=1×2+‎1‎‎2‎×1×1=‎‎5‎‎2‎， 又PA⊥‎平面ABCD，PA＝‎1‎， 所以VP−ABCD‎=‎1‎‎3‎SABCD⋅PA=‎1‎‎3‎×‎5‎‎2‎×1=‎‎5‎‎6‎ ‎【答案】‎ 解：‎(1)‎在所给数据中，降雨量为‎110‎毫米的有‎3‎个，为‎160‎毫米的有‎7‎个，为‎200‎毫米的有‎3‎个， 故近‎20‎年六月份降雨量频率分布表为： ‎ 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎1‎‎20‎ ‎3‎‎20‎ ‎4‎‎20‎ ‎7‎‎20‎ ‎3‎‎20‎ ‎2‎‎20‎ ‎(2)‎根据题意，当X=70‎时，Y=460‎；X每增加‎10‎，Y增加‎5‎； Y=‎1‎‎2‎X+425‎； 则Y=460+X−70‎‎10‎×5<490‎或Y=460+X−70‎‎10‎×5>530‎； 解可得，X<130‎或X>210‎； 故P=P(Y<490‎或Y>530)=P(X<130‎或X>210)‎ ‎=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=‎1‎‎20‎+‎3‎‎20‎+‎2‎‎20‎=‎‎3‎‎10‎ 故今年六月份该水利发电站的发电量低于‎490‎（万千瓦时）或超过‎530‎（万千瓦时）的概率为：‎3‎‎10‎．‎ ‎【考点】‎ 互斥事件的概率加法公式 频率分布表 ‎【解析】‎ ‎（1）从所给的数据中数出降雨量为各个值时对应的频数，求出频率，完成频率分布图．‎ ‎（2）将发电量转化为降雨量，利用频率分布表，求出发电量低于‎490‎（万千瓦时）或超过‎530‎（万千瓦时）的概率．‎ ‎【解答】‎ 解：‎(1)‎在所给数据中，降雨量为‎110‎毫米的有‎3‎个，为‎160‎毫米的有‎7‎个，为‎200‎毫米的有‎3‎个， 故近‎20‎年六月份降雨量频率分布表为： ‎ 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎1‎‎20‎ ‎3‎‎20‎ ‎4‎‎20‎ ‎7‎‎20‎ ‎3‎‎20‎ ‎2‎‎20‎ ‎(2)‎根据题意，当X=70‎时，Y=460‎；X每增加‎10‎，Y增加‎5‎； Y=‎1‎‎2‎X+425‎； 则Y=460+X−70‎‎10‎×5<490‎或 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 Y=460+X−70‎‎10‎×5>530‎‎； 解可得，X<130‎或X>210‎； 故P=P(Y<490‎或Y>530)=P(X<130‎或X>210)‎ ‎=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=‎1‎‎20‎+‎3‎‎20‎+‎2‎‎20‎=‎‎3‎‎10‎ 故今年六月份该水利发电站的发电量低于‎490‎（万千瓦时）或超过‎530‎（万千瓦时）的概率为：‎3‎‎10‎．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）解：∵ a‎1‎‎=‎‎1‎‎4‎，an+1‎an‎=‎‎1‎‎4‎， ∴ 数列‎{an}‎是首项为‎1‎‎4‎，公比为‎1‎‎4‎的等比数列， ∴ an‎=(‎‎1‎‎4‎‎)‎n，n∈‎N‎*‎．‎ ‎（2）证明：∵ bn‎+2=3log‎1‎‎4‎an(n∈N‎*‎)‎，an‎=(‎‎1‎‎4‎‎)‎n， ∴ bn‎=3log‎1‎‎4‎(‎1‎‎4‎‎)‎n−2=3n−2‎， ∴ b‎1‎‎=1‎，公差d=3‎， ∴ 数列‎{bn}‎是首项b‎1‎‎=1‎，公差d=3‎的等差数列．‎ ‎（3）解：∵ an‎=(‎‎1‎‎4‎‎)‎n，bn‎=3n−2‎，n∈‎N‎*‎，cn‎=an⋅‎bn， ∴ cn‎=(3n−2)×(‎‎1‎‎4‎‎)‎n， ∴ Sn‎=1×‎1‎‎4‎+4×(‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎+7×(‎1‎‎4‎‎)‎‎3‎+…+(3n−5)×(‎1‎‎4‎‎)‎n−1‎+(3n−2)×(‎‎1‎‎4‎‎)‎n，① ‎1‎‎4‎Sn‎=1×(‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎+4×(‎1‎‎4‎‎)‎‎3‎+7×(‎1‎‎4‎‎)‎‎4‎+...