【数学】2020届一轮复习人教B版抛物线的标准方程与几何性质学案

【数学】2020届一轮复习人教B版抛物线的标准方程与几何性质学案

考查角度4　抛物线的标准方程与几何性质 ‎　　分类透析一　抛物线的定义与应用 例1 在平面直角坐标系xOy中,设点F‎1‎‎2‎‎,0‎,直线l:x=-‎1‎‎2‎,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l,则动点Q的轨迹方程为　　　　. ‎ 解析 由题意知,点R是线段FP的中点,且RQ⊥FP,‎ ‎∴RQ是线段FP的垂直平分线.‎ ‎∵|PQ|是点Q到直线l的距离,又点Q在线段FP的垂直平分线上,‎ ‎∴|PQ|=|QF|.结合抛物线的定义,‎ 可知动点Q的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为y2=2x.‎ 答案 y2=2x 方法技巧 结合图形,借助垂直平分线的性质进行适当的转化,得到该动点满足抛物线轨迹的条件,从而确定其轨迹方程,需要注意限定条件的应用.‎ ‎　　分类透析二　抛物线的标准方程 例2 已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则抛物线的方程为(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.y2=4x B.y2=-4x C.x2=4y D.x2=-4y 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知抛物线的焦点坐标为Fp‎2‎‎,0‎,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-p‎2‎,即x=y+p‎2‎,将其代入抛物线方程得y2-2py-p2=0,所以y‎1‎‎+‎y‎2‎‎2‎=p=2,‎ 所以抛物线的方程为y2=4x,故选A.‎ 答案 A 方法技巧 确定抛物线的标准方程时,可以借助抛物线的几何性质,也可以利用直线与抛物线的位置关系进行求解.‎ ‎　　分类透析三　抛物线的几何性质与应用 例3 如图,AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,则‎1‎‎|FA|‎+‎1‎‎|FB|‎的值为(　　).‎ A.p‎2‎ B.p C.‎2‎p D.2p 解析 当直线AB的斜率不存在,即与x轴垂直时,|FA|=|FB|=p,∴‎1‎‎|FA|‎+‎1‎‎|FB|‎=‎1‎p+‎1‎p=‎2‎p.‎ 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx-‎p‎2‎,代入y2=2px中,得kx-‎kp‎2‎‎2‎=2px,即k2x2-p(k2+2)x+k‎2‎p‎2‎‎4‎=0.‎ 设A(xA,yA),B(xB,yB),‎ 则xA+xB=p(k‎2‎+2)‎k‎2‎,xAxB=p‎2‎‎4‎.‎ ‎∵|FA|=xA+p‎2‎,|FB|=xB+p‎2‎,‎ ‎∴|FA|+|FB|=xA+xB+p,‎ ‎∴|FA|·|FB|=‎xA‎+‎p‎2‎xB‎+‎p‎2‎ ‎=xAxB+p‎2‎(xA+xB)+p‎2‎‎4‎=p‎2‎(xA+xB+p).‎ ‎∴|FA|+|FB|=|FA|·|FB|·‎2‎p,即‎1‎‎|FA|‎+‎1‎‎|FB|‎=‎2‎p,选C.‎ 答案 C 方法技巧 该题给出了抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质,解题时,不可忽视AB⊥x轴的情况.‎ 例4 设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上的三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=　　　　. ‎ 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),‎ 由题意知,F(1,0),p=2.因为FA+FB+FC=0,‎ 所以(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,‎ 即x1+x2+x3=3,‎ 所以|FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+‎3‎‎2‎p=6.‎ 答案 6‎ 方法技巧 对于抛物线和平面向量相结合的题目,可以借助平面向量的坐标运算求解,需要注意平面向量的有关运算性质的运用.‎ ‎1.(2018年全国Ⅰ卷,理8改编)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为1的直线与C交于M,N两点,若FM·FN=4,则p=　　　　. ‎ 解析 由题意得直线的方程为y=x+2,‎ 设点M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 则联立方程组y=x+2,‎y‎2‎‎=2px,‎消去y并整理,‎ 得x2+(4-2p)x+4=0,则x1x2=4,x1+x2=2p-4.