2019届二轮复习椭圆方程多结合其几何性质考查学案（全国通用）

2019届二轮复习椭圆方程多结合其几何性质考查学案（全国通用）

考纲要求:‎ ‎1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．　2.了解椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想．‎ 基础知识回顾:‎ 一、椭圆的定义 二、椭圆的标准方程和几何性质 学, , ]‎ 三、直线与椭圆的位置关系 ‎1．位置关系的判断 直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ，‎ ‎(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．‎ ‎2．弦长公式 ‎(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.‎ ‎(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.‎ 应用举例:‎ 类型一、椭圆定义的应用 ‎【例1】【清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2018年11月测试（一卷） 】设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为（ ）‎ A． 18，24 B． 16，22 C． 24，28 D． 20，26‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆心恰好是椭圆的两个焦点，由圆心的距离及椭圆的定义即可求得最大值与最小值。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的定义及性质的简单应用，圆中最大值与最小值的求法，属于中档题。‎ ‎【例2】已知椭圆，分别为其左、右焦点，椭圆上一点到的距离是2，是 的中点，则的长为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆定义，考查基本求解能力. 属于基础题.‎ 类型二、椭圆标准方程的求法 ‎【例3】【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三上学期期中考试】已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的标准方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】 学 ‎ 根据直线的倾斜角及，结合垂径定理可求得b的值，进而求得a，易得椭圆的标准方程。‎ ‎【详解】‎ 作OM垂直直线，交于点M。则 ‎ 因为直线倾斜角为30°，且 ‎ 所以，代入得 ‎，所以 ‎ 因而 ‎ 椭圆的标准方程为 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆标准方程的求法，注意平面几何知识的简单应用，属于基础题。‎ 类型三、椭圆的焦点三角形问题 ‎【例4】【2018届高三数学训练题(63 )】设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为(　　)‎ A． 30 B． 25‎ C． 24 D． 40‎ ‎【答案】C ‎【例5】【黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学选修2-1同步练习】设椭圆C:的左、右焦点分别为F1,F2,A是C上任意一点,则△AF1F2的周长为( )‎ A． 9 B． 13 C． 15 D． 18‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的方程求出的值, 计算的值，而的周长，利用椭圆的定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆C:知, ，‎ 则的周长为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的定义与简单性质，意在考查对基本概念与基本性质掌握的熟练程度，属于简单题.‎ 类型四、椭圆的离心率问题 ‎【例6】【华大新高考联盟2018届高三4月教学质量检测】设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B 点睛：本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和三角形的内切圆的半径的求法，以及正弦定理，余弦定理的应用，考查化简整理的运算能力，是中档题．‎ ‎【例7】【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）】已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意可得为等腰直角三角形，设，运用椭圆的定义可得，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率.‎ 详解：由且，可得为等腰直角三角形，‎ 设，即有，则,‎ 在直角三角形中，可得，‎ 化为，可得，故选D.‎ 点睛：本题考查椭圆的定义、标准方程和几何性质的应用，及椭圆的离心率的求解，其中解答中运用椭圆的定义，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理列出方程是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.‎ ‎【例8】【2018年普通高等学校招生全国统一考试高三模拟研卷卷四】设分别是椭圆 的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若的面积是的三倍，，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设，由题意结合椭圆的定义和余弦定理可得是等腰直角三角形，则椭圆的离心率.‎ ‎，，，‎ ‎，是等腰直角三角形.‎ ‎，椭圆的离心率.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 类型五、直线与椭圆的位置关系 ‎【例9】【广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试】设椭圆，右顶点是，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎（1）右顶点是，离心率为，‎ 所以，∴，则，‎ ‎∴椭圆的标准方程为. 