2018-2019学年福建省福州市八县（市）一中高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年福建省福州市八县（市）一中高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省福州市八县（市）一中高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．直线 y＝﹣x+1的倾斜角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由直线方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角．‎ ‎【详解】‎ 直线y＝﹣x+1的斜率为﹣1，‎ 设倾斜角为α，则tanα＝﹣1，‎ ‎∴α＝135°‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．‎ ‎2．某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n为（ ）‎ A．15 B．16 C．30 D．31‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据分层抽样的定义和性质进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 根据分层抽样原理，列方程如下，‎ ‎，‎ 解得n＝31．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．‎ ‎3．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”‎ C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球”‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．‎ 详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，‎ 在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；‎ 在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；‎ 在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，‎ 但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；‎ 在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．‎ 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.‎ ‎4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则 ； ②若则；③若，则； ④若,则，其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①利用线面平行的性质可得：若m∥α，n∥α，则m∥n、相交或为异面直线；②利用平面平行的传递性和平行平面的性质可得：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ；③利用线面垂直的性质可得：若，则；；④利用面面垂直的性质可得：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交．‎ ‎【详解】‎ ‎①若m∥α，n∥α，则m∥n、相交或为异面直线，不正确；‎ ‎②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ；正确；‎ ‎③若，则；正确；‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，不正确．‎ 综上可知：②和③正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题综合考查了空间中线面的位置关系及其判定性质，属于基础题．‎ ‎5．已知直线，直线，若，则直线与的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用直线平行的性质解得，再由两平行线间的距离求解即可 ‎【详解】‎ ‎∵直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，l1∥l2，‎ ‎∴，且 解得a＝﹣4．‎ 所以直线l1：4x-2y+1＝0，直线l2：4x-2y+3＝0，‎ 故与的距离为 ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运用．‎ ‎6．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示,则5个剩余分数的方差为( )‎ A． B． C．36 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由剩余5个分数的平均数为21，据茎叶图列方程求出x＝4，由此能求出5个剩余分数的方差．‎ ‎【详解】‎ ‎∵将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为21，‎ ‎∴由茎叶图得： ‎ 得x＝4，‎ ‎∴5个分数的方差为：‎ S2 ‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎7．已知直线不经过第一象限，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ 直线y＝（3﹣2k）x﹣6不经过第一象限，‎ 可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，‎ 解得k，‎ 则k的取值范围是[，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的运用，注意运用直线的斜率为0的情况，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎8．某工厂对一批新产品的长度(单位：)进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )‎ A．20，22.5 B．22.5，25 C．22.5，22.75 D．22.75，22.75‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可．‎ ‎【详解】‎ ‎：根据频率分布直方图，得平均数为5（12.5×0.02+17.5×0.04+22.5×0.08+27.5×0.03+32.5×0.03）＝22.75，‎ ‎∵0.02×5+0.04×5＝0.3＜0.5，‎ ‎0.3+0.08×5＝0.7＞0.5；‎ ‎∴中位数应在20～25内，‎ 设中位数为x，则 ‎0.3+（x﹣20）×0.08＝0.5，‎ 解得x＝22.5；‎ ‎∴这批产品的中位数是22.5．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数平均数的应用问题，是基础题目．‎ ‎9．