【数学】2019届一轮复习人教A版 解析几何 学案

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文档介绍

【数学】2019届一轮复习人教A版 解析几何 学案

一、回扣教材,纠错例析 ‎6.解析几何 ‎[要点回扣]‎ ‎1.直线的倾斜角与斜率 ‎(1)倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k,即k=tanα(α≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率;倾斜角α∈[0,π);‎ ‎(2)经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为k=(x1≠x2).‎ ‎[对点专练1] 直线xcosθ+y-2=0的倾斜角的范围是________.‎ ‎[答案] ∪ ‎2.直线的方程 ‎(1)点斜式:y-y0=k(x-x0),它不包括垂直于x轴的直线.‎ ‎(2)斜截式:y=kx+b,它不包括垂直于x轴的直线.‎ ‎(3)两点式:=,它不包括垂直于坐标轴的直线.‎ ‎(4)截距式:+=1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.‎ ‎(5)一般式:Ax+By+C=0(A,B不同时为0).‎ ‎[对点专练2] 已知直线过点P ‎(1,5),且在两坐标轴上的截距相等,则此直线的方程为________.‎ ‎[答案] 5x-y=0或x+y-6=0‎ ‎3.点到直线的距离及两平行直线间的距离 ‎(1)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=;‎ ‎(2)两平行线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离为d=.‎ ‎[对点专练3] 两平行直线3x+2y-5=0与6x+4y+5=0间的距离为________.‎ ‎[答案] ‎4.两直线的位置关系 在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,在用直线一般式方程研究两直线位置关系时,=≠是两直线平行的充分但不必要条件,同理k1k2=-1也是两直线垂直的充分但不必要条件.‎ ‎[对点专练4] 设直线l1:x+my+6=0和l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m=________时,l1∥l2;当m=________时,l1⊥l2;当________时l1与l2相交;当m=________时,l1与l2重合.‎ ‎[答案] -1 m≠3且m≠-1 3‎ ‎5.圆的方程 在圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中不要忽视条件D2+E2-4F>0.‎ ‎[对点专练5] 若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a ‎=________.‎ ‎[答案] -1‎ ‎6.与圆有关的距离问题 在圆中,注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形.注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离.‎ ‎[对点专练6] 双曲线-=1的左焦点为F1,顶点为A1、A2,P是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为________.‎ ‎[答案] 内切 ‎7.圆锥曲线的定义 对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”,抓住关键词,例如椭圆中定长大于定点之间的距离,双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”,否则只是双曲线的其中一支.在抛物线的定义中必须注意条件:F∉l,否则定点的轨迹可能是过点F且垂直于直线l的一条直线.‎ ‎[对点专练7] 已知平面内两定点A(0,1),B(0,-1),动点M到两定点A、B的距离之和为4,则动点M的轨迹方程是________.‎ ‎[答案] +=1‎ ‎8.圆锥曲线的方程 求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程,一般遵循先定位,再定型,后定量的步骤,即先确定焦点的位置,再设出其方程,求出待定系数.‎ ‎[对点专练8] 与双曲线-=1有相同的渐近线,且过点(-3,2)的双曲线方程为________.‎ ‎[答案] -=1‎ ‎9.圆锥曲线的几何性质 椭圆中,注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形.椭圆的焦点在长轴上,椭圆上的点到焦点的最小距离a-c,最大距离a+c;双曲线的焦点总在实轴上,双曲线上的点到相应焦点的最小距离c-a.