【数学】2020届一轮复习人教版（理）第2章第4讲二次函数与幂函数作业
A组 基础关
1．幂函数y＝xm2－4m(m∈Z)的图象如图所示，则m的值可以为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由图象知，m2－4m<0且m2－4m为偶数，结合四个选项可知，m＝2.
2．已知α∈，若f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数α的值是( )
A．－1,3 B.，3
C．－1，，3 D.，，3
答案 B
解析 因为f(x)＝xα为奇函数，所以α∈.因为f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，所以α∈，综上知α的值是，3.
3．(2018·郑州模拟)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案 D
解析 由A中图象知，a<0，c<0，－<0，所以b<0，与abc>0矛盾；
由B中图象知，a<0，c>0，－>0，所以b>0，与abc>0矛盾；
由C中图象知，a>0，c<0，－<0，所以b>0，与abc>0矛盾；
由D中图象知，a>0，c<0，－>0，所以b<0，abc>0成立．
4．(2018·安阳模拟)下列选项正确的是( )
A．0.20.2>0.30.2 B．2<3
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3>0.93.1
答案 D
解析 y＝x0.2在(0，＋∞)上为增函数，且0.2<0.3，所以0.20.2<0.30.2，故A错误；
y＝x在(0，＋∞)上为减函数，且2<3，所以2>3，故B错误；
因为0.8－0.1＝1.250.1<1.250.2，故C错误；
因为1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1，故D正确．
5．(2018·福建三明一中模拟)已知函数f(x)＝(x－1)·(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则f(3－x)<0的解集为( )
A．(2,4) B．(－∞，2)∪(4，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 B
解析 因为函数f(x)＝(x－1)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，又因为f(1)＝0，
所以由f(3－x)<0得f(|3－x|)
1，解得x>4或x<2，
所以f(3－x)<0的解集为(－∞，2)∪(4，＋∞)．
6．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，
∴解得a>.
7．已知二次函数f(x)＝2ax2－ax＋1(a<0)，若x1f(x2)
C．f(x1)0，
∴x2－<－x1，∴f(x1)0时，图象开口向上，
所以当x＝2时取得最大值，即f(2)＝4a＋4a＋1＝4，
解得a＝；
当a<0时，图象开口向下，
所以当x＝－1时取得最大值，即f(－1)＝a－2a＋1＝4，解得a＝－3.
B组 能力关
1．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
答案 A
解析 令f(x)＝x2－4x－2－a，则函数的图象为开口向上且以直线x＝2为对称轴的抛物线，故在区间(1,4)上，f(x)0在区间(1,4)内有解，则－2－a>0，解得a<－2.
2．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示)．若对应的两条曲线关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4 cm，最低点C在x轴上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm，则右轮廓线DFE所在的二次函数的解析式为( )
A．y＝(x＋3)2 B．y＝(x－3)2
C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2
答案 D
解析 ∵高CH＝1 cm，BD＝2 cm，且B，D关于y轴对称，
∴D点坐标为(1,1)，∵AB∥x轴，AB＝4 cm，
最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为(－3,0)，
∴右边抛物线的顶点F的坐标为(3,0)，
设右边抛物线的解析式为y＝a(x－3)2，
把D(1,1)代入得1＝a×(1－3)2，解得a＝，
∴右边抛物线的解析式为y＝(x－3)2.
3．(2018·天津高考)已知a∈R，函数f(x)＝
若对任意x∈[－3，＋∞)，f(x)≤|x|恒成立，则a的取值范围是________．
答案
解析 当－3≤x≤0时，由f(x)≤|x|得，x2＋2x＋a－2≤－x.即a≤－x2－3x＋2，而－x2－3x＋2的最小值为2，所以a≤2.当x>0时，由f(x)≤|x|得，－x2＋2x－2a≤x.即2a≥－x2＋x，而－x2＋x的最大值为，所以a≥.
综上可知，≤a≤2.
4．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b<1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求m的取值范围．
解 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，
故⇒⇒
当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，
故⇒⇒
故当a>0时，a＝1，b＝0，当a<0时，a＝－1，b＝3.
(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2.
g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2，
∵g(x)在[2,4]上单调，∴≤2或≥4.
∴m≤2或m≥6.
故m的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．
5.若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由f(0)＝1，得c＝1，所以f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x，所以所以
因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1,1]上的最小值大于0即可．
因为g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1,1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
