2020届二轮复习(文)导数的简单应用作业
专题限时集训(十三) 导数的简单应用
[专题通关练]
(建议用时：30分钟)
1．已知函数f(x)的导函数f′(x)满足下列条件：
①f′(x)>0时，x<－1或x>2；
②f′(x)<0时，－1
0，x＝－ln a，代入曲线方程得y＝1－ln a，所以切线方程为y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1⇒a＝1.]
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为( )
A．(－3,3) B．(－11,4)
C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)
C [f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得即消去b可得a2－a－12＝0，解得a＝－3或a＝4，故或当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.]
4．已知f(x)＝x2＋ax＋3ln x在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－2] B.
C．[－2，＋∞) D．[－5，＋∞)
C [由题意得f′(x)＝2x＋a＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g(x)＝2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a2－24≤0或⇔－2≤a≤2或⇔a≥－2，故选C.]
5．(2019·重庆七校联考)函数f(x)(x>0)的导函数为f′(x)，若xf′(x)＋f(x)＝ex，且f(1)＝e，则( )
A．f(x)的最小值为e
B．f(x)的最大值为e
C．f(x)的最小值为
D．f(x)的最大值为
A [设g(x)＝xf(x)－ex，
则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)－ex＝0，
所以g(x)＝xf(x)－ex为常数函数．
因为g(1)＝1×f(1)－e＝0，
所以g(x)＝xf(x)－ex＝g(1)＝0，
所以f(x)＝，f′(x)＝，
当01时，f′(x)>0，
所以f(x)≥f(1)＝e.]
6．(2019·西安八校联考)已知曲线f(x)＝ex＋x2，则曲线在(0，f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为________．
[由题意，得f′(x)＝ex＋2x，所以f′(0)＝1.
又f(0)＝1，所以曲线在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，所以该切线与x，y轴的交点分别为(－1,0)，(0,1)，
所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为×1×1＝.]
7．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
(－3，－1)∪(1,3) [f′(x)＝3x2－12，由f′(x)>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由f′(x)<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1<－20，
①当a≤0时，显然f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a>0时，令f′(x)＝＝0，
则－2ax2＋x＋1＝0，易知其判别式为正，
设方程的两根分别为x1，x2(x10.
令f′(x)>0，得x∈(0，x2)，令f′(x)<0得x∈(x2，＋∞)，其中x2＝，∴函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
10．设函数f(x)＝ln x－2mx2－n(m，n∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有最大值－ln 2，求m＋n的最小值．
[解] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－4mx＝，
当m≤0时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当m>0时，令f′(x)>0，得0，
∴f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
(2)由(1)知，当m≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最大值．
当m>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
∴f(x)max＝f＝ln －2m·－n＝－ln 2－ln m－－n＝－ln 2，
∴n＝－ln m－，
∴m＋n＝m－ln m－.
令h(x)＝x－ln x－(x>0)，
则h′(x)＝1－＝，
由h′(x)<0，得00，得x>，
∴h(x)在上单调递减，
在上单调递增，
∴h(x)min＝h＝ln 2，
∴m＋n的最小值为ln 2.
题号
内容
押题依据
1
导数的几何意义
本题看似是求两点间距离的最小值，实质是考查导数与切线方程的灵活应用，考查学生的逻辑推理和数学运算核心素养
2
利用导数研究函数的最值
导数是高考的热点，年年都考，借助导数研究函数的极值与最值问题，主要考查分类讨论思想、等价转化思想、函数与方程思想等，本题以函数的最值为载体，考查考生逻辑推理和数学运算的核心素养，体现分类讨论思想，从浅入深，层层递进
【押题1】 设点P，Q分别是曲线y＝xe－x(e是自然对数的底数)和直线y＝x＋6上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为________．
3 [y′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.令(1－x)e－x＝1，则ex＝1－x，ex＋x－1＝0.令h(x)＝ex＋x－1，易得h(x)是增函数，且h(0)＝0，则方程ex＋x－1＝0有且只有一解x＝0，易求得过曲线y＝xe－x上点(0,0)的切线方程为y＝x，由题意可得，P，Q两点间距离d的最小值即两平行直线x－y＝0和x－y＋6＝0间的距离，所以最小值为dmin＝＝3.]
【押题2】 已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R)．
(1)当a＝－1，b＝3时，求函数f(x)在上的最大值和最小值；
(2)当a＝0时，是否存在正实数b，使当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数f(x)的最小值是3？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)当a＝－1，b＝3时，f(x)＝－x2＋3x－ln x，且x∈，则f′(x)＝－2x＋3－＝－＝－.
令f′(x)>0，得，即0<0，得
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