‎ ‎[对点专练9] 已知F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P为椭圆上一动点,则使|PF1|·|PF2|取最大值的点P为( )‎ A.(-2,0) B.(0,1)‎ C.(2,0) D.(0,1)或(0,-1)‎ ‎[答案] D ‎10.弦长问题 ‎(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),‎ ‎|P1P2|=或 ‎|P1P2|=.‎ ‎(2)过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于C(x1,y1)、D(x2,y2),则弦长|CD|=x1+x2+p.‎ ‎[对点专练10] 已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为________.‎ ‎[答案] ‎[易错盘点]‎ 易错点1 直线倾斜角与斜率关系不清致误 ‎【例1】 已知直线xsinα+y ‎=0,则该直线的倾斜角的变化范围是________________.‎ ‎[错解] 由题意得,直线xsinα+y=0的斜率k=-sinα,‎ ‎∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1,直线的倾斜角的变化范围是.‎ ‎[错因分析] 直线斜率k=tanβ(β为直线的倾斜角)在[0,π)上是不单调的且不连续.‎ ‎[正解] 由题意得,直线xsinα+y=0直线的斜率k=-sinα,‎ ‎∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1,当-1≤k<0时,倾斜角的变化范围是;当0≤k≤1时,倾斜角的变化范围是.‎ 故直线的倾斜角的变化范围是∪.‎ 由直线的斜率求倾斜角,一般利用三角函数的单调性,借助正切函数在[0,π)上的图象,数形结合确定倾斜角的范围.在这里要特别注意,正切函数在[0,π)上的图象并不是单调函数,这一点是最容易被忽略而致错的.‎ ‎[对点专练1] ‎ ‎(1)倾斜角为135°,在y轴上的截距为-1的直线方程是( )‎ A.x-y+1=0 B.x-y-1=0‎ C.x+y-1=0 D.x+y+1=0‎ ‎(2)已知点A(2,1),B(-2,2),若直线l过点P且总与线段AB有交点,则直线l的斜率k的取值范围是________.‎ ‎[解析] (1)直线的斜率为k=tan135°=-1,所以直线方程为y=-‎ x-1,即x+y+1=0,故选D.‎ ‎(2)当直线l由位置PA绕点P转动到位置PB时,l的斜率逐渐变大直至当l垂直于x轴时,当直线l垂直于x轴时l无斜率,再转时斜率为负值逐渐变大直到PB的位置,所以直线l的斜率k≥kPA=,或k≤kPB=-,故k的取值范围是∪.‎ ‎[答案] (1)D (2)∪ 易错点2 忽略斜率不存在的直线致误 ‎【例2】 已知直线l1:(t+2)x+(1-t)y=1与l2:(t-1)x+(2t+3)y+2=0互相垂直,则t的值为________.‎ ‎[错解] 直线l1的斜率k1=-,‎ 直线l2的斜率k2=-,‎ ‎∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,即·=-1,‎ 解得t=-1.‎ ‎[错因分析] (1)盲目认为两直线的斜率存在,忽视对参数的讨论.(2)忽视两直线有一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,两直线垂直这一情形.‎ ‎[正解] 解法一:(1)当l1,l2的斜率都存在时,‎ 由k1·k2=-1,得t=-1.‎ ‎(2)若l1的斜率不存在,‎ 此时t=1,l1的方程为x=,l2的方程为y=-,‎ 显然l1⊥l2,符合条件;‎ 若l2的斜率不存在,此时t=-,‎ 易知l1与l2不垂直,综上t=-1或t=1.‎ 解法二:l1⊥l2⇔(t+2)(t-1)+(1-t)(2t+3)=0⇔t=1或t=-1.‎ 解决含有参数的直线的位置关系式问题时,切记对直线的斜率存在与不存在进行分类讨论,以避免出错.‎ ‎[对点专练2] ‎ ‎(1)“直线ax-y=0与直线(a+1)x-ay=1垂直”是“a=-2”成立的是( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)过点A(2,-3)与圆C:x2+y2-2x=0相切的直线方程为________.‎ ‎[解析] (1)由直线ax-y=0与直线(a+1)x-ay=1垂直,得a(a+1)+a=0,解得a=0或a=-2.选B.‎ ‎(2)圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1.‎ ‎①当直线的斜率不存在时,直线x=2与圆C相切;‎ ‎②当直线斜率存在时,设直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,‎ 由=1,得k=-.‎ ‎∴直线方程为y+3=-(x-2),即4x+3y+1=0.‎ 故所求直线方程为x=2或4x+3y+1=0.‎ ‎[答案] (1)B (2)x=2或4x+3y+1=0‎ 易错点3 忽视圆的条件致误 ‎【例3】 已知过点P(2,1)有且只有一条直线与圆C:x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0相切,则实数a=________.