三棱锥则二面角的大小为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】P在底面的射影是斜边的中点，设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，则∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角，在直角三角形PED中求出此角即可．‎ ‎【详解】‎ 因为AB＝10，BC＝8，CA＝6 所以底面为直角三角形 又因为PA＝PB＝PC 所以P在底面的射影为直角三角形ABC的外心，为AB 中点．‎ 设AB中点为D过D作DE垂直AC，垂足为E，所以DE平行BC，且DEBC＝4，所以∠PED即为二面角P﹣AC﹣B的平面角．‎ 因为PD为三角形PAB的中线，所以可算出PD＝4 所以tan∠PED 所以∠PED＝60°‎ 即二面角P﹣AC﹣B的大小为60°‎ 故答案为：60°．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，确定出二面角的平面角是解答本题的关键．‎ ‎10．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出基本事件总数n＝27，在得到的27个小正方体中，若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，则两面涂有油漆的小正方体共有12个，由此能求出在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体，‎ ‎∴基本事件总数n＝27，‎ 在得到的27个小正方体中，‎ 若其两面涂有油漆，则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上，‎ 且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体，‎ 则两面涂有油漆的小正方体共有12个，则在27个小正方体中，任取一个其两面涂有油漆的概率P= ‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型、正方体性质等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎11．已知点和点， 是直线上的一点，则 的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出A关于直线l：的对称点为C，则BC即为所求 ‎【详解】‎ 如下图所示：‎ 点，关于直线l：的对称点为C（0,2），连接BC,此时的最小值为 ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是两点间距离公式的应用，难度不大，属于中档题．‎ ‎12．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】取AB中点F,SC中点E，设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为，由，在四边形中，设，外接球半径为，则则 可求，表面积可求 ‎【详解】‎ 取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF, 因为则为二面角的平面角，即 ‎ 又 ‎ 设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为 ‎ 则面，由 ‎ 在四边形中，设，外接球半径为，则 ‎ 则三棱锥的外接球的表面积为 ‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题 二、填空题 ‎13．若三点共线则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三点共线与斜率的关系即可得出．‎ ‎【详解】‎ kAB1，kAC．‎ ‎∵三点共线，‎ ‎∴﹣1，解得m＝．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎14．已知圆的圆心在直线，与y轴相切，且被直线截得的弦长为，则圆C的标准方程为________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由圆心在直线x﹣3y＝0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，距离d，由圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．‎ ‎【详解】‎ 设圆心为（3t，t），半径为r＝|3t|，‎ 则圆心到直线y＝x的距离d|t|，‎ 而 （）2＝r2﹣d2，9t2﹣2t2＝7，t＝±1，‎ ‎∴圆心是（3，1）或（-3，-1）‎ 故答案为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．‎ ‎15．P是棱长为4的正方体的棱的中点，沿正方体表面从点A到点P的最短路程是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从图形可以看出图形的展开方式有二，一是以底棱BC，CD为轴，可以看到此两种方式是对称的，所得结果一样，另外一种是以侧棱为轴展开，即以BB1，DD1为轴展开，此两种方式对称，求得结果一样，故解题时选择以BC为轴展开与BB1为轴展开两种方式验证即可 ‎【详解】‎ 由题意，若以BC为轴展开，则AP两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为4，6，‎ 故两点之间的距离是 若以BB1为轴展开，则AP两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，8，‎ 故两点之间的距离是 故沿正方体表面从点A到点P的最短路程是cm 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，求解的关键是能够根据题意把求几何体表面上两点距离问题转移到平面中来求 ‎16．利用直线与圆的有关知识求函数的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令得，转化为z==，再利用圆心到直线距离求最值即可 ‎【详解】‎ 令，则 ‎ 故转化为z== ，表示上半个圆上的点到直线的距离的最小值的5倍，即 ‎ 故答案为3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，是中档题 三、解答题 ‎17．已知直线与直线的交点为P，点Q是圆上的动点.‎ ‎（1）求点P的坐标；‎ ‎（2）求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）联立方程求解即可；（2）设直线PQ的斜率为，得直线PQ的方程为，由题意，直线PQ与圆有公共点得求解即可 ‎【详解】‎ ‎（1）由得 ∴P的坐标为 ‎ 的坐标为 .‎ ‎（2）由得 ‎∴圆心的坐标为，半径为 ‎ 设直线PQ的斜率为，‎ 则直线PQ的方程为 ‎ 由题意可知，直线PQ与圆有公共点 即 或 ‎ ‎∴直线PQ的斜率的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线交点坐标，考查直线与圆的位置关系，考查运算能力，是基础题 ‎18．