【数学】2019届一轮复习人教A版（理科）第14讲导数的应用第1课时学案
第1课时 导数与函数的单调性
例1 [思路点拨 (1)求函数y=f(x)·g(x)在x=1处的导数,即切线的斜率,从而可得切线方程;(2)对F(x)求导,根据m的不同取值讨论函数的单调性.
解:(1)当m=1时,y=f(x)g(x)=,
y'==.
当x=1时,y'=,即切线的斜率为,又切线过点(1,0),
所以切线方程为y= (x-1),即x-2y-1=0.
(2)f'(x)=,g'(x)=,
F'(x)=f'(x)-g'(x)=-=(x>0).
当m≤0时,F'(x)<0,函数F(x)在(0,+∞)上单调递减.
当m>0时,令 (x)=mx2+(2m-1)x+m,Δ=(2m-1)2-4m2=1-4m,
当Δ≤0,即m≥时, (x)≥0,
此时F'(x)≥0,函数F(x)在(0,+∞)上单调递增;
当Δ>0,即0
2,x1·x2=1,
所以00).
①当0< <2时, > >0且>2,
所以当x∈(0, )时,f'(x)<0,当x∈( ,2)时,f'(x)>0,
所以函数f(x)在(0, )上是减函数,在( ,2)上是增函数.
②当 =2时, = =2,f'(x)<0在区间(0,2)内恒成立,
所以f(x)在(0,2)上是减函数.
③当 >2时,0<<2, >,
所以当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0,
所以函数在上是减函数,在上是增函数.
综上可得,当0< <2时,f(x)在(0, )上单调递减,在( ,2)上单调递增;
当 =2时,f(x)在(0,2)上单调递减;
当 >2时,f(x)在0, 上单调递减,在,2上单调递增.
例2 [思路点拨 (1)对函数求导,得出曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率,再得切线方程;(2)通过讨论参数a的不同取值,得出相应的单调区间.
解:(1)函数f(x)=ae -2aex-x2+x的导函数为f'(x)=a(ex+xex)-2aex-x+1=(x-1)(aex-1),
可得曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线斜率为ae2-1,切点坐标为(2,0),
即切线的方程为y-0=(ae2-1)(x-2),即y=(ae2-1)(x-2).
(2)f(x)的导函数为f'(x)=(x-1)(aex-1).
①当a=0时,f'(x)=-(x-1),若x>1,则f'(x)<0,f(x)单调递减;
若x<1,则f'(x)>0,f(x)单调递增.
②当a<0时,若x>1,则f'(x)<0,f(x)单调递减;
若x<1,则f'(x)>0,f(x)单调递增.
③当a>0时,若a=,则f'(x)=(x-1)(ex-1-1),
f(x)在R上单调递增.
若a>,则f'(x)>0即为(x-1)>0,可得x>1或x0即为(x-1)>0,可得x<1或x>ln;
f'(x)<0即为(x-1)<0,可得1时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),,单调递减区间为ln,1;
当00,所以令g(x)=-ax2+2x=0,解得x=0或x=.
①当a>0时,函数g(x)=-ax2+2x在(-∞,0)和上有g(x)<0,即f'(x)<0,函数y=f(x)单调递减;函数g(x)=-ax2+2x在上有g(x)≥0,即f'(x)≥0,函数y=f(x)单调递增.
②当a<0时,函数g(x)=-ax2+2x在和(0,+∞)上有g(x)>0,即f'(x)>0,函数y=f(x)单调递增;函数g(x)=-ax2+2x在上有g(x)≤0,即f'(x)≤0,函数y=f(x)单调递减.
综上所述,当a=0时,函数y=f(x)的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0);
当a>0时,函数y=f(x)的单调递减区间为(-∞,0),,单调递增区间为;
当a<0时,函数y=f(x)的单调递增区间为,(0,+∞),单调递减区间为.
例3 [思路点拨 (1)求导,令导数非负,建立关于a的不等式,再分离参数a,结合单调性求解; (2)求导数,然后令导数为非正数,结合二次函数知识求解.
