2018-2019学年湖南省株洲市醴陵四中高一下学期期末考试数学试卷

2018-2019学年湖南省株洲市醴陵四中高一下学期期末考试数学试卷

湖南省株洲市醴陵四中2018-2019学年高一下学期期末考试数学试卷 总分：150分 时量：120分钟 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．直线x－＝0的倾斜角是( )‎ A．45°　　　　　　　　　B．60°　　　　　　　　　‎ C．90°　　　　　　　　　D．不存在 ‎2．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )‎ A．－3或4 B．－6或2‎ C．3或－4 D．6或－2‎ ‎3．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－2x－6y－6＝0的位置关系是( )‎ A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 ‎4．在同一个直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )‎ ‎　　　　‎ ‎5．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图1所示的几何体，则它的俯视图是( )‎ ‎6．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2y－2＝0相切，则实数m＝( )‎ A.或－ B．－或3 C．－3或 D．－3或3 ‎7、已知m是平面α的一条斜线,点A ∉α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形中可能出现的是( )‎ A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α ‎8．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，若l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1，则m，n的值分别为( )‎ A．2，7 B．0，8‎ C．－1，2 D．0，－8‎ ‎9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高‎8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为‎6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )‎ A. cm3 B. cm3‎ C. cm3 D. cm3‎ ‎10．设α、β是两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若平面α内的直线l垂直于平面β内的任意直线，则α⊥β；‎ ‎②若平面α内的任一直线都平行于平面β，则α∥β；‎ ‎③若平面α垂直于平面β，直线l在平面α内，则l⊥β；‎ ‎④若平面α平行于平面β，直线l在平面α内，则l∥β.‎ 其中正确命题的个数是(( )‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎11 . 一个四面体如图所示，若该四面体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则它的体积V＝( )‎ ‎ ‎ A. ‎ ‎ B. C. D. ‎12．过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )‎ A. B．－ C．± D．－ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)‎ ‎13．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β(不包括△ABC所在平面)的位置关系是________．‎ ‎14．设m > 0，则直线(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为________．‎ ‎15．两条平行线2x＋3y－5＝0和x＋y＝1间的距离是________．‎ ‎16．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 ‎____________.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知直线l过点A(1，2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程．‎ ‎18．(本小题满分12分)右下图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．‎ ‎．19．(本小题满分12分)已知，正三棱柱ABC- A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．‎ 求证：AB1⊥平面A1BD.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，‎ QB分别切⊙M于A，B两点．‎ ‎(1)若|AB|＝，求|MQ|及直线MQ的方程；‎ ‎(2)求证：直线AB恒过定点．‎ ‎21．(本小题满分12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．‎ ‎(1)求证：GF∥平面ABC；‎ ‎(2)求BD与平面EBC所成角的大小；‎ ‎(3)求几何体EFBC的体积．‎ ‎22.(12分)已知圆C过坐标原点O,且与x轴、y轴分别交于点A,B,圆心坐标C (t∈R,t≠0).‎ ‎(1)求证:△AOB的面积为定值;‎ ‎(2)直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;‎ ‎(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.‎ 答案 总分：150分 时量：120分钟 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．直线x－＝0的倾斜角是(C)‎ A．45°　　　　　　　　　B．60°　　　　　　　　　‎ C．90°　　　　　　　　　D．不存在 ‎2．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(D)‎ A．－3或4 B．－6或2‎ C．3或－4 D．6或－2‎ ‎3．圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－2x－6y－6＝0的位置关系是(D)‎ A．相交 B．相离 C．外切 D．内切 ‎4．在同一个直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(C)‎ ‎　　　　‎ ‎5．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图1所示的几何体，则它的俯视图是(B)‎ ‎6．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2y－2＝0相切，则实数m＝(B)‎ A.或－ B．－或3 C．－3或 D．－3或3 ‎7.已知m是平面α的一条斜线,点A ∉α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形中可能出现的是( C　　)‎ A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α D.l∥m,l∥α ‎8．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，若l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1，则m，n的值分别为(B)‎ A．2，7 B．0，8‎ C．－1，2 D．0，－8‎ ‎9．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高‎8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为‎6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(A)‎ A. cm3 B. cm3‎ C. cm3 D. cm3‎ ‎10．