甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

甘肃省平凉市静宁县第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

静宁一中2019-2020学年度第一学期高二级第三次试题（卷）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题（每小题5分，共12小题60分）‎ ‎1.已知，则等于（ ）‎ A. 0 B. C. 6 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，再求.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查基本初等函数导数的求法，属于简单题型.‎ ‎2. 从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出一个球，若摸出的球是红球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球或黑球的概率是（ ）‎ A. 0.35 ‎B. ‎0.65 ‎C. 0.1 D. 0.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：从袋中摸1个球，摸到是红球，是白球，是黑球这三个事件是互斥的，因此摸出的球是白球或黑球的概率为1－0.4＝0.6．故选D．‎ 考点：互斥事件的概率．‎ ‎3.向如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分内的概率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．‎ ‎【详解】观察这个图可知：阴影三角形的面积为s（2）×，图中正方形的面积为4，∴飞镖落在阴影部分内的概率为 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关，是基础题.‎ ‎4.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设回归直线方程为，根据回归直线必过样本中心，求.‎ ‎【详解】由回归直线的斜率的估计值为1.23，‎ 设回归直线方程为，代入 ，‎ ‎ ，解得： ，‎ 回归直线方程是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查回归直线方程，意在考查基本公式和计算，属于简单题型.‎ ‎5.命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是()‎ A. (0，－3) B. (1,2) C. (1，－1) D. (－1,1)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知，联立直线与曲线方程，解点坐标即可 ‎【详解】联立，可得或 答案选C ‎【点睛】本题考查求解直线与曲线交点的一般方法，联立求解即可 ‎6.抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据抛物线的方程，求得其开口方向，以及，即可其准线方程.‎ ‎【详解】由题意，抛物线，可知，且开口向上，‎ 所以其准线方程为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程的形式和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7.已知函数的导函数的图象如下图，则的图象可能是 ‎( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导函数的图象判断原函数的单调性与极值点，利用排除法即可.‎ ‎【详解】由的图象可得的符号先负再正、再负，‎ 所以的单调性是先减再增、再减，可排除A、B；‎ 由的图象过原点可得的一个极值点为0，排除C，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与均值，考查了数形结合思想，属于基础题.‎ ‎8.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意得，不等式，解得或，‎ 所以“”是“”的充分而不必要条件，‎ 故选A．‎ 考点：充分不必要条件的判定．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎9.如果执行右面的框图，输入，则输出的数等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：当时，该程序框图所表示的算法功能为：，故选D.‎ 考点：程序框图.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎10.椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F‎1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意可得：|PF1|+|PF2|=2|F‎1F2|=4,而结合椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=‎2a,‎ ‎∴‎2a=4，‎2c=2，由a2=b2+c2，∴b2=3‎ ‎∴椭圆的方程为，选B.‎ 考点：本试题主要考查了椭圆方程的求解．‎ 点评：解决该试题的关键是根据已知的等差中项的性质得到a,,bc,关系式，结合a2=b2+c2,求解得到其方程．‎ ‎11.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( )‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可知，此双曲线的渐近线方程为，则渐近线过点，即，，所以.故选A.‎ ‎12.已知为椭圆的两个焦点，P（不在x轴上）为椭圆上一点，且满足，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据椭圆定义可知，根据余弦定理，‎ 再根据，根据这三个式子的变形得到和，最后求离心率.‎ ‎【详解】由椭圆的定义，得，平方得①.‎ 由，②，是锐角，‎ 由余弦定理得③，‎ ‎-③得 ④‎ 由②④，得，‎ ‎ 是锐角，‎ ‎ ，‎ 即且 ‎ ‎ .‎ 由②③可知 ⑤‎ 由①⑤可得 ，‎ ‎，，即，.‎ 则椭圆离心率的取值范围是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的离心率，已知考查转化与化归的思想和变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键和难点是三个式子的变形，得到关于的不等式关系.‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）‎ ‎13.命题“若x＞1，则x2＞‎1”‎的否命题为 ．‎ ‎【答案】若x≤1，则x2≤1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据否命题定义，结合已知中的原命题，可得答案．‎ 解：命题“若x＞1，则x2＞‎1”‎的否命题为“若x≤1，则x2≤‎1”‎，‎ 故答案为“若x≤1，则x2≤‎‎1”‎ 考点：四种命题．‎ ‎14.曲线在处的切线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线方程．‎ ‎【详解】解：的导数为，‎ 可得曲线在处的切线斜率为，切点为，‎ 即有切线方程为．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，直线方程的运用，考查方程思想，属于基础题．‎ ‎15.过点作直线与双曲线有且仅有一个公共点，这样的直线有________条．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线，与双曲线方程联立，根据交点只有一个求参数的取值，判断直线的个数.‎ ‎【详解】设直线与双曲线方程联立 ‎ ‎ 即 ，‎ 当时，即时，此时方程只有一解，满足条件；‎ 当时， ‎ 解得：，‎ 当不存在时，不满足条件；‎ 综上可知，满足条件的有或，共4条直线.‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题考查已知直线与双曲线的交点个数，判断满足条件的直线条数，意在考查直线与双曲线的位置关系，属于基础题型.‎ ‎16.直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于两点，若，则直线的斜率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 依题意，抛物线的焦点 设直线的方程为 由得，设，‎ ‎，‎ 即 ‎，，‎ 解得或 或 又，将代入 解得 点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，根据题中所给条件，设出直线方程为，联立直线方程与抛物线方程，依据条件，得出交点横坐标之间的数量关系，然后再根据韦达定理，求出交点横坐标，从而求得结果．