2019届二轮复习几何体的三视图学案（全国通用）

2019届二轮复习几何体的三视图学案（全国通用）

‎ ‎ ‎ -----------精讲深剖 几何体的三视图及表面积和体积问题为高考的高频考点，主要考查空间几何体三视图的识别判断，由三视图求空间几何体的表面积和体积等问题. 在高考中主要的题型主要是选择题或者填空题，基本上都是中等难度或者较易的试题. 因此，掌握各种空间几何体的结构特征，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法；注重对生直观想象，数运算和数建模等核心的培养。‎ 近3年全国卷几何体的三视图及表面积和体积问题试题统计表 全国卷 年份 题号 考点分布 几何体的三视图与表面积和体积 I ‎2018‎ ‎7‎ 几何体的三视图与最短距离问题 ‎2017‎ ‎2016‎ ‎6‎ 几何体的三视图与表面积 II ‎2018‎ ‎16‎ 求圆锥的侧面积 ‎2017‎ ‎4‎ 几何体的三视图与体积 ‎2016‎ ‎6‎ 几何体的三视图与表面积 III ‎2018‎ ‎3‎ 确定几何体的俯视图 ‎2017‎ ‎7‎ 几何体的三视图与表面积 ‎2016‎ ‎9‎ 几何体的三视图与表面积 ‎【2018 全国卷Ⅰ第7题】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 科@#网 A． B． C．3 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解题反思】本题容易由三视图想象出对应的几何体，问题转化为求圆柱上两点间的最短距离，可通过侧面展开图，运用两点之间线段最短来解决；问题体现了直观想象、数运算的核心素养及创新能力。‎ ‎1.（必修2第29页习题1.3 B组1）如图是一个奖杯的三视图，是根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积 ‎（尺寸如图，单位：cm，π取3.14，结果分别精确到1cm²，1cm³，可用计算器）。‎ ‎【解析】由三视图画出奖杯的草图如图可知，‎ ‎[来源:科网]‎ S四棱台=S四棱台侧+S上底+S下底=4×12+202×25+12×12+20×20=（1285+544），‎ V四棱台=1312×12+12×12+20×20+20×20×2=23544+434．‎ 表面积是表示几何体表面的大小；体积是几何体占空间的大小．所以 分别将球体、四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积．应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积：‎ ‎∴奖杯的表面积S=S球+S四棱柱+S四棱台-2×S四棱柱底面=16π+544+1285+544-2×（4×8）=16π+1024+1285≈1360，‎ 奖杯的体积V=V球+V四棱柱+V四棱台=323π+640+23434+544≈1052．‎ ‎【解题反思】本题考察了三视图及空间几何体的表面积与体积，题中几何体由常见几何体组合而成，可采用分解与组合的思想，化为基本几何体体积和表面积的和来计算。注意算表面积时，几何体接触部分需减去。体现了生直观想象及数运算的核心素养。‎ ‎[来源:+科+网Z+X+X+K]‎ 一、知识梳理：‎ ‎1．简单几何体 ‎(1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且相等 多边形 互相平行 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 ‎(2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的 全等的等腰梯形 等腰三角形 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 ‎2．直观图 ‎(1)画法：常用斜二测画法．‎ ‎(2)规则：‎ ‎①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．‎ ‎②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．‎ ‎3．三视图 ‎(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．‎ 说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．‎ ‎(2)作、看三视图的3原则 ‎①位置原则：[来源:Zxxk.Com]‎ ‎②度量原则：长对正、高平齐、宽相等(即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽)．‎ ‎③虚实原则：轮廓线——现则实、隐则虚．‎ ‎4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开 图 侧面 积公 式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l ‎5.柱、锥、台和球的表面积和体积 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ ‎[来源:科网]‎ 二、解题指南：‎ ‎1.画三视图的三个原则：‎ ‎(1)画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”.‎ ‎(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方.‎ ‎(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出.‎ ‎2.求解几何体表面积与体积的基本思路：‎ ‎（1）.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.‎ ‎（2）.求体积的两种方法：(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高.‎ 考点1、空间几何体与三视图的相互识别 例1.（1） 如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E为棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为(　　)‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，过点A，E，C1的截面为AEC‎1F，则剩余几何体的侧视图为选项C中的图形．‎ ‎(2) 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ A.三棱锥 　　 B.三棱柱 C.四棱锥 　　 D.四棱柱 ‎【答案】B ‎【解析】由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱，故选B.