2019-2020学年甘肃省酒泉市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年甘肃省酒泉市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年甘肃省酒泉市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】确定集合，由集合运算的定义求解．‎ ‎【详解】‎ 因为集合，所以，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，属于基础题．‎ ‎2．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】使解析式有意义，因此必须有且．‎ ‎【详解】‎ 由，得，即，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值范围．‎ ‎3．若直线与平行，则的值为（ ）‎ A．1 B．-1 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由两直线平行的充要条件计算．‎ ‎【详解】‎ 因为直线与平行，所以，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两直线平行的充要条件．两直线平行，是必要条件，不是充要条件，仅由求出参数值，一般要代入直线方程检验是否平行．‎ ‎4．函数的零点所在的区间是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数单调递增和,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 是单调递增函数,且,,‎ 所以的零点所在的区间为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了零点所在的区间，意在考查学生对于零点存在定理的应用.‎ ‎5．已知,,,则的边上的中线所在的直线方程为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】计算得到，，再计算直线方程得到答案.‎ ‎【详解】‎ 的中点为,,‎ ‎∴边上的中线所在的直线方程为,即.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎6．若直线被圆截得的弦长为,则( )‎ A． B．5 C．10 D．25‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆的圆心坐标为,半径，根据弦长得到，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心坐标为,半径,直线被圆截得的弦长为,‎ 可得圆心到直线的距离为,则.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7．若实数，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】与中间值 0和1比较后可得．‎ ‎【详解】‎ 因为对数函数是单调递减的，所以，同理，，所以，而，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值0，1等比较后得出结论．‎ ‎8．已知圆柱的底面圆的面积为，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆柱轴截面的对角线是球的直径，由此可求得球半径．‎ ‎【详解】‎ 因为圆柱的底面圆的面积为，所以圆柱的底面圆的半径为，又因为圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，所以该球的半径，则该球的表面积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查球与内接圆柱的关系，可通过作圆柱的轴截面与球联系，圆柱的轴截面矩形的外接圆是球的大圆．‎ ‎9．函数的部分图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】可判断为奇函数，图像关于原点对称，排除选项，再判断当时，函数值的正负，即可求得结论.‎ ‎【详解】‎ 因为是定义在上的奇函数，所以排除A，B；‎ 当时，；当时，，排除D.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图像的识别，考查函数的对称性和函数值符号判断，属于基础题.‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图可知，直观图是由半个球与一个圆锥拼接，即可求出表面积．‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，该几何体由半个球与一个圆锥拼接而成，所以该几何体的表面积.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查三视图，考查表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎11．已知,,点是圆:上的动点,则的最小值为( )‎ A．9 B．14‎ C．18 D．26‎ ‎【答案】D ‎【解析】设为坐标原点，，化简得到，再计算 得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设为坐标原点,,‎ 则,‎ 又,所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆相关的最值问题，变换是解题的关键.‎ ‎12．设,,分别是方程,,的实根,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将方程有实根转化为两函数有交点,利用图像判断交点的位置,进而判断选项 ‎【详解】‎ 由题,对于,由与的图像,如图所示,‎ 可得；‎ 对于,由与的图像,如图所示,‎ 可得；‎ 对于,由与的图像,如图所示,‎ 可得或 故 ‎【点睛】‎ 本题考查零点的分布,考查转化思想与数形结合思想 二、填空题 ‎13．已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出圆心坐标和半径可得．‎ ‎【详解】‎ 因为圆心的坐标为，，所以该圆的标准方程为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求圆的标准方程，属于基础题．‎ ‎14．已知函数是幂函数，则______.‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】根据幂函数定义求出参数．‎ ‎【详解】‎ 因为是幂函数，所以，解得，即，所以.‎ 故答案为：27.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的概念，属于基础题．‎ ‎15．