‎ ‎[错解] ∵过点P有且只有一条直线与圆C相切,‎ ‎∴点P在圆C上,‎ ‎∴4+1+4a+a+2a2+a-1=0.‎ 得a=-1或a=-2.‎ ‎[错因分析] 忽视了x2+y2+2ax+ay+2a2+a-1=0表示圆的条件.‎ ‎[正解] 由(2a)2+a2-4(2a2+a-1)>0,‎ 即3a2+4a-4<0,得-20.本题的失分原因是忽视了这个条件.在解决此类问题时,可以直接判断D2+E2-4F>0,也可以配方后,判断方程右侧大于0,因为右侧相当于r2.‎ ‎[对点专练3] ‎ ‎(1)若圆x2+y2+mx-=0与直线y=-1相切,其圆心在y轴的左侧,则m=________.‎ ‎(2)已知圆C的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,过点A(1,2)与圆C相切的直线有两条,则a的取值范围为______________________.‎ ‎[解析] (1)圆的标准方程为2+y2=2,圆心到直线y=-1的距离=|0-(-1)|,解得m=±,因为圆心在y轴的左侧,所以m=.‎ ‎(2)将圆C的方程配方有2+(y+1)2=,∴>0.①‎ ‎∴圆心C的坐标为,半径r=.‎ 当点A在圆外时,过点A可作圆的两条切线,∴|AC|>r,‎ 即>,‎ 化简得a2+a+9>0.②‎ 由①②得-0,方程-=1就表示双曲线.错解中错将双曲线误认为焦点在x轴上.事实上只要m<0,n<0时焦点在y轴上,此时应有=.‎ ‎[正解] 分两种情况讨论:‎ ‎①m>0,n>0;=,==,‎ e===.‎ ‎②m<0,n<0;=,==,‎ e===.‎ 所以双曲线的离心率为或.‎ 求与椭圆或双曲线的离心率有关的问题时,一定要关注焦点的位置对离心率的影响,必要时进行分类讨论.‎ ‎[对点专练4] ‎ ‎(1)已知椭圆+=1的离心率e=,则实数k的值为( )‎ A.3 B.3或 C. D.或 ‎(2)以坐标原点为对称中心,两坐标轴为对称轴的双曲线C的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线C的离心率为( )‎ A.2或 B.2或 C. D.2‎ ‎[解析] (1)①当焦点在x轴上时,a2=5,b2=k,c2=5-k,e2===2解得k=3;②当焦点在y轴上时,a2=k,b2=5,c2=a2-b2=k-5,e2===2,解之得k=.综合①②知,适合条件的实数k=3或.故选B.‎ ‎(2)①当双曲线的焦点在x轴上时,由题意知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以=tan=,所以b=a,c==2a,故双曲线C的离心率e===2;‎ ‎②当双曲线的焦点在y轴上时,由题意知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,所以=tan=,所以a=b,c==2b,故双曲线C的离心率e===.‎ 综上所述,双曲线C的离心率为2或,故选B.‎ ‎[答案] (1)B (2)B 易错点5 忽视限制条件致误 ‎【例5】 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________.‎ ‎[错解] 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.‎ 根据两圆外切的条件,得|MC1|-‎ ‎|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.‎ 因为|MA|=|MB|,‎ 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,‎ 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2.‎ 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数.‎ 又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线,其中a=1,c=3,则b2=8.‎ 故点M的轨迹方程为x2-=1.‎ ‎[错因分析] 错误运用双曲线定义出错.本题中,|MC2|-|MC1|=2,与双曲线定义相比,左边少了外层绝对值,因此只能是双曲线的一支.如果不注意,就会得出错误的结果,即点M的轨迹方程为x2-=1.‎ ‎[正解] 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.‎ 根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.‎ 因为|MA|=|MB|,‎ 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,‎ 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2.‎ 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数.