学 ]‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，设，‎ 与椭圆方程联立得：，，‎ 设直线与轴交于点，，即，‎ ‎∴或 (舍），‎ ‎∴直线过定点；‎ ‎，则，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴或，‎ ‎∴直线或，‎ ‎∴直线过定点或舍去；‎ 综上知直线过定点.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中定点问题的常见解法 ‎（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎ 类型六、与椭圆有关的最值问题 ‎【例10】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆上一点处的切线交椭圆于两不同点，求弦长的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据通径和离心率及椭圆中的关系，可求得椭圆的标准方程。 学 ]‎ ‎（Ⅱ）讨论当斜率是否存在。当斜率不存在时，易得切线方程和切点坐标，进而得到的值。当斜率存在时，设出直线方程，根据直线与圆相切，得到；联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式表示出，再用换元法及函数单调性判断的最值。‎ ‎（Ⅱ）依题意，圆上的切点不能为，‎ ‎①当直线的斜率不存在时，其方程为，此时两点的坐标为，所以.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切，得，‎ 即，设，‎ 联立得，，，‎ 所以 ‎ ‎ 所以，令，则，，‎ ‎，越大，越大，所以，即.‎ 综合①②知，弦长的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆锥曲线方程的求法，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，计算量大，而且需要结合各种数学方法，综合性强，属于难题。‎ ‎【例11】【山东省潍坊市青州市2018届高三第三次高考模拟考试】设椭圆的右焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）若上存在两点，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形的面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎（2）（i）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，‎ 此时，，‎ ‎（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，‎ 得，‎ 设的横坐标分别为，‎ 则，∴，‎ 由可得直线的方程为，联立椭圆的方程，消去，‎ 得 设的横坐标为，则 ‎ ‎∴ ‎ ‎，令，‎ 则 ，‎ 综上 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方法：‎ ‎(1)求出a，c代入公式e＝；‎ ‎(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎2、利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，常用到结论有：(其中，θ＝∠F1PF2)‎ ‎(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ；(3)当P为短轴端点时，θ最大．‎ ‎(4)S＝|PF1 PF2|sin θ＝·b2＝b2tan ＝c·|y0|.‎ 当y0＝±b，即P为短轴端点时，S△PF1F2有最大值为bc.‎ ‎(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).‎ 实战演练:‎ ‎1．【腾远2018年普通高等学校招生全国统一考试】已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于两点.若椭圆上存在一点，满足（其中点为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A 所以直线的方程为，联立，解得，‎ 又因为，所以,‎ 所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选A.‎ 点睛：本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．‎ ‎2．【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，‎ 为等腰三角形，，则的离心率为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎3．【山东省济南省2018届高三第二次模拟考试】设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用椭圆定义的周长为，结合三点共线时，的最小值为，再利用对称性，可得椭圆的离心率.‎ 详解：‎ 的周长为 ‎，‎ ‎∴‎ 故选：A 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎4．【山东省烟台市2018年春季高考第一次模拟考试】设、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，且，，则椭圆的短轴长为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A 点睛：本题主要考查了椭圆的几何性质，其中熟记椭圆的定义是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．‎ ‎5．【黑龙江省齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟】已知椭圆 的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D 又，‎ ‎∴‎ ‎∴．即的取值范围为．选D．‎ ‎6．【江西省新余市2018届高三第二次模拟考试】已知椭圆，，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足，的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，‎ 由，可得G为的重心，‎ 即有G点坐标为，‎ 由，可得IG∥x轴，‎ 即有I的纵坐标为，‎ 在中，，‎ 则．‎ 因为I为的内心，故有I的纵坐标即为内切圆半径，‎ 所以，‎ 故，‎ 即，‎ 整理得，‎ 故椭圆C的离心率．选B．