设α、β是两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若平面α内的直线l垂直于平面β内的任意直线，则α⊥β；‎ ‎②若平面α内的任一直线都平行于平面β，则α∥β；‎ ‎③若平面α垂直于平面β，直线l在平面α内，则l⊥β；‎ ‎④若平面α平行于平面β，直线l在平面α内，则l∥β.‎ 其中正确命题的个数是(B)‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解析：①②④正确，③错，故选B.‎ ‎11. 一个四面体如图所示，若该四面体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则它的体积V＝(C)‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎12．过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　B　)‎ A. B．－ C．± D．－ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)‎ ‎13．若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β(不包括△ABC所在平面)的位置关系是________．‎ 答案：平行 ‎14．设m>0，则直线(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为________．‎ 解析：圆心到直线的距离为d＝，圆的半径为r＝，‎ ‎∵d－r＝－＝(m－2＋1)＝(－1)2≥0，‎ ‎∴直线与圆的位置关系是相切或相离．‎ 答案：相切或相离 ‎15．两条平行线2x＋3y－5＝0和x＋y＝1间的距离是________．‎ 答案： ‎16．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 ‎___________．‎ 答案：4‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知直线l过点A(1，2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程．‎ 解析：解法一　设l：y－2＝k(x－1)(k<0)，‎ 令x＝0，y＝2－k.令y＝0，x＝1－，‎ S＝(2－k)＝4，‎ 即k2＋4k＋4＝0.‎ ‎∴k＝－2，‎ ‎∴l：y－2＝－2(x－1)，‎ 即l：2x＋y－4＝0.‎ 解法二　设l：＋＝1(a>0，b>0)，‎ 则 a2－‎4a＋4＝0⇒a＝2，∴b＝4.‎ 直线l：＋＝1.‎ ‎∴l：2x＋y－4＝0.‎ ‎18．(本小题满分12分)右下图是某几何体的三视图，请你指出这个几何体的结构特征，并求出它的表面积与体积．‎ 解析：此几何体是一个组合体，下半部是长方体，上半部是半圆柱，其轴截面的大小与长方体的上底面大小一致．‎ 表面积为S.则 S＝32＋96＋48＋4π＋16π＝176＋20π，‎ 体积为V，则 V＝192＋16π，‎ 所以几何体的表面积为176＋20π(cm2)，体积为192＋16π(cm3)．‎ ‎19．(本小题满分12分)已知，正三棱柱ABCA1B‎1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．‎ 求证：AB1⊥平面A1BD.‎ 证明：如图，取BC中点O，连接AO.‎ ‎∵△ABC为正三角形，‎ ‎∴AO⊥BC.‎ ‎∵正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，‎ ‎∴AO⊥平面BCC1B1.‎ 连接B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，‎ ‎∴B1O⊥BD，‎ ‎∴AB1⊥BD.‎ 又∵在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，BD∩A1B＝B，‎ ‎∴AB1⊥平面A1BD.‎ ‎21．(本小题满分12分)已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．‎ ‎(1)若|AB|＝，求|MQ|及直线MQ的方程；‎ ‎(2)求证：直线AB恒过定点．‎ 解：(1)设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝，‎ 又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，‎ 得|MP|＝＝.(2分)‎ 又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3.(4分)‎ 设Q(x,0)，而点M(0,2)，由＝3，得x＝±，‎ 则Q点的坐标为(，0)或(－，0)．(6分)‎ 从而直线MQ的方程为2x＋y－2＝0或2x－y＋2＝0.(8分)‎ ‎(2)设点Q(q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以MQ为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点.(12分)‎ ‎21．(本小题满分12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．‎ ‎(1)求证：GF∥平面ABC；‎ ‎(2)求BD与平面EBC所成角的大小；‎ ‎(3)求几何体EFBC的体积．‎ ‎(1)证明：如图 连接EA交BD于F，‎ ‎∵F是正方形ABED对角线BD的中点，‎ ‎∴F是EA的中点，‎ ‎∴FG∥AC.‎ 又FG⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，‎ ‎∴FG∥平面ABC.‎ ‎(2)解析：‎ ‎ ‎ ‎∵平面ABED⊥平面ABC，‎ BE⊥AB，∴BE⊥平面ABC.‎ ‎∴BE⊥AC.‎ 又∵AC＝BC＝AB，‎ ‎∴BC⊥AC，‎ 又∵BE∩BC＝B，‎ ‎∴AC⊥平面EBC.‎ 由(1)知，FG∥AC，‎ ‎∴FG⊥平面EBC，‎ ‎∴∠FBG就是线BD与平面EBC所成的角．‎ 又BF＝BD＝，FG＝AC＝，sin ∠FBG＝＝.‎ ‎∴∠FBG＝30°.‎ ‎(3)解析：VEFBC＝VFEBC＝S△EBC·FG＝··a···＝.‎ ‎22.(12分)已知圆C过坐标原点O,且与x轴、y轴分别交于点A,B,圆心坐标C(t∈R,t≠0).‎ ‎(1)求证:△AOB的面积为定值;‎ ‎(2)直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;‎ ‎(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.‎ ‎(1)证明:由题设知,圆C的方程为 ‎(x-t)2+=t2+,‎ 化简得x2-2tx+y2-y=0.‎ 当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);‎ 当x=0时,y=0或,则B,‎ ‎∴S△AOB=|OA|·|OB|=|2t|·=4为定值.‎ ‎(2)解:∵|OM|=|ON|,则原点O在MN的中垂线上.‎ 设MN的中点为H,则CH⊥MN,‎ ‎∴C,H,O三点共线,‎ 则直线OC的斜率k=,∴t=2或t=-2,‎ ‎∴圆心为C(2,1)或C(-2,-1),‎ ‎∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5.‎ 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去,‎ ‎∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.‎ ‎(3)解:点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B'(-4,-2),‎ 则|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|.‎ 又B'到圆上点Q的最短距离为 ‎|B'C|-r==3=2,‎ ‎∴|PB|+|PQ|的最小值为2,直线B'C的方程为y=x,‎ 则直线B'C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为.‎