黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二下学期期末考试理数

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齐齐哈尔市2017-2018学年度下学期期末考试 高二数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则( )‎ A．B．C．D．‎ ‎2.已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为( )‎ A．B．C．D．‎ ‎3.函数的零点所在区间为( )‎ A．B．C．D．‎ ‎4.下列函数中既是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )‎ A．B．C.D．‎ ‎5.《周髀算经》中有这样一个问题: 从冬至之日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气.其“日影长”依次成等差数列.若已知冬至、立春、春分的“日影长”之和为31.5尺，前九个节气“日影长”之和为85.5尺,则芒种“日影长”为( )‎ A.1.5尺B.2.5 尺C.3.5尺D.4.5 尺 ‎6.已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边过点， 则( )‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知，为的导函数，则的图象是( )‎ ‎ 10 / 10‎ A． B． C. D．‎ ‎8.下列四个命题中，真命题的序号是( )‎ ‎①“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎②命题，命题，则为真命题；‎ ‎③命题“”的否定是“”；‎ ‎④“若，则”的逆命题是真命题.‎ A．②③ B．②④ C.①③ D．①④‎ ‎9.2018年6月18日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎10.要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有( )‎ A．60种 B．120种 C.240种 D．360种 ‎11.已知是球的球面上的四个点，平面，,，则该球的表面积为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎12.在区间上任意取两个实数，则函数在区间上且仅有一个零点的概率为( )‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.多项式的展开式中含的项的系数为．（用数字做答）‎ ‎14.直线与抛物线围成的封闭图形的面积为．‎ ‎ 10 / 10‎ ‎15.某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（）如下表所示：（残差=真实值-预测值）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ 根据表中数据，得出关于的线性回归方程为：.据此计算出在样本处的残差为-0.15，则表中的值为．‎ ‎16.已知函数，若直线与曲线相切，则．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如下频率分布直方图：‎ ‎(1)求直方图中的值；‎ ‎(2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数、中位数各是多少（结果保留整数）；‎ ‎(3)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，试计算数据落在上的概率.‎ ‎（参考数据：若，则,）‎ ‎18.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面,分别是线段的中点，.‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)设点是线段的中点，求二面角的正弦值.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎19.随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付.有关部门为了了解各年龄段的人使用手机支付的情况，随机调查了50次商业行为，并把调查结果制成下表：‎ 年龄（岁）‎ 频数 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ 手机支付 ‎4‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎(1)若把年龄在的人称为中青年，年龄在的人称为中老年，请根据上表完成以下列联表；并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关系？‎ 手机支付 未使用手机支付 总计 中青年 中老年 总计 ‎(2)若从年龄在的被调查中随机选取2人进行调查，记选中的2人中，使用手机支付的人数为，求的分布列及数学期望.‎ 参考公式：，其中.‎ 独立性检验临界值表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.005‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎ 10 / 10‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，左顶点为，过的直线交椭圆于两点，直线与直线交于两点.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)试计算是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)令为的导函数，求的单调区间；‎ ‎(2)已知函数在处取得极大值，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，直线，直线.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；‎ ‎(2)已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的周长.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数,不等式的解集为.‎ ‎(1)求实数的值；‎ ‎(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎ 10 / 10‎ 齐齐哈尔市2017-2018学年度高二下学期期末考试答案 一、选择题 ‎1-5: BABDB 6-10:BACAB 11、12：DA 二、填空题 ‎13.10 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）由已知得，‎ 解得；‎ ‎（2） 众数=； ‎ 由前三组频率之和，‎ 前四组频率之和为，‎ 故中位数位于第四组内，‎ 中位数估计为 ；‎ ‎（3）因为从而 ‎18. 解：（1）证明：取的中点为，连接,‎ ‎∵四边形是正方形, 分别是线段 的中点, ‎ ‎,且,‎ ‎∴且,‎ ‎ 10 / 10‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴且平面，平面，‎ ‎（2）解：平面，四边形是正方形，‎ 两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系. ‎ 则 ‎.‎ 设平面的法向量为，‎ 则 得 可取 设平面的法向量为，则 得 可取 所以 所以二面角的正弦值为.‎ ‎19.解：（1）2×2列联表如图所示： ‎ 手机支付 未使用手机支付 总计 ‎ 中青年 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎ 中老年 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎ 10 / 10‎ 总计 ‎28‎ ‎22‎ ‎50‎ 所以在犯错误的概率不超过的前提下不能认为使用手机支付与年龄（中青年、中老年）有关系.‎ ‎（2）年龄在的被调查者共人，其中使用手机支付的有人，则抽取的人中使用手机支付的人数可能取值为，‎ 则 ；‎ ‎；‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎.‎ ‎20.解：（1）由题意知，右焦点即，且，解得，所以椭圆方程为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，‎ 易知，所以直线 令，可知：,此时.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 设，直线直线 ‎ 10 / 10‎ 令，可知 联立，消去整理得，‎ ‎∴‎ 此时 综上所述，是定值.‎ ‎21.解：（1）由，可得，‎ 所以，‎ 当时，，，函数单调递增；‎ 当时，，，函数单调递增，‎ ‎，，函数单调递减.‎ 所以当时，的单调增区间为；‎ 当时，的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（2）由题知，.‎ ‎①当，即时，由（1）知在内单调递增，‎ 可得当时，，当时，.‎ 所以在内单调递减，在内单调递增，‎ 所以在处取得极小值，不合题意.‎ ‎②当，即，在内单调递增，在内单调递减，‎ 所以当时，，单调递减，不合题意.‎ ‎ 10 / 10‎ ‎③当，即时，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 所以在处取得极大值，符合题意.‎ ‎④当时，时，，时，，‎ 故 在处取得极小值，不合题意.‎ 综上可知，实数的取值范围为.‎ ‎22．解：（1）直线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为 曲线的参数方程为（为参数）‎ ‎（2）联立，得到 同理又 所以根据余弦定理可得，‎ 所以周长.‎ ‎23．解（1）因为所以不等式，即所以 ‎，因为不等式解集为，所以或,解得 ‎.‎ ‎（2）关于的不等式恒成立，等价于恒成立，等价于恒成立，解得 ‎ 育星教育网　www.ht88.com ‎ ‎ 10 / 10‎