+(3n−5)×(‎1‎‎4‎‎)‎n+(3n−2)×(‎‎1‎‎4‎‎)‎n+1‎，② ①-②，得‎3‎‎4‎Sn‎=‎1‎‎4‎+3[(‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎+(‎1‎‎4‎‎)‎‎3‎+…+(‎1‎‎4‎‎)‎n]−(3n−2)×(‎‎1‎‎4‎‎)‎n+1‎ ‎=‎1‎‎2‎−(3n−2)×(‎1‎‎4‎‎)‎n+1‎−(‎‎1‎‎4‎‎)‎n+1‎， ∴ Sn‎=‎2‎‎3‎−‎12n+8‎‎3‎×(‎‎1‎‎4‎‎)‎n+1‎，n∈‎N‎*‎．‎ ‎【考点】‎ 数列的求和 等比数列的通项公式 等差关系的确定 ‎【解析】‎ ‎（1）由a‎1‎‎=‎‎1‎‎4‎，an+1‎an‎=‎‎1‎‎4‎，能求出数列‎{an}‎ 的通项公式．‎ ‎（2）由bn‎+2=3log‎1‎‎4‎an(n∈N‎*‎)‎，an‎=(‎‎1‎‎4‎‎)‎n，知bn‎=3log‎1‎‎4‎(‎1‎‎4‎‎)‎n−2=3n−2‎，由此能证明数列‎{bn}‎是等差数列．‎ ‎（3）由an‎=(‎‎1‎‎4‎‎)‎n，bn‎=3n−2‎，n∈‎N‎*‎，cn‎=an⋅‎bn，cn‎=(3n−2)×(‎‎1‎‎4‎‎)‎n，由此利用错位相减法能求出‎{cn}‎ 的前n项和Sn．‎ ‎【解答】‎ ‎（1）解：∵ a‎1‎‎=‎‎1‎‎4‎，an+1‎an‎=‎‎1‎‎4‎， ∴ 数列‎{an}‎是首项为‎1‎‎4‎，公比为‎1‎‎4‎的等比数列， ∴ an‎=(‎‎1‎‎4‎‎)‎n，n∈‎N‎*‎．‎ ‎（2）证明：∵ bn‎+2=3log‎1‎‎4‎an(n∈N‎*‎)‎，an‎=(‎‎1‎‎4‎‎)‎n， ∴ bn‎=3log‎1‎‎4‎(‎1‎‎4‎‎)‎n−2=3n−2‎， ∴ b‎1‎‎=1‎，公差d=3‎， ∴ 数列‎{bn}‎是首项b‎1‎‎=1‎，公差d=3‎的等差数列．‎ ‎（3）解：∵ an‎=(‎‎1‎‎4‎‎)‎n，bn‎=3n−2‎，n∈‎N‎*‎，cn‎=an⋅‎bn， ∴ cn‎=(3n−2)×(‎‎1‎‎4‎‎)‎n， ∴ Sn‎=1×‎1‎‎4‎+4×(‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎+7×(‎1‎‎4‎‎)‎‎3‎+…+(3n−5)×(‎1‎‎4‎‎)‎n−1‎+(3n−2)×(‎‎1‎‎4‎‎)‎n，① ‎1‎‎4‎Sn‎=1×(‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎+4×(‎1‎‎4‎‎)‎‎3‎+7×(‎1‎‎4‎‎)‎‎4‎+...+(3n−5)×(‎1‎‎4‎‎)‎n+(3n−2)×(‎‎1‎‎4‎‎)‎n+1‎，② ①-②，得‎3‎‎4‎Sn‎=‎1‎‎4‎+3[(‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎+(‎1‎‎4‎‎)‎‎3‎+…+(‎1‎‎4‎‎)‎n]−(3n−2)×(‎‎1‎‎4‎‎)‎n+1‎ ‎=‎1‎‎2‎−(3n−2)×(‎1‎‎4‎‎)‎n+1‎−(‎‎1‎‎4‎‎)‎n+1‎， ∴ Sn‎=‎2‎‎3‎−‎12n+8‎‎3‎×(‎‎1‎‎4‎‎)‎n+1‎，n∈‎N‎*‎．‎ ‎【答案】‎ 解：（1）f′(x)=(x−k+1)‎ex， 令f′(x)=0‎，得x=k−1‎， f′(x)f(x)‎随x的变化情况如下：‎ x ‎(−∞, k−1)‎ k−1‎ ‎(k−1, +∞)‎ ‎ ‎f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎  ‎f(x)‎ ‎↓‎ ‎−‎ek−1‎ ‎↑‎ ‎∴ f(x)‎的单调递减区间是‎(−∞, k−1)‎，f(x)‎的单调递增区间‎(k−1, +∞)‎；‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎（2）当k−1≤0‎，即k≤1‎时，函数f(x)‎在区间‎[0, 1]‎上单调递增， ∴ f(x)‎在区间‎[0, 1]‎上的最小值为f(0)=−k； 当‎0

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