‎ 因为FM=x‎1‎‎-p‎2‎,‎y‎1‎,FN=x‎2‎‎-p‎2‎,‎y‎2‎,‎ 所以FM·FN=x‎1‎‎-p‎2‎,‎y‎1‎·‎x‎2‎‎-p‎2‎,‎y‎2‎ ‎=x‎1‎‎-‎p‎2‎·x‎2‎‎-‎p‎2‎+y1y2‎ ‎=2x1x2+‎2-‎p‎2‎(x1+x2)+p‎2‎‎4‎+4=4,‎ 解得p=8(其中p=0舍去),故p的值为8.‎ 答案 8‎ ‎2.(2017年全国Ⅰ卷,理10改编)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作互相垂直的两条直线AB,CD与抛物线分别相交于点A,B以及C,D,若‎1‎‎|AF|‎+‎1‎‎|BF|‎=1,则四边形ACBD的面积取得最小值时,直线AB方程为(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.y=±(x-1) B.y=x-1‎ C.y=1-x D.y=2x-1‎ 解析 由抛物线的性质可知‎1‎‎|AF|‎+‎1‎‎|BF|‎=‎2‎p,‎ 又‎1‎‎|AF|‎+‎1‎‎|BF|‎=1,∴p=2,即y2=4x.‎ 设直线AB的斜率为k(k≠0),则直线CD的斜率为-‎1‎k.‎ ‎∴直线AB的方程为y=k(x-1),‎ 联立y=k(x-1),‎y‎2‎‎=4x,‎消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ 从而xA+xB=2+‎4‎k‎2‎,xAxB=1.‎ 由弦长公式得|AB|=4+‎4‎k‎2‎,‎ 以-‎1‎k换k得|CD|=4+4k2,‎ 故四边形ACBD的面积为‎1‎‎2‎|AB|·|CD|=‎1‎‎2‎‎4+‎‎4‎k‎2‎·(4+4k2)=8‎2+k‎2‎+‎‎1‎k‎2‎≥32(当k2=1时取等号),即面积的最小值为32,此时直线AB的方程为y=±(x-1).‎ 答案 A ‎3.(2018年全国Ⅲ卷,理16改编)已知点M(0,2)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若MA·MB=4,则k=　　　　. ‎ 解析 抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线斜率不存在时,易知A(1,2),B(1,-2),则MA·MB=1,不合题意.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组y‎2‎‎=4x,‎y=k(x-1),‎整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,‎ 则x1+x2=‎2k‎2‎+4‎k‎2‎=2+‎4‎k‎2‎,x1x2=1,‎ ‎∴y1+y2=k(x1+x2)-2k=‎4‎k,y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4.‎ 又MA·MB=4,∴MA·MB=(x1,y1-2)·(x2,y2-2)=4,解得k=-‎8‎‎3‎.‎ 答案 -‎‎8‎‎3‎ ‎1.(2018湖北黄冈中学月考试题)抛物线x2=4y的焦点坐标是(　　).‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)‎ 解析 ∵x2=4y=2py,∴p=2,∴焦点坐标为‎0,‎p‎2‎,即为(0,1),故选B.‎ 答案 B ‎2.(河北省衡水中学2018届高三数学三轮复习系列七)拋物线y=2x2的准线方程是(　　).‎ A.x=‎1‎‎2‎ B.x=-‎‎1‎‎2‎ C.y=‎1‎‎8‎ D.y=-‎‎1‎‎8‎ 解析 抛物线y=2x2可化为x2=‎1‎‎2‎y,焦点在y轴上,2p=‎1‎‎2‎,∴p‎2‎=‎1‎‎8‎,∴抛物线y=2x2的准线方程是y=-‎1‎‎8‎,故选D.‎ 答案 D ‎3.(辽宁省凌源市2018届高三毕业班一模考试试题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A(0,-‎3‎).若线段FA与抛物线C相交于点M,则|MF|=(　　).‎ A.‎4‎‎3‎ B.‎5‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎3‎ 解析 由题意得线段AF:y=‎3‎x-‎3‎(0≤x≤1).联立y=‎3‎x-‎3‎,‎y‎2‎‎=4x,‎解得M‎1‎‎3‎‎,-‎‎2‎‎3‎‎3‎.又p‎2‎=1,所以|MF|=‎1‎‎3‎+1=‎4‎‎3‎,故选A.‎ 答案 A ‎4.