浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

浙江省宁波市慈溪市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019学年第一学期期中联考高二年级数学学科测试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.经过A(5，0)，B(2，3)两点的直线的倾斜角为（ ）‎ A. 45° B. 60°‎ C. 90° D. 135°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角.‎ ‎【详解】因为A(5，0)，B(2，3),所以过两点的直线斜率为,‎ 所以倾斜角为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线倾斜角的求解,明确直线和倾斜角的关系是求解本题的关键,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎2.直线过点且与直线垂直，则的方程为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所求直线与已知直线垂直,可以设出直线,结合所过点可得.‎ ‎【详解】因为直线与直线垂直,‎ 所以设直线,‎ 因为直线过点,‎ 所以,即方程为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，与已知直线平行的直线一般可设其方程为；与已知直线垂直的直线一般可设其方程为.‎ ‎3.一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　)‎ A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 平行 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 如下图所示,三条直线平行,与异面,而与异面,与相交,故选C.‎ ‎4. 不在3x+2y＞3表示的平面区域内的点是（ ）‎ A. （0，0） B. （1，1） C. （0，2） D. （2，0）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：将各个点的坐标代入，判断不等式是否成立，可得结论．‎ 解：将（0，0）代入，此时不等式3x+2y＞3不成立，故（0，0）不在3x+2y＞3表示的平面区域内，‎ 将（1，1）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（1，1）在3x+2y＞3表示的平面区域内，‎ 将（0，2）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（0，2）在3x+2y＞3表示的平面区域内，‎ 将（2，0）代入，此时不等式3x+2y＞3成立，故（2，0）在3x+2y＞3表示的平面区域内，‎ 故选A．‎ 考点：二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎5.已知点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A，点A关于y轴的对称点为B，则|AB|=( )‎ A. 2 B. ‎ C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据对称逐个求出点的坐标,结合空间中两点间的距离公式可求.‎ ‎【详解】因为点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A,‎ 所以,‎ 因为点A关于y轴的对称点为B,‎ 所以,所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间点的对称关系及两点间的距离公式,明确对称点间坐标的关系是求解的关系,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ ‎6.如图，在长方体中，M，N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1和DM所成角为（ ）‎ A. 30° B. 45°‎ C. 60° D. 90°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，结合，求出的坐标，利用向量夹角公式可求.‎ ‎【详解】以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图,‎ 设,则,,‎ ‎,‎ 因为,所以,即有.‎ 因为,所以,即异面直线和所成角为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求解，异面直线所成角主要利用几何法和向量法，几何法侧重于把异面直线所成角平移到同一个三角形内，结合三角形知识求解；向量法侧重于构建坐标系，利用向量夹角公式求解.‎ ‎7.点M，N在圆x2+y2+kx-2y=0上，且关于直线y=kx+1对称，则k=（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的对称性可知，直线y=kx+1一定经过圆心，从而可求.‎ ‎【详解】由题意可知圆心,因为点M,N在圆x2+y2+kx-2y=0上,且关于直线y=kx+1对称,‎ 所以直线y=kx+1一定经过圆心,所以有,即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用圆的性质求解参数，若圆上的两点关于某直线对称，则直线一定经过圆心，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ ‎8.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，‎ 可得 考点：空间线面平行垂直的判定与性质 ‎9.动点P到点A(6，0)的距离是到点B(2，0)的距离的倍，则动点P的轨迹方程为（ ）‎ A. (x+2)2+y2=32‎ B. x2+y2=16‎ C. (x-1)2+y2=16‎ D. x2+(y-1)2=16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先设出动点P的坐标，根据条件列出等量关系，化简可得.‎ ‎【详解】设,则由题意可得,即,‎ 化简可得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,建系,设点,列式,化简是这类问题的常用求解步骤,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎10.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出曲线的图形,结合图形可求的取值范围.‎ ‎【详解】因为,所以,如图,‎ 观察图形可得,直线过点及与半圆相切时可得的临界值,‎ 由与相切可得,‎ 所以的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用直线与圆的位置关系求解参数，准确作图是求解本题的关键，注意曲线是半圆,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ 二、填空题(本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分)‎ ‎11.已知直线，直线.若直线的倾斜角为，则=_________;若，则，之间的距离为_____.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线的倾斜角和斜率的关系可求；根据两条直线平行可得，再结合平行直线间的距离公式可求.‎ ‎【详解】因为直线的倾斜角为,所以所以它的斜率为1,即;‎ 因为，所以,即,‎ 所以，之间的距离为.‎ 故答案为：1；.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的倾斜角与方程的关系，平行直线间的距离，明确斜率和直线倾斜角的关系是求解的关键，两条直线平行的条件使用是思考的方向，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎12.圆C:x2+y2-8x-2y=0的圆心坐标是____;关于直线l:y=x-1对称的圆C'的方程为_.‎ ‎【答案】 (1). (4，1) (2). (x-2)2+(y-3)2=17‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的一般式方程和圆心的关系可求，先求解对称圆的圆心，结合对称性，圆的半径不变可得对称圆的方程.‎ ‎【详解】由圆的一般式方程可得圆心坐标,半径;‎ 设关于直线的对称点为,则,