‎ ‎(3)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是(　　)‎ ‎【答案】A 解题反思：识别三视图的步骤 ‎(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；‎ ‎(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．‎ ‎(4)根据几何体的三视图判断几何体的结构特征，常见的有以下几类 三视图的形状 对应的几何体 三个三角形 三棱锥[来源:Zxxk.Com]‎ 两个三角形，一个四边形 四棱锥 两个三角形，一个圆 圆锥 一个三角形，两个四边形 三棱柱 三个四边形 四棱柱 两个四边形，一个圆 圆柱 考点2、三视图与空间几何体的表面积 例2. (1)个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________。‎ ‎【答案】38‎ ‎ (2)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ；‎ ‎【答案】(4＋4)π＋96‎ ‎【解析】由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4‎ ‎，底面半径为2，所以该几何体的表面积S＝6×42＋π×22＋π×2×＝(4＋4)π＋96. @#科网 ‎（3）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π,则r＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 解题反思：1．三类几何体表面积的求法 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则几何体的表面积时 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 ‎2．避免两类失误 ‎(1)因对几何体的结构特征认识不准，混淆几何体侧面的边长与三视图中有关数据的关系而导致解题错误．一定要熟记三视图中的数据反应的是空间几何体的长、宽、高，而不一定是空间几何体的棱长．‎ ‎(2)在审视组合体的图形时，图形结构特征审视不准致误．(如几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，求表面积时，应去掉两几何体的接触面)‎ 考点3、三视图与空间几何体的体积 例3.（1）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎(2)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为(　　)‎ A.＋π B.＋π C.＋π D.1＋π[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】C ‎(3) 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由正视图知三棱锥的形状如图所示，‎ 且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，[来源:Zxxk.Com]‎ 结合正视图可知AO⊥平面BCD.又OC＝＝1，∴V三棱锥ABCD＝××1＝.‎ ‎（4）．如图所示，网格纸上小正方形的边长为‎1 cm，粗线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎________．‎ ‎【答案】‎4 cm3‎ ‎【解析】由三视图知几何体是一个以俯视图中的直角梯形为底面，高h＝‎‎2 cm 的四棱锥．由三视图中的数据得四棱锥的底面面积S＝×(2＋4)×2＝6(cm2)，所以其体积V＝Sh＝×6×2＝4(cm3)．‎ 解题反思：‎ ‎1.三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.‎ ‎2．处理体积问题的思路 ‎3．求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算．‎ 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算．‎ 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换.‎ ‎1.如图，在正方体中， 为的中点，则在该正方体各个面上的正投影可能是（ ）‎ A． ①② B． ①④ C． ②③ D． ②④‎ ‎【答案】B ‎2.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(　　)‎ ‎【答案】C ‎3.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C 共三个，故选C.‎ ‎4.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： ）为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A.＋1 B. C.＋1 D.＋1‎ ‎【答案】C ￥%科网 ‎【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为π＋1＋2π×2＋π ‎＝＋1，故选C ‎6.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎7．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADFBCE的体积为V2，则＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知多面体ADFBCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.∵M是AB上的动点，且易知AB∥平面DFEC，∴点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离，距离为a，∴V1＝VEFMC＝VMEFC＝·a·a·a＝，又V2＝a·a·a＝，故＝＝.‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为 ‎ ‎【答案】72＋6π　　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3，则侧视图中线段的长度x的值是 ‎ ‎【答案】4　‎ ‎【解析】分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥PABCD，‎ 故其体积V＝××4×CP＝3，∴CP＝，∴x＝＝4.‎ ‎ 数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的新概念;数学是创造性的艺术，因为数学家的生活、言行如同艺术家一样;数学是创造性的艺术，因为数学家就是这样认为的-----哈尔莫斯 ‎[来源:_科_网]‎