2018届二轮复习空间几何体学案（全国通用）

2018届二轮复习空间几何体学案（全国通用）

专题 11 空间几何体 1．以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适 中； 2．以熟悉的几何体为背景，考查多面体或旋转体的侧面积、表面积和体积计算，间接考查空间位置关 系的判断及转化思想等，常以三视图形式给出几何体，辅以考查识图、用图能力及空间想象能力，难度中 等． 3.几何体的三视图与表(侧)面积、体积计算结合； 1．柱体、锥体、台体、球的结构特征 名称 几何特征 棱柱 ①有两个面互相平行(底面可以是任意多边形)； ②其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行 棱锥 ①有一个面是多边形(底面)； ②其余各面是有公共顶点的三角形． 棱台 ①底面互相平行； ②所有侧棱延长后交于一点(即原棱锥的顶点) 圆柱 ①有两个互相平行的圆面(底面)； ②有一个侧面是曲面(母线绕轴旋转一周形成的)，且母线与底面垂直 圆台 ①底面互相平行； ②有一个侧面是曲面，可以看成母线绕轴旋转一周形成的 球 ①有一个曲面是球面； ②有一个球心和一条半径长 R，球是一个几何体(包括内部)，可以看成半圆以它 的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的 2.柱体、锥体、台体、球的表面积与体积 名称 体积 表面积 棱柱 V 棱柱＝Sh(S 为底面积，h 为高) S 棱柱＝2S 底面＋S 侧面 棱锥 V 棱锥＝1 3 Sh(S 为底面积，h 为高) S 棱锥＝S 底面＋S 侧面 棱台 V 棱台＝1 3 h(S＋ SS′＋S′) (S、S′为底 面积，h 为高) S 棱台＝S 上底＋S 下底＋S 侧面 圆柱 V 圆柱＝πr2h(r 为底面半径，h 为高) S 圆柱＝2πrl＋2πr2(r 为底 面半径，l 为母线长) 圆锥 V 圆锥＝1 3 πr2h(r 为底面半径，h 为高) S 圆锥＝πrl＋πr2(r 为底面 半径，l 为母线长) 圆台 V 圆台＝1 3 πh(r2＋rr′＋r′2) (r、r′ 为底面半径，h 为高) S 圆台＝π(r＋r′)l＋πr2＋ πr′2 球 V 球＝4 3 πR3(R 为球的半径) S 球＝4πR2(R 为球的半径) 3.空间几何体的三视图和直观图 (1)空间几何体的三视图 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投 影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”． (2)空间几何体的直观图 空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法．用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角 45°(或 135°)，平行长不变，垂直长减半”． 4．几何体沿表面某两点的最短距离问题一般用展开图解决；不规则几何体求体积一般用割补法和等积 法求解；三视图问题要特别留意各种视图与观察者的相对位置关系. 【误区警示】 1．识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线． 2．注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算．要弄清增加 和减少的部分． 3．展开与折叠、卷起问题中，要注意平面图形与直观图中几何量的对应关系． 考点一 空间几何体的结构 例 1．若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值( ) A．大于 5 B．等于 5 C．至多等于 4 D．至多等于 3 解析 当 n＝3 时显然成立，故排除 A，B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得 n＝4 时成立， 故选 C. 答案 C 【变式探究】已知正三棱锥 PABC，点 P，A，B，C 都在半径为 3的球面上，若 PA，PB，PC 两两相互 垂直，则球心到截面 ABC 的距离为________． 考点二 三视图、直观图 例 2．【2017 课标 1，理 7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角 三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯 形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【变式探究】【2016 高考新课标 2 理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体 的表面积为（ ） （A） 20 （B） 24 （C） 28 （D）32 【答案】C 【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为 1 2π 2 4 16πS     ，圆锥的侧面积为 2 π 2 4 8πS     ，圆柱 的底面面积为 2 3 π 2 4πS    ，故该几何体的表面积为 1 2 3 28πS S S S    ，故选 C. 【变式探究】(2015·北京，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( ) A．2＋ 5 B．4＋ 5 C．2＋2 5 D．5 考点三 几何体的表面积 例 3．【2016 高考新课标 1 卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径.若该几何体的体积是 28 3  ,则它的表面积是（ ） （A）17 （B）18 （C） 20 （D） 28 【答案】A 【解析】该几何体直观图如图所示： 是一个球被切掉左上角的 1 8 ,设球的半径为 R ,则 37 4 28V R8 3 3    ,解得 R 2 ,所以它的表面积 是 7 8 的球面面积和三个扇形面积之和 2 27 1= 4 2 +3 2 =178 4S       故选 A． 【变式探究】(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4 考点四 几何体的体积 例 4．【2017 课标 II，理 4】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） A． 90 B． 63 C． 42 D． 36 【答案】B 【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为 3，高为 4 的圆柱，其体积 2 1 3 4 36V      ，上半部分是一个底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半，其体积  2 2 1 3 6 272V       ，故该组合体的体积 1 2 36 27 63V V V        ．故选 B． 【变式探究】【2016 高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何 体的体积为（ ） （A） 1 2 3 3  π （B） 1 2 3 3  π （C） 1 2 3 6  π （D） 21 6  π 【答案】C 【变式探究】(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.1 3 ＋π B.2 3 ＋π C.1 3 ＋2π D.2 3 ＋2π 解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝1 2 π×12×2＋1 3 × 1 2 ×1×2 ×1＝π＋1 3 ，选 A. 答案 A 1.