(东北三省三校2018届高三第二次模拟考试试题)过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且x1+x2=‎4‎‎3‎,则弦AB的长为(　　).‎ A.‎16‎‎3‎ B.4 C.‎10‎‎3‎ D.‎‎8‎‎3‎ 解析 由抛物线的方程可得p=2.根据抛物线的焦点弦公式x1+x2+p,得弦AB的长为‎4‎‎3‎+2=‎10‎‎3‎.故选C.‎ 答案 C ‎5.(河北省廊坊市第八高级中学2018届高三模拟试题)若过抛物线y=‎1‎‎4‎x2焦点的直线与抛物线交于A,B两点(不重合),则OA·OB(O为坐标原点)的值是(　　).‎ A.‎3‎‎4‎ B.-‎3‎‎4‎ C.3 D.-3‎ 解析 由题意知抛物线的方程为x2=4y,焦点为F(0,1).设AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+1,‎x‎2‎‎=4y,‎得x2-4kx-4=0,所以x1x2=-4,y1y2=‎1‎‎16‎(x1x2)2=1,故OA·OB=x1x2+y1y2=-3,选D.‎ 答案 D ‎6.(湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试)已知点P(-1,4),过点P恰好存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,则抛物线C的标准方程为(　　).‎ A.x2=‎1‎‎4‎y B.x2=4y或y2=-16x C.y2=-16x D.x2=‎1‎‎4‎y或y2=-16x 解析 过点P(-1,4)恰好存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点,‎ ‎∴点P一定在抛物线C上,即两条直线分别为一条切线,一条与抛物线的对称轴平行的直线.‎ 若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线C的方程为y2=2px,‎ 则将点P(-1,4)代入方程可得2p=-16,∴抛物线C的标准方程为y2=-16x;‎ 若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线C的方程为x2=2py,‎ 则将点P(-1,4)代入方程可得2p=‎1‎‎4‎,‎ ‎∴抛物线C的标准方程为x2=‎1‎‎4‎y.‎ 综上所述,选D.‎ 答案 D ‎7.(山东省2018年普通高校招生(春季)考试)已知抛物线x2=ay(a≠0)的焦点为F,准线为l,该抛物线上的点M到x轴的距离为5,且|MF|=7,则焦点F到准线l的距离是(　　).‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ 解析 因为|MF|=7,点M到x轴的距离为5,所以‎|a|‎‎4‎=7-5,故|a|=8,‎ 因此焦点F到准线l的距离是‎|a|‎‎2‎=4,故选C.‎ 答案 C ‎8.(山西省2018年高考考前适应性测试)已知抛物线C:y2=x,过点P(a,0)的直线与C相交于A,B两点,O为坐标原点,若OA·OB<0,则实数a的取值范围是(　　).‎ A.(-∞,0) B.(0,1)‎ C.(1,+∞) D.{1}‎ 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),过点P的直线为x=my+a,‎ 联立y‎2‎‎=x,‎x=my+a,‎消去x得y2-my-a=0,‎ ‎∴y1+y2=m,y1y2=-a,‎ ‎∴x1+x2=m(y1+y2)+2a=m2+2a,x1x2=(my1+a)(my2+a)=a2.‎ ‎∵OA·OB=x1x2+y1y2=a2-a<0,∴00)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,|AF|·|BF|=8,则p的值为(　　).‎ A.4 B.‎1‎‎2‎ C.1 D.2‎ 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),∵抛物线y2=2px的焦点Fp‎2‎‎,0‎,准线方程为x=-p‎2‎,∴直线AB的方程为y=x-p‎2‎,代入y2=2px可得x2-3px+p‎2‎‎4‎=0,∴x1+x2=3p,x1x2=p‎2‎‎4‎.又|AF|=x1+p‎2‎,|BF|=x2+p‎2‎,∴|AF|·|BF|=x‎1‎‎+‎p‎2‎x‎2‎‎+‎p‎2‎=x1x2+p‎2‎(x1+x2)+p‎2‎‎4‎=p‎2‎‎4‎+‎3‎p‎2‎‎2‎+p‎2‎‎4‎=2p2=8,解得p=2,故选D.‎ 答案 D ‎10.(广西梧州市2018届高三3月适应性测试(二模))设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于点M,N,与y轴交于点(0,‎3‎),与l交于点P,点M在线段PF上,若|PM|=2|MF|,则|MN|=(　　).