【数学】2020届一轮复习人教B版正弦定理和余弦定理学案
§5.6 正弦定理和余弦定理
最新考纲
考情考向分析
掌握正弦定理、余弦定理及其应用.
以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝c2＋a2－2cacosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC
变形
(3)a＝2RsinA，
b＝2RsinB，c＝2RsinC；
(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝；
(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；
(6)asinB＝bsinA，
bsinC＝csinB，
asinC＝csinA
(7)cosA＝；
cosB＝；
cosC＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinA
b
解的
个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
概念方法微思考
1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sinA>sinB?
提示 在△ABC中，由∠A>∠B可推出sinA>sinB.
2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcosC＋ccosB＝a.试类比写出另外两个式子．
提示 acosB＋bcosA＝c；
acosC＋ccosA＝b.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．( × )
(3)在△ABC中，＝.( √ )
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )
题组二 教材改编
2．[P10B组T2]在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
3．[P18T1]在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为．
答案 2
解析 ∵＝，
∴sinB＝1，∴B＝90°，
∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
题组三 易错自纠
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c0，∴cosB<0，∴B为钝角，
故△ABC为钝角三角形．
5．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案 C
解析 由正弦定理得＝，
∴sinB＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
6．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则C＝.
答案
解析 由3sinA＝5sinB及正弦定理，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，
所以a＝b，c＝b，
所以cosC＝
＝＝－.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
题型一 利用正、余弦定理解三角形
例1(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得
bsinA＝asinB.
又由bsinA＝acos，得asinB＝acos，
即sinB＝cos，所以tanB＝.
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，
得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.
由bsinA＝acos，可得sinA＝.
因为a0，所以a2＋b2＝c2或a＝b，故选D.
引申探究
1．本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cosA·sinB＝sinC，判断△ABC的形状．
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝，
又00)．又BD＝，∠DAB＝，
所以由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝，所以＝，
所以CD＝＝.
命题点3 解三角形的实际应用
例5(1)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(－1)m B．180(－1)m
C．120(－1)m D．30(＋1)m
答案 C
解析 如图，在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，所以CD＝AD·tan60°＝60(m)．
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，
所以BD＝AD·tan15°＝60(2－)(m)．
所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)
＝120(－1)(m)．
(2)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°，若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度约为m/s.(精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈2.236)
答案 22.6
解析 因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，设这辆汽车的速度为vm/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝＝＝200.在Rt△ADC中，AC＝＝＝100.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos135°，所以v＝≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.
思维升华 (1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)求解几何计算问题要注意：
①根据已知的边角画出图形并在图中标示；
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．
(3)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(4)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
跟踪训练3 (1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵cos2＝，cos2＝，
∴(1＋cosB)·c＝a＋c，∴a＝cosB·c＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
(2)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是．
答案 (－，＋)
解析 如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF0)，如果三角形有解，则角A的取值范围是( )
A．0°0°，且当AB与圆C相切时，角A取得最大值，此时AB⊥BC，则sinA＝＝＝，又因为a
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