【数学】2019届一轮复习人教A版分类讨论思想学案

【数学】2019届一轮复习人教A版分类讨论思想学案

【概述】1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要把研究对象按某个标准分类,然后对每一类 分别研究,得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的答案.对问题实行分类,分类标准等于是增 加的一个已知条件,实现了有效增设,将大问题分解为小问题,优化了解题思路,降低了问题难度. 2.分类讨论思想在解题中的应用 (1)由数 概念引起的分类讨论; (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论; (3)由数 运算要求引起的分类讨论; (4)由图形的不确定性引起的分类讨论; (5)由参数的变化引起的分类讨论; (6)由实际意义引起的分类讨论,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用. 应用 1 由概念、法则、公式、性质引起的分类讨论 例 1. 若函数 f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)＝(1－4m) x在[0， ＋∞)上是增函数，则 a＝________. 【答案】1 4 例 2. 在等比数列{an}中，已知 a3＝3 2 ，S3＝9 2 ，则 a1＝________. 【答案】3 2 或 6 【解析】当 q＝1 时，a1＝a2＝a3＝3 2 ，S3＝3a1＝9 2 ，显然成立. 当 q≠1 时，由 a3＝3 2 ，S3＝9 2 ， ∴ a1q2＝3 2 ， ① a1（1＋q＋q2）＝9 2 . ② 由①②，得1＋q＋q2 q2 ＝3， 即 2q2－q－1＝0， 所以 q＝－1 2 或 q＝1(舍去).当 q＝－1 2 时，a1＝a3 q2＝6， 综上可知，a1＝3 2 或 a1＝6. 【趁热打铁】若函数 6, 2( ) 3 log , 2a x xf x x x       (a>0,且 a≠1)的值域是[4,+∞),则实数 a 的取值范围 是 . 【答案】(1,2]. 应用 2 由图形位置或形状引起的分类讨论 例 3. (1)已知双曲线的离心率为2 3 3 ，则其渐近线方程为________. (2)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲 线 C 的离心率等于________. 【答案】 (1)y＝± 3x，或 y＝± 3 3 x (2)1 2 或3 2 【解析】(1)由于 e＝c a ＝2 3 3 ， ∴c2 a2＝a2＋b2 a2 ＝4 3 ，则 a2＝3b2， 若双曲线焦点在 x 轴上，渐近线方程 y＝± 3 3 x. 若双曲线焦点在 y 轴上，渐近线方程 y＝± 3x. (2)不妨设|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中 t≠0. 若该曲线为椭圆，则有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝1 2 ； 若该曲线为双曲线，则有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝3 2 . 例 4.设 F1，F2 为椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知 P，F1，F2 是一个直角三角形的三个顶点， 且|PF1|>|PF2|，则|PF1| |PF2| 的值为________. 【答案】7 2 或 2 【趁热打铁】【2018 届广东省珠海一中等六校高三第三次联考】实数 满足 ，且 的最 大值不小于 1，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 应用 3 由变量或参数引起的分类讨论 例 5. 【浙江省台州中 2018 届高三上 期第三次统练】若关于 x 的不等式  x x a b a R   在 1,2 上恒 成立，则实数b 的取值范围是_______. 【答案】 2 ,3     【解析】显然 0b  ， b b bx x a b x a x a xx x x           ，即 max min b bx a xx x              ， 令    , 1,2bf x x xx    ，则   21 0bf x x    ，所以  f x 在 1,2 上单调递增，所以    max 2 2 2 bf x f   ；令   bg x x x   (  1,2x ，则      2 21 x b x bbg x x x      ，令   0g x  ，得 x b ，当 2b  ，即 4b  时，  g x 在 1,2 上单调递减，    min 2 2 2 bg x g   ， 显然 2 22 2 b b   成立，所以 4b  ；当 1b  ，即 0 1b  时  g x 在 1,2 上单调递增，    min 1 1g x g b   ，所以1 2 2 bb   ，所以 2 13 b  ；当1 2b  ，即1 4b  时，  g x 在 1, b   上单调递减，在 ,2b   上单调递增，    min 2g x g b b  ，所以 2 2 2 bb   ，即  2 4 4 0b b   ，所以 2 2 2b   ， 12 8 2b   ，所以1 4b  ，综上 2 3b  ，故答案为 2 ,3     . 例 6. 已知函数 f(x)＝(x＋1)ln －a(x－1). (1)当 a＝4 时，求曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求 a 的取值范围. 【答案】(1)2x＋y－2＝0.(2)(－∞，2]. 【趁热打铁】【浙江省台州中 2018 届高三上 期第三次统练】已知函数   2f x ax bx c   ． （1）当 1, 2a b  时，若存在   1 2 1 2, 2,0x x x x   ，使得    2 1,2if x i  ，求实数 c 的取值范围； （2）若 , ,a b c 为正整数，方程 2 0ax bx c   的两个实数根 1 2,x x 满足 1 21 1x x    ，求 a b c  的最 小值． [ _ _ ] 【答案】（1） 2 1c    或 2 3c  .（2）11． （2）设   2f x ax bx c   ，则由题意得     2 1 0 1 0 { 1 12 4 0 f f b a b ac            ，即 2 1 { 2 1 4 1 a b c a b b ac        ， 所以   2 1 2a b c a b c b b        ，由于 2 4 1 5b ac   ①当 3b  时， 4a c  ，且 2 1 24 bac   无解， ②当 4b  时， 5a c  ，且 2 1 15 4 4 bac   ，于是 3ac  无解， ③当 5b  时， 6a c  ，且 2 1 64 bac   ，由 2 1a b  ，得 3a  ，此时有解 5, 1a c  ， 综上所述， 11a b c   ，当 5, 5, 1a b c   时取等号，即 a b c  的最小值为 11． 【反思提升】1.简化分类讨论的策略 (1)消去参数; (2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变 形;(6)数形结合;(7)缩小范围等. 2.分类讨论遵循的原则是 不遗漏、不重复, 地划分,分清主次,不越级讨论.[ ] 3.解题时把好“四关”. (1)要深刻理解基本知识与基本原理,把好“基础关”; (2)要找准划分标准,把好“分类关”; (3)要保证条理分明,层次清晰,把好“逻辑关”; (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息,合理取舍,把好“检验关”.