高中数学人教a版选修4-1知能达标演练：2-1圆周角定理 含解析

高中数学人教a版选修4-1知能达标演练：2-1圆周角定理 含解析

一、选择题 ‎1．下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的有 ‎(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　考查圆的一些基本概念．‎ 答案　B ‎ ‎2．如图所示，若D是的中点，则与∠ABD相等的角的个数是 ‎(　　)．‎ A．7 B．3‎ C．2 D．1‎ 解析　由同弧或等弧所对的圆周角相等知∠ABD＝∠CBD＝∠ACD＝∠DAC，故与∠ABD相等的角有3个．‎ 答案　B ‎3．如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于 ‎(　　)．‎ A．4π B．8π C．12π D．16π 解析　连接OA、OB，‎ ‎∵∠ACB＝30°，‎ ‎∴∠AOB＝60°，‎ 又∵OA＝OB，‎ ‎∴△AOB为等边三角形，‎ 又AB＝4，‎ ‎∴OA＝OB＝4，‎ ‎∴S⊙O＝π·42＝16π.‎ 答案　D ‎4．如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有(　　)．‎ A．1对　　　　　　　 B．2对 C．3对　　　　　　　 D．4对 解析　由推论1知∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，‎ ‎∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.‎ 答案　B 二、填空题 ‎5．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．‎ 解析　连接CP，由推论2知∠CPA＝90°，‎ 即CP⊥AB，由射影定理知AC2＝AP·AB，‎ ‎∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.‎ 答案　6.4‎ ‎6．如图所示，AB为⊙O的直径，AC＝‎4 cm，BC＝‎3 cm，CD⊥AB于D，则CD的长为________ cm.‎ 解析　由AB为⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，由勾股定理可得AB＝‎5 cm，因S△ACB＝AC·BC＝AB·CD.‎ 故3×4＝5·CD，所以CD＝ cm.‎ 答案　 ‎7．如图所示，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是________．‎ 解析　由圆周角定理得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以周长等于9.‎ 答案　9‎ ‎8．如图所示，若△ABC为等腰三角形，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是B的中点，E是A的中点，分别连接BD、DE、BE，则△BDE的三内角的度数分别是________．‎ 解析　如图所示，连接AD.‎ ‎∵AB＝AC，D是B的中点，‎ ‎∴AD过圆心O.‎ ‎∵∠A＝40°，‎ ‎∴∠BED＝∠BAD＝20°.‎ ‎∠CBD＝∠CAD＝20°.‎ ‎∵E是A的中点，‎ ‎∴∠CBE＝∠CBA＝35°.‎ ‎∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°.‎ ‎∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°.‎ 答案　55°　20°　105°‎ 三、解答题 ‎9．如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC＝‎3 cm，BC＝‎4 cm，CD⊥AB，垂足为D，求AD、BD和CD的长．‎ 解　∴AB是⊙O的直径，‎ ‎∵AC⊥BC.‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴AC2＝AD·AB，‎ BC2＝BD·AB.‎ ‎∵AC＝‎3 cm，‎ BC＝‎4 cm，‎ ‎∴AB＝‎5 cm.‎ ‎∴AD＝ cm，‎ BD＝ cm.‎ ‎∵CD2＝AD·BD＝×＝ cm2.‎ ‎∴CD＝ ＝ cm，AD＝ cm，‎ BD＝ cm.‎ ‎10．如图，△ABC内接于⊙O，＝，点D是上任意一点，AD＝‎6 cm，BD＝‎5 cm，CD＝‎3 cm，求DE的长．‎ 解　在题图中∵＝，‎ ‎∴∠ADB＝∠CDE，‎ 又∵＝B，‎ ‎∴∠BAD＝∠ECD，∴△ABD∽△CED，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴ED＝‎2.5 cm.‎ ‎11．(拓展深化)如图①所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．‎ ‎(1)求证：AB2＝AD·AE；‎ ‎(2)如图②所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ 证明　(1)如图③，连接BE.‎ ‎∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.‎ ‎∵∠ACB＝∠AEB，‎ ‎∴∠ABC＝∠AEB.‎ ‎∴△ABD∽△AEB. ‎ ‎∴AB∶AE＝AD∶AB，‎ 即AB2＝AD·AE.‎ ‎(2)如图④，连接BE、EC，‎ ‎∵四边形ABCE内接于⊙O，‎ ‎∴∠CED＝∠ABC，‎ ‎∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，‎ ‎∴∠CED＝∠ACB，‎ ‎∵∠AEC＝180°－∠CED，‎ ‎∠ACD＝180°－∠ACB，‎ ‎∴∠AEC＝∠ACD，∴△ACE∽△ADC，‎ ‎∴＝，∴AB2＝AD·AE.‎