陕西省西安中学2020届高三第六次模拟考试数学（文）试题

陕西省西安中学2020届高三第六次模拟考试数学（文）试题

西安中学高2020届高三第六次模拟考试 数学（文）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.若集合，，则( )‎ A. B. C D. ‎ ‎2.复数的共轭复数.‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 刘徽的割圆术是建立在圆面积论的基础之上的．他首先论证，将圆分割成多边形，分割越来越细，多边形的边数越多，多边形的面积和圆的面积的差别就越来越小了．如图，阴影部分是圆内接正12边形，现从圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是   .‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.设，则   .‎ A. B. C. D.‎ ‎5.一动圆圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此圆过定点   .‎ A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,0)‎ ‎6. 已知函数的部分图象如上图所示，则的解析式可能为   .‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 设n%m表示自然数n被正整数m除所得余数， [x]表示不超过x的最大整数，如20%7=6，[3.14]=3.在图示框图中，若输入2049 ,则输出值为( ). ‎ A. 15 B. ‎20 C. 45 D. 38‎ ‎8.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前n项和，若，且则=( ).‎ A. 32 B. ‎31 C. 30 D. 29‎ ‎9.一个正方体纸盒展开后如下图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成角为；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是( ) .‎ A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ①③‎ ‎10.的面积为，角的对边分别为,若,则的值是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知双曲线的左右焦点分别为,经过的直线分别交双曲线的左右两支于点，连接，若且，则该双曲线的离心率为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知,.定义集合,则的元素个数满足（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知点是正方形的边的中点，若则的值为______.‎ ‎14.设是等差数列的前项和，若则________．‎ ‎15.已知若不等式恒成立，则实数的取值范围是________．‎ ‎16. 若某直线被两平行线所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为_______.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）;‎ ‎（II）令, 求函数的定义域及不等式的解集.‎ ‎18.（本小题满分12分）某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩y如下表：‎ 数学成绩 ‎145‎ ‎130‎ ‎120‎ ‎105‎ ‎100‎ 物理成绩 ‎110‎ ‎90‎ ‎102‎ ‎78‎ ‎70‎ ‎ 数据表明与之间有较强的线性关系． （Ⅰ）求关于的线性回归方程；‎ ‎ （II）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（Ⅰ）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；‎ ‎ （III）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀．若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人．能否在犯错误概率不超过的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？ 参考数据：回归直线的系数，． ，，．‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，六边形 是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，,沿进行翻折，得到的图形如图所示，且.‎ ‎ （Ⅰ）求证：；‎ ‎ （II）求证:点不在同一平面内；‎ ‎（III）求翻折后所得多面体的体积．‎ ‎20.（本小题满分12分）已知抛物线经过椭圆的两个焦点.‎ ‎（Ⅰ） 求椭圆的离心率；‎ ‎（II）设点,又为 与不在轴上的两个交点，若的重心在抛物线 上，求椭圆的方程. 21. （本小题满分12分）设函数 ‎ （Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程;‎ ‎ （Ⅱ）当时，求函数的单调区间;‎ ‎ （III）当时，若存在极值点,求证:‎ ‎22．选考题（本小题满分10分） 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）求出直角坐标系中的方程和圆心的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）若射线分别与圆与和直线交点（异于原点）,求长度．‎ ‎23.选考题（本小题满分10分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设实数,求证：.‎ 陕西省西安中学高2020届高三第六次模拟考试 西安中学高2020届高三第六次模拟考试 数学（文）答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D A A B D A B D B B A 二、填空题 ‎13. 3 14. 8 15. [-4,3] 16. 和 三、解答题 ‎17. （Ⅰ） ‎ ‎ 2分 ‎6分 ‎（Ⅱ），‎ 函数的定义域为，‎ 不等式的解集为.‎ ‎12分 ‎18. 解：（Ⅰ）‎ 由题意可知， 故．，故回归方程为． ‎ ‎ 5分 ‎（Ⅱ）将代入上述方程，得． ‎ ‎8分 ‎（III）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30，36． 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人． 于是可以得到列联表为：‎ 物理优秀 物理不优秀 总计 数学优秀 ‎24‎ ‎6‎ ‎30‎ 数学不优秀 ‎12‎ ‎18‎ ‎30‎ 总计 ‎36‎ ‎24‎ ‎60‎ 于是， 因此在犯错误概率不超过的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关． ‎ ‎12分 ‎19. （Ⅰ）在等腰梯形ADEF中，作于M，则，，‎ ‎．连接AC，则，‎ ‎，，，；‎ ‎，平面ADEF. ‎ ‎ 4分 ‎（Ⅱ）设G为CD中点，则易知ABGD为平行四边形，故BG∥AD,又EF∥AD,所以FE∥BG,于是 由Ⅰ知，平面ADEF，而平面ABCD，E,F,B,G共面，而C显然不在此平面内，所以点不在同一平面内. ‎ ‎7分 ‎（III）由Ⅰ知，平面ADEF，而平面ABCD，平面平面ADEF．‎ ‎，平面ABCD，‎ ‎． ‎ ‎12分 ‎20. （Ⅰ）因为抛物线经过椭圆的两个焦点， 所以，即，由得椭圆的离心率. ‎ ‎5分 ‎（Ⅱ）由（1）可知，椭圆的方程为 ‎ 联立抛物线的方程得， ‎ ‎ 8分 解得：或（舍去）,所以 ，即，所以的重心坐标为. 因为重心在上，所以，得.所以. ‎ ‎ 12分 ‎21.（Ⅰ）当时，. 从而切线斜率，切线方程为，即. ‎ ‎ 3分 ‎ ‎（Ⅱ）当时，.令，则可.于是，知在区间上递减，在上递增.从而. 所以，函数的单调区间为. ‎ ‎7分 ‎ （III），由题设得函数有正零点，设为，即.‎ 由 知，知在区间上递减，在 上递增，所以于是，即. ‎ ‎ 10分 于是. ‎ ‎12分 ‎22. （Ⅰ） 直线的直角坐标系方程为， ‎ ‎2分 圆心（0,2）的极坐标为. ‎ ‎ 5分 ‎（Ⅱ） . ‎ ‎ 10分 ‎23. （Ⅰ）不等式解集. ‎ ‎ 5分 ‎（Ⅱ） ，‎ ‎ 于是， 即，‎ 所以，. ‎