已知圆：与圆：，则两圆的公共弦所在的直线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．‎ ‎【详解】‎ 将圆：化为，‎ 联立两圆方程两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两圆相交，求公共弦所在直线方程．不需要求出交点坐标，只要两圆方程相减即得．‎ ‎16．如图，在中，，，分别为，边上的中点，且，‎ ‎.现将沿折起，使得到达的位置，且，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于折叠过程中与和的垂直关系保持不变，因此可得平面，结合平行的性质可得，然后在直角三角形中可求得.‎ ‎【详解】‎ 易知，，，所以平面，因为，，所以.又，所以平面，所以，从而.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间图形折叠问题，考查线面垂直的判定定理和性质定理．属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合或,.‎ ‎(1)当时,求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或;(2).‎ ‎【解析】（1）计算，或，再计算得到答案.‎ ‎（2）根据得到，故或，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为,所以,即,‎ 当时,或,所以或.‎ ‎(2)因为,所以, ,‎ 则或,即或,‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集的计算，根据包含关系求参数，意在考查学生对于集合知识的综合应用.‎ ‎18．已知直线的方程为，与垂直且过点.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）若直线经过与的交点，且垂直于轴，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由垂直求出直线斜率，写出点斜式方程后化简即可．‎ ‎（2）求出直线与的交点坐标可得方程．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由与垂直，则可设：，‎ ‎∵过，∴，‎ 解得，∴：.‎ ‎（2）联立与，可得与的交点坐标为，‎ 又垂直于轴，则直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件．属于基础题．‎ ‎19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若是上的单调函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；‎ ‎（2）由分段函数解析式知，函数在上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即时要是增函数，且端点处函数值不小于0.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，‎ 当时，，则，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（2）若是上的单调函数，且，‎ 则实数满足，‎ 解得，‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．‎ ‎20．已知圆的圆心在轴正半轴上，且圆与轴相切，点在圆上.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若直线：与圆交于，两点，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）设出圆心坐标为，得圆标准方程，利用在圆上求出参数；‎ ‎（2）求出圆心到直线的距离，然后通过勾股定理列式求得．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设圆心，则圆的方程可设为.‎ 因为点在圆上，所以，解得.‎ 故圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）可知圆的圆心，半径.‎ 因为，所以圆心到直线的距离，‎ 即，解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆相交弦长问题．圆的弦长可通过圆心到直线的距离，圆的半径由勾股定理求得：弦长（为弦心距）．‎ ‎21．如图，在三棱锥中，，，，，平面，过作于，过作于，连接.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：.‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由平面，得，从而得平面，即得，于是有平面，从而，得出平面.最后得证线线垂直；‎ ‎（2）由（1）得是三棱锥的高，求出高和底面面积即可得体积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为平面，所以.‎ 又，，‎ 所以平面，‎ 所以，‎ 又，，‎ 所以平面，从而.‎ 又，，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ ‎（2）解：由（1）知是三棱锥的高，所以.‎ 由已知，‎ 又，‎ ‎，‎ 由（1）知平面，则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证明线线垂直，考查求三棱锥体积．在证线线垂直时用的是线面垂直的性质定理，而要证线面垂直就要证线线垂直，本题利用线面垂直判定定理和性质定理进行线线垂直与线面垂直的多次转换，务必注意．‎ ‎22．已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎(1)证明:在上单调递增；‎ ‎(2)函数，如果总存在，对任意都成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）用增函数定义证明；‎ ‎（2）分别求出和的最大值，由的最大值不小于的最大值可得的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，‎ 则 ‎，‎ ‎∵，∴，，∴，即，‎ ‎∴在上单调递增；‎ ‎（2）总存在，对任意都成立，即，‎ 的最大值为，‎ 是偶函数，在是增函数，∴当时，，‎ ‎∴，整理得，，‎ ‎∵，∴，即，∴，∴．即的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题．单调性的证明只能按照定义的要求进行证明．而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为，‎ 如果把量词改为：对任意，总存在，使得成立，则等价于，‎ 如果把量词改为：对任意，任意，使得恒成立，则等价于，‎ 如果把量词改为：存在，存在，使得成立，则等价于.（的范围均由题设确定）．‎