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，D为的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求与所成角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2） .‎ ‎【解析】（1）连接，设与相交于点O，连接OD.证明 OD为的中位线，得，即可证明；（2）由（1）可知，为与所成的角或其补角，在中，利用余弦定理求解即可 ‎【详解】‎ ‎(1)证明：如图，连接，设与相交于点O，连接OD. ‎ ‎∵四边形是平行四边形．‎ ‎∴点O为的中点． ‎ ‎∵D为AC的中点，‎ ‎∴OD为的中位线，‎ ‎ ‎ 平面，平面， 平面 .‎ ‎（2）由（1）可知，为与所成的角或其补角 ‎ 在中，D为AC的中点，则 同理可得， ‎ 在中， ‎ 与BD所成角的余弦值为 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，考查空间想象能力与计算能力是基础题 ‎19．某中学从高三男生中随机抽取n名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如表所示：‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎5‎ ‎0.05‎ 第2组 a ‎0.35‎ 第3组 ‎30‎ b 第4组 ‎20‎ ‎0.20‎ 第5组 ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 n ‎1.00‎ ‎（1）求出频率分布表中的值，并完成下列频率分布直方图；‎ ‎（2）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第1，4，5组中用分层抽样取7名学生进行不同项目的体能测试，若在这7名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第4组中至少有一名学生被抽中的概率.‎ ‎【答案】（1）直方图见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题意知，0.050，从而n＝100，由此求出第2组的频数和第3组的频率，并完成频率分布直方图．（2）利用分层抽样， 35名学生中抽取7名学生，设第1组的1位学生为，第4组的4位同学为,第5组的2位同学为，利用列举法能求出第4组中至少有一名学生被抽中的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由频率分布表可得 ‎，所以， ； ‎ ‎ ‎ ‎（2）因为第1，4，5组共有35名学生，利用分层抽样，在35名学生中抽取7名学生，每组分别为：第1组；第4组；第5组.‎ 设第1组的1位学生为，第4组的4位同学为,第5组的2位同学为.‎ 则从7位学生中抽两位学生的基本事件分别为：一共21种. ‎ 记“第4组中至少有一名学生被抽中”为事件，即包含的基本事件分别为：‎ 一共3种，于是 所以， .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎20．某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎（1）若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；‎ ‎（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】（1）首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程．（2）由古典概型列举基本事件求解即可 ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 因此，所求回归直线方程为：. ‎ ‎(2)‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ ‎30.5‎ ‎43.5‎ ‎50‎ ‎56.5‎ ‎69.5‎ 基本事件：共10个， ‎ 两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5：共3个 所以两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的概率为 .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查古典概型，是基础题 ‎21．如图，在四棱锥中，，侧面底面.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，且二面角等于，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）由得，，由侧面底面得侧面，由面面垂直的判定即可证明；（2）由侧面，可得， 得是二面角的平面角，，推得为等腰直角三角形，取的中点，连接可得，由平面平面，得平面，证明平面，得点到平面的距离等于点到平面的距离，，再利用 求解即可 ‎【详解】‎ ‎（1）证明：由可得，‎ 因为侧面底面，交线为底面且 则侧面，平面 所以，平面平面 ；‎ ‎（2）由侧面可得，， ‎ 则是二面角的平面角，‎ 由可得，为等腰直角三角形 ‎ 取的中点，连接可得 因为平面平面，交线为平面且 所以平面，点到平面的距离为. ‎ 因为平面 则平面 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，.‎ 设，则 在中，；在中，‎ 设直线与平面所成角为 即 所以，直线与平面所成角的正弦值为. ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的判定，二面角及线面角的求解，考查空间想象能与运算求解能力，关键是线面平行的性质得到点D到面的距离,是中档题 ‎22．已知两个定点，动点满足.设动点的轨迹为曲线，直线.‎ ‎（1）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（2）若与曲线交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；‎ ‎（3）若， 是直线上的动点，过作曲线的两条切线，切点为，探究：直线是否过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由，则点到边的距离为，由点到线的距离公式得直线的斜率；（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设，则圆的圆心为运用直径式圆的方程，得直线的方程为，结合直线系方程，即可得到所求定点．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设点的坐标为 由可得，，‎ 整理可得 所以曲线的轨迹方程为. ‎ ‎（2）依题意，，且，则点到边的距离为 即点到直线的距离，解得 所以直线的斜率为.‎ ‎（3）依题意，，则都在以为直径的圆上 是直线上的动点，设 则圆的圆心为，且经过坐标原点 即圆的方程为 ，‎ 又因为在曲线上 由，可得 即直线的方程为 由且可得，解得 所以直线是过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