(1)A (2)a≥ [解析 (1)y'=cos 2x-asin x≥0在(0,π)上恒成立,即a≤=在(0,π)上恒成立.令t=sin x∈(0,1 ,g(t)== -2t,t∈(0,1 ,易知函数g(t)在(0,1 上单调递减,所以g(t)min=g(1)=-1,所以a≤-1,即实数a的取值范围是(-∞,-1 .
(2)f'(x)=[x2-2(a-1)x-2a ·ex,∵f(x)在[-1,1 上是减函数,∴f'(x)≤0对x∈[-1,1 恒成立,∴x2-2(a-1)x-2a≤0对x∈[-1,1 恒成立.设g(x)=x2-2(a-1)x-2a,∴∴解得a≥.
变式题 1 [解析 函数y=ax+sin x在R上单调递增等价于y'=a+cos x≥0在R上恒成立,即a≥-cos x在R上恒成立,因为-1≤-cos x≤1,所以a≥1,即a的最小值为1.
例4 [思路点拨 (1)求导数,确定函数的单调性,即可得出结论;(2)由xf'(x)-f(x)>0可以构建函数g(x)=,通过考查g(x)的单调性求解不等式f(x)>0.
(1)C (2)(-2,0)∪(2,+∞) [解析 (1)由题意知,函数是偶函数,f'(x)=2x-2sin x,当x∈时,f'(x)>0,函数单调递增,∵f(α)>f(β),∴|α|>|β|,故选C.
(2)令g(x)=,则g'(x)=>0,x∈(0,+∞),所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又g(-x)====g(x),所以g(x)是偶函数,g(-2)=0=g(2),所以f(x)=xg(x)>0⇒或解得x>2或-20的解集为(-2,0)∪(2,+∞).
变式题 (1)D (2)B [解析 (1)f'(x)=,当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(e),f(2)-f(3)=-=<0,所以f(2)f(3)>f(2).选D.
(2)构造函数g(x)=,则g'(x)==>0,函数g(x)在R上单调递增,所以g(2ln 2)0时,h(x)>0;
当x<0时,h(x)<0.
①当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x).
当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.
②当a=0时,g'(x)=x(x-sin x),
当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增.
③当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x).
当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.
综上所述:
当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减;
当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减.
2 [配合例3使用 已知函数f(x)=aln x+x2+(a-6)x在(0,3)上不是单调函数,则实数a的取值范围是 .
[答案 (0,2)
[解析 函数f'(x)= +2x+a-6.
①若函数f(x)=aln x+x2+(a-6)x在(0,3)上单调递增,则f'(x)= +2x+a-6≥0在(0,3)上恒成立,即a≥=-2(x+1)+-5在(0,3)上恒成立,令函数g(t)=t+,t∈(1,4),则g(t)∈[4,5),∴a≥2;
②若函数f(x)=aln x+x2+(a-6)x在(0,3)上单调递减,则f'(x)= +2x+a-6≤0在(0,3)上恒成立,即a≤=-2在(0,3)上恒成立,函数g(t)=t+,t∈(1,4),则g(t)∈[4,5),∴a≤0.∴当函数f(x)在(0,3)上不是单调函数时,实数a的取值范围是(0,2).
3 [配合例4使用 已知f(x)=ax3,g(x)=9x2+3x-1,当x∈[1,2 时,f(x)≥g(x)恒成立,则a的取值范围为 ( )
A.a≥11 B.a≤11
C.a≥ D.a≤
[解析 A f(x)≥g(x)恒成立,即ax3≥9x2+3x-1.因为x∈[1,2 ,所以a≥+-.令=t,则当t∈,1时,a≥9t+3t2-t3.令h(t)=9t+3t2-t3,t∈,1,则h'(t)=9+6t-3t2=-3(t-1)2+12.易知h'(t)在,1上是增函数,所以h'(t)min=h'=-+12>0,所以h(t)在,1上是增函数,所以a≥h(t)max=h(1)=11.故选A.