‎ 三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）‎ ‎17.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.‎ ‎（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；‎ ‎（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率 ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，‎ 从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．‎ 因此所求事件的概率为.‎ ‎（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，‎ 其中一切可能的结果（m，n）有：（1,1）（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1）（3， 2），（3,3）（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．‎ 所有满足条件n≥m＋2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个，‎ 所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝‎ 故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎18.已知函数且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的运算法则可得f′（x）=2x（x﹣a）+x2﹣4=3x2﹣2ax﹣4．再利用f′（﹣1）=0，即可解得a．‎ ‎（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣．x∈[﹣2，2]．令f′（x）=0，解得x=﹣1，．利用导数研究函数的单调性比较极值与区间端点处的函数值，即可得出最值．‎ ‎【详解】（1）由题可得，，解得．‎ ‎（2）由（1）知，．当时，．求导，得．‎ 令，得，或 所以在上单调递增，在上单调递减．‎ 所以的极大值为，极小值为，‎ 又，所以在上的最大值为，最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性单调性，极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎19. 山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90~100分数段的人数为2人.‎ ‎（Ⅰ）请估计一下这组数据的平均数M；‎ ‎（Ⅱ）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“帮扶组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）73；（Ⅱ）选出的两人为“帮扶组”的概率为.‎ ‎【解析】‎ 本试题主要考查了概率的运算和统计图的运用．‎ ‎（1）由由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05，然后利用平均值公式，可知这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)‎ ‎（2）中利用90~100分数段的人数为2人，频率为0.05；得到总参赛人数为40，然后得到0~60分数段的人数为40×0.1=4人，第五组中有2人，这样可以得到基本事件空间为15种，然后利用其中两人成绩差大于20的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种，得到概率值 解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知:50~60分的频率为0.1, 60~70分的频率为0.25, 70~80分的频率为0.45, 80~90分的频率为0.15, 90~100分的频率为0.05； ……………2分 ‎∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分)…4分 ‎(Ⅱ)∵90~100分数段的人数为2人，频率为0.05；‎ ‎∴参加测试的总人数为=40人，……………………………………5分 ‎∴50~60分数段的人数为40×0.1=4人， …………………………6分 设第一组50~60分数段同学为A1，A2，A3，A4；第五组90~100分数段的同学为B1，B2‎ 则从中选出两人选法有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种；其中两人成绩差大于20的选法有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）共8种 …………………………11分 则选出的两人为“帮扶组”的概率为 ‎20.已知抛物线：与直线交于，两点．‎ ‎（1）求弦的长度；‎ ‎（2）若点在抛物线上，且的面积为12，求点的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由，，‎ 弦的长度为；（2）设点到的距离 或点为或．‎ 试题解析：（1）设，，‎ 由得，，‎ 由韦达定理有，，‎ ‎∴，‎ ‎∴弦的长度为．‎ ‎（2）设点，设点到的距离为，则，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，解得或，‎ ‎∴点为或．‎ 考点：1、直线与抛物线；2、弦长；3、三角形面积.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（）求函数的极值点．‎ ‎（）设函数，其中，求函数在上的最小值．‎ ‎【答案】（1）是函数的极小值点，极大值点不存在．（2）见解析 ‎【解析】‎ 分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值点，（2）先作差函数，求导得，再根据零点 与区间 关系分类讨论 ，结合单调性确定函数最小值取法. ‎ 详解：解：（）函数的定义域为，，‎ ‎∴令，得，令，得，‎ ‎∴函数在单调递减，在单调递增，‎ ‎∴是函数的极小值点，极大值点不存在．‎ ‎（）由题意得，‎ ‎∴，‎ 令得．‎ ‎①当时，即时，在上单调递增，‎ ‎∴在上的最小值为；‎ ‎②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴在上的最小值为；‎ ‎③当，即时，在区间上单调递减，‎ ‎∴在上的最小值为，‎ 综上所述，当时，的最小值为；‎ 当时，的最小值为；‎ 当时，的最小值为．‎ 点睛：求含参数问题的函数最值，一般利用导数结合参数讨论函数单调性，根据单调性求最值.讨论点一般分为导函数有无零点，导函数零点在不在定义区间，导数零点对单调性的分割.‎ ‎22.已知椭圆的一个顶点是，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）已知矩形的四条边都与椭圆相切，设直线AB方程为，求矩形面积的最小值与最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时S有最大值10；当k=0时，S有最小值8.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）利用待定系数法即可，由题意，椭圆的一个顶点是，‎ 所以，又，椭圆C的方程是；（Ⅱ）注意斜率的讨论，当时，‎ 椭圆的外切矩形面积为8. 当时， AB所在直线方程为，所以，直线BC和AD的斜率均为.联立直线AB与椭圆方程可得，令得到，直线AB与直线DC之间的距离为，同理可求BC与AD距离为，所以矩形ABCD的面积为，再利用基本不等式即可解决.‎ 试题解析：（Ⅰ）由题意，椭圆的一个顶点是，‎ 所以 又，离心率为，即，‎ 解得， ‎ 故椭圆C的方程是 ‎（Ⅱ）当时，‎ 椭圆的外切矩形面积为8. ‎ 当时，‎ 椭圆的外切矩形的边AB所在直线方程为，‎ 所以，直线BC和AD的斜率均为.‎ 由，消去y得 ‎，‎ 化简得：‎ 所以，直线AB方程为 直线DC方程为 直线AB与直线DC之间的距离为 同理，可求BC与AD距离为 则矩形ABCD的面积为 由均值定理 仅当，即时S有最大值10.‎ 因此，当时S有最大值10；‎ 当K=0时，S有最小值8. ‎ 考点：圆锥曲线及其在最值中的应用