‎ 又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8.‎ 故点M的轨迹方程为x2-=1(x<0).‎ 应注意平面内到两个定点F1,F2的距离之差等于定长2a(a>0)的点的轨迹不一定是双曲线;当定长2a<|F1F2‎ ‎|时,表示的只是双曲线的一支;当2a=|F1F2|时,表示的是一条射线;当2a>|F1F2|时,点的轨迹不存在.‎ ‎[对点专练5] ‎ ‎(1)直线y=kx+1(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点.则实数m的取值范围是( )‎ A.(0,1) B.(0,5)‎ C.[1,5)∪(5,+∞) D.(1,+∞)‎ ‎(2)双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为________.‎ ‎[解析] (1)由于直线恒过点(0,1),若恒有交点,所以m≥1,但是当m=5时曲线表示的是圆,故选C.‎ ‎(2)设|PF2|=m,∠F1PF2=θ(0<θ≤π),‎ 当点P在右顶点处时,θ=π.e====3.‎ 当θ≠π,由条件,得|PF1|=2m,|F1F2|2=m2+(2m)2-4m2cosθ,且||PF1|-|PF2||=m=2a.‎ 所以e===.‎ 又-10”致误 ‎【例6】 已知椭圆C:+y2=1,过点M(2,0)的直线与椭圆C交于A,B两点,设P为椭圆上一点,且满足+=t(O 为坐标原点),当|AB|<时,求实数t的取值范围.‎ ‎[错解] 由题意知直线AB的斜率存在,即t≠0.‎ 设直线AB的方程为y=k(x-2),‎ A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),‎ 由,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.‎ x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∵+=t,∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),‎ x==,‎ y==[k(x1+x2)-4k]=.‎ ‎∵P点在椭圆上,‎ ‎∴+=2,‎ ‎∴16k2=t2(1+2k2).‎ ‎∵|AB|=|x1-x2|<,‎ ‎∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<.‎ ‎∴(1+k2)<,‎ 得(4k2-1)(14k2+13)>0,∴k2>.‎ ‎∵t2==8-,且1+2k2>,‎ ‎∴0这一条件.‎ ‎[正解] 由题意知直线AB的斜率存在,即t≠0.‎ 设直线AB的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),‎ 由,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.‎ 由Δ=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,得k2<.‎ x1+x2=,x1x2=,‎ ‎∵+=t,‎ ‎∴(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),x==,‎ y==[k(x1+x2)-4k]=.‎ ‎∵点P在椭圆C上,‎ ‎∴+2=2,‎ ‎∴16k2=t2(1+2k2).‎ ‎∵|-|<,∴|x1-x2|<,‎ ‎∴(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<,‎ ‎∴(1+k2)<,‎ ‎∴(4k2-1)(14k2+13)>0,∴k2>.‎ ‎∴0这一重要条件.‎ ‎[对点专练6] ‎ 如图所示,椭圆C:+=1(a>b>0),其中e=,焦距为2,过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在点A,M之间.又线段AB的中点的横坐标为,且=λ.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)求实数λ的值.‎ ‎[解] (1)由条件可知,c=1,a=2,故b2=a2-c2=3,‎ 椭圆C的标准方程是+=1.‎ ‎(2)设点A(x1,y1),点B(x2,y2).‎ 由题知,AB所在直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-4).‎ 由消去y,得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0,①‎ 由Δ=322k4-4(4k2+3)(64k2-12)=144(1-4k2)>0,解得k2<,且,‎ 由==,可得k2=,‎ 将k2=代入方程①,得7x2-8x-8=0,‎ x1,2==.‎ 又因为=(4-x1,-y1),=(x2-4,y2),=λ,‎ 所以λ=,所以λ=.‎
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