‎ A.‎9‎‎4‎ B.‎25‎‎4‎ C.‎8‎‎3‎ D.‎‎16‎‎3‎ 解析 由题意可得Mp‎6‎‎,‎‎2‎‎3‎‎3‎,2p·p‎6‎=‎12‎‎9‎,p=2,直线MN的方程为y=-‎3‎(x-1).由y=-‎3‎(x-1),‎y‎2‎‎=4x,‎得M‎1‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎‎3‎,N(3,-2‎3‎),∴|MN|=‎16‎‎3‎,故选D.‎ 答案 D ‎11.(贵州省黔东南州2018届高三第一次模拟考试)过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,以线段AB为直径的圆的圆心为O1,半径为r.点O1到C的准线l的距离与r之积为25,则r(x1+x2)=(　　).‎ A.40 B.30 C.25 D.20‎ 解析 由抛物线的性质知,点O1到C的准线l的距离为‎1‎‎2‎|AB|=r.‎ 依题意得r2=25,解得r=5.又点O1到C的准线l的距离为‎1‎‎2‎(x1+x2+2)=r=5,则有x1+x2=8,故r(x1+x2)=40,故选A.‎ 答案 A ‎12.(山西省太原市2018届高三3月模拟考试(一)试题)抛物线y2=8x的焦点为F,设A,B是抛物线上的两个动点,|AF|+|BF|=‎2‎‎3‎‎3‎|AB|,则∠AFB的最大值为(　　).‎ A.π‎3‎ B.‎3π‎4‎ C.‎5π‎6‎ D.‎‎2π‎3‎ 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎∵抛物线y2=8x的焦点为F,‎ ‎∴F(2,0).‎ ‎∵|AF|+|BF|=‎2‎‎3‎‎3‎|AB|,‎ ‎∴由余弦定理得 cos∠AFB=‎‎|AF‎|‎‎2‎+|BF‎|‎‎2‎-|AB‎|‎‎2‎‎2|AF|·|BF|‎ ‎=‎‎(|AF|+|BF|‎)‎‎2‎-2|AF|·|BF|-|AB‎|‎‎2‎‎2|AF|·|BF|‎ ‎=‎4‎‎3‎‎|AB‎|‎‎2‎-|AB‎|‎‎2‎‎2|AF|·|BF|‎-1‎ ‎=‎1‎‎3‎‎|AB‎|‎‎2‎‎2|AF|·|BF|‎-1.‎ 又∵|AF|+|BF|=‎2‎‎3‎‎3‎|AB|≥2‎|AF|·|BF|‎,‎ ‎∴|AF|·|BF|≤‎1‎‎3‎|AB|2,当且仅当|AF|=|BF|时取等号.‎ ‎∴cos∠AFB≥‎1‎‎3‎‎|AB‎|‎‎2‎‎2×‎1‎‎3‎|AB‎|‎‎2‎-1=-‎1‎‎2‎,而0<∠AFB<π,‎ ‎　　∴∠AFB的最大值为‎2π‎3‎.‎ 故选D.‎ 答案 D ‎13.(河北省衡水中学2018届高三上学期九模考试)抛物线y2=ax(a>0)上的点P‎3‎‎2‎‎,‎y‎0‎到焦点F的距离为2,则a=　　　　. ‎ 解析 抛物线的标准方程为y2=ax,焦点坐标为a‎4‎‎,0‎,准线方程为x=-a‎4‎.‎ 由抛物线的焦半径公式|PF|=x0+p‎2‎=‎3‎‎2‎+a‎4‎=2,解得a=2.‎ 答案 2‎ ‎14.(2018年天津市南开中学高三模拟考试试题)已知抛物线的方程为y2=2px,其中p>0,焦点为F,准线为l,过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标为3,则p=　　　　. ‎ 解析 由题意知,抛物线y2=2px的焦点为Fp‎2‎‎,0‎,准线l的方程为x=-p‎2‎.‎ 由抛物线的定义可得|ME|=|MF|.‎ 又|EF|=|MF|,所以△MEF为等边三角形.‎ 设点M的坐标为(3,m),则点E的坐标为‎-p‎2‎,m.‎ 把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2=6p,‎ 再由|EF|=|MF|,可得p2+m2=‎3+‎p‎2‎‎2‎,‎ 即p2+6p=9+p‎2‎‎4‎+3p,‎ 解得p=2或p=-6(舍去).‎ 答案 2‎ ‎15.(陕西省西安市长安区第一中学2018届高三上学期第八次质量检测)如图,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是　　　　. ‎ 解析 抛物线的准线方程为x=-2,焦点为F(2,0),由抛物线的定义可得|AF|=xA+2.又圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,‎ ‎∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB.‎ 由抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16可得交点的横坐标为2,‎ ‎∴xB∈(2,6),∴△FAB的周长为6+xB∈(8,12).‎ 答案 (8,12)‎