【2017 课标 1，理 7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角 形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的 面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 2.【2017 课标 II，理 4】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ） B． 90 B． 63 C． 42 D． 36 【答案】B 3.【2017 北京，理 7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 （A）3 2 （B）2 3 （C）2 2 （D）2 【答案】B 【解析】几何体是四棱锥 P ABCD ，如图. 最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度 2 2 22 2 2 2 3l     ，故选 B. 4.【2017 山东，理 13】由一个长方体和两个 1 4 圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体 积为 . 【答案】 2 2  5.【2017 课标 1，理 16】如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中 心为 O.D、E、F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪 开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的 边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______. 【答案】 4 15 设   4 535 3n x x x  ，x>0，则   3 45 320 3n x x x   ， 令   0n x  ，即 4 34 0 3 xx   ，得 4 3x  ，易知  n x 在 4 3x  处取得最大值. ∴ max 15 48 5 4 4 1512V      . 【考点】简单几何体的体积。 1、【2016 高考新课标 1 卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半 径.若该几何体的体积是 28 3  ,则它的表面积是（ ） （A）17 （B）18 （C） 20 （D） 28 【答案】A 【解析】该几何体直观图如图所示： 2.【2016 高考新课标 2 理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积 为（ ） （A） 20 （B） 24 （C） 28 （D）32 【答案】C 3.【2016 年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D.1 【答案】A 【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥 P ABC ，其体积 1 1 11 1 13 2 6V       ，故选 A. 4.【2016 高考新课标 3 理数】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的 三视图，则该多面体的表面积为（ ） （A）18 36 5 （B）54 18 5 （C）90 （D）81 【答案】B 5.【2016 高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 （ ） （A） 1 2 3 3  π （B） 1 2 3 3  π （C） 1 2 3 6  π （D） 21 6  π 【答案】C 1．(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几 何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为 16＋20π，则 r＝( ) A．1 B．2 C．4 D．8 解析 由题意知，2r·2r＋1 2 ·2πr·2r＋1 2 πr2＋1 2 πr2＋1 2 ·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得 r＝ 2. 答案 B 2．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3. 解析 由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为 1，圆锥的高为 1，圆柱 的高为 2，所以该几何体的体积 V＝2×1 3 π×12×1＋π×12×2＝8 3 π m3. 答案 8 3 π 3．(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB＝90°，C 为该球面上的动点，若 三棱锥 O－ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A．36π B．64π C．144π D．256π 答案 C 4．(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A.1 8 B.1 7 C.1 6 D.1 5 5．(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长 方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝ 新工件的体积 原工件的体积 )( ) A. 8 9π B. 16 9π C.4（ 2－1）3 π D.12（ 2－1）3 π 解析 易知原工件为一圆锥，V1＝1 3 πr2h＝2 3 π，设内接长方体长、宽、高为 a、b、c，欲令体积最大， 则 a＝b.由截面图的相似关系知，c＋ a2＋b2＝2，即 c＋ 2a＝2， ∴V 长方体＝abc＝a2c＝a2(2－ 2a)， 设 g(a)＝2a2－ 2a3，则 g′(a)＝4a－3 2a＝0，令 g′(a)＝0，解得 a＝ 4 3 2 ，所以令 a＝ 4 3 2 时，V 长 方体最大为16 27 ， ∴V 长方体 V1 ＝ 16 27 2π 3 ＝ 8 9π .故选 A. 答案 A 1. 【2014 高考安徽卷理第 7 题】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ） A.21+ 3 B.18+ 3 C.21 D.18 【答案】A 【考点定位】多面体的三视图、表面积. 2. 【2014 高考福建卷第 2 题】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ） .A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱 【答案】A 【解析】由于圆柱的三视图不可能是三角形所以选 A. 【考点定位】三视图. 3. 【2014 高考广东卷理第 7 题】若空间中四条直线两两不同的直线 1l 、 2l 、 3l 、 4l ，满足 1 2l l ， 2 3//l l ， 3 4l l ，则下列结论一定正确的是（ ） A. 1 4l l B. 1 4//l l C. 1l 、 4l 既不平行也不垂直 D. 1l 、 4l 的位置关系不 确定 【答案】D 1 4//l l ；取 AD 为 1l ， AB 为 4l ，则 1 4l l ；取 AD 为 1l ， 1 1A B 为 4l ，则 1l 与 4l 异面，因此 1l 、 4l 的位置 关系不确定，故选 D. 【考点定位】空间中直线的位置关系 4. 【2014 高考湖南卷第 7 题】一块石材表示的几何体的三视图如 图 2 所示，将该石材切削、打磨、 加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【考点定位】三视图 内切圆 球 三棱柱