‎ 点睛：‎ ‎（1）本题中的向量条件较多，解题时要根据所给的向量式得到相应的位置和数量关系，如在本题中得到点G为三角形的重心是解题的关键，并由此得到内心的纵坐标，然后利用面积的两种不同表现方式得到2c=a，从而得到离心率．‎ ‎（2）求椭圆的离心率或其范围时，将提供的条件中的几何关系转化为关于椭圆的基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式可得所求．‎ ‎7．【安徽省亳州市二中2017届高三下学期教学质量检测】已知椭圆的左、右焦点分别为过作一条直线（不与轴垂直）与椭圆交于两点，如果恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设，则， ，于是 ‎，又，所以，所以， ，因此， ，直线斜率为，由对称性，还有一条直线斜率为，故选C．‎ ‎8．【广东省韶关市2017届高三4月高考模拟测试】在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点,在轴上,离心率为,点为椭圆上一点,且的周长为12,那么的方程为 ‎( ) 学 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎9．【安徽省皖西高中教学联盟2018届三上学期期末质量检测】设离心率为的椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，则椭圆方程为（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意得，双曲线的方程，可知，‎ ‎ 又椭圆的离心率为，即，所以，‎ ‎ 则，所以，故选D.‎ ‎10．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎11．【河南省安阳市2018届高三第二次模拟考试】已知椭圆（）的上顶点与抛物线（）的焦点重合.‎ ‎（1）设椭圆和抛物线交于，两点，若，求椭圆的方程；‎ ‎（2）设抛物线上一点，若抛物线在点处的切线恰与椭圆也相切，求椭圆的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）易知，则抛物线的方程为，则椭圆过点，代入得椭圆方程为；（2），所以切线方程为，联立椭圆方程，解得椭圆的方程为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）易知，则抛物线的方程为 由及图形的对称性，不妨设，‎ 代入，得，则.‎ 将之代入椭圆方程得，得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎12．【甘肃省天水市第一中学2017-2018学年度下学期高三第二次模拟】已知椭圆经过点，椭圆的一个焦点为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线过点且与椭圆交于两点.求的最大值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)由椭圆定义可知 ，又 从而得到椭圆方程；(2) 当直线的斜率存在时，设.由得.由根与系数关系可得：，整体换元转化为二次函数的最值问题.‎ 试题解析：‎ ‎(1)依题意，设椭圆的左，右焦点分别为.‎ 则椭圆的方程为.‎ ‎.‎ 设,则.‎ 当直线的斜率不存在时，，‎ ‎∴的最大值 点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.‎ ‎13．【广东省湛江市2019届高三调研测试题】已知椭圆：（）的离心率，且右焦点为．斜率为的直线与椭圆交于、两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由椭圆的离心率为，右焦点为，结合，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）设 ‎，代入椭圆方程，得，根据韦达定理中点的坐标，根据斜率可求得，进而能求出的面积．‎ 设、，中点为， ‎ 则， ‎ 因为是等腰的底边，所以． ‎ 所以的斜率为，解得，‎ 此时方程①为． ‎ 解得，，所以，，所以，‎ 此时，点到直线：的距离 ‎， ‎ 所以的面积．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，具体涉及到椭圆的简单性质、直线和椭圆的位置关系、根与系数的关系、根的判别式、中垂线方程的求法、弦长公式等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的灵活运用．‎ ‎14．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试】已知椭圆的中心在原点，直线与坐标轴的交点是椭圆的两个顶点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若是椭圆上的两点，且满足，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为与轴交点为，与轴交点为，‎ 又直线与坐标轴交点为椭圆的顶点，即可求得a,b,进而得到椭圆的方程；‎ ‎（2）由题意知M、N是椭圆上的两点，且OM⊥ON，故设M（r1cosθ，r1sinθ），N（-r2sinθ，r2cosθ），由题设条件能够推出|MN|的最小值为．‎ ‎（2）由题意知是椭圆上的两点，且，故设，‎ ‎，其中，，‎ 于是，，‎ 从而.‎ 又（当且仅当时取等号）‎ 所以，即，.‎ 故所求的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎15．【贵州省遵义航天高级中学2018届高三上学期第四次模拟考试】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆C上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求以为圆心与直线l相切的圆的方程．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先设出椭圆的方程，根据题中的条件，得到椭圆的焦点坐标，根据椭圆的定义，结合椭圆过的一个点，求得的值，根据椭圆中的关系，求得椭圆的方程；‎ ‎（2）首先设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据根与系数之间的关系，结合三角形面积公式求得直线的方程，之后应用圆与直线相切，求得圆的半径，最后求得圆的方程. 学 ]‎ ‎（2）设代入，得 ‎∴，∴，‎ ‎∴‎ 所以，故所求直线方程为，‎ 而到直线的距离为，‎ 所以圆的方程为：.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，直线与圆的位置关系，圆的方程的求解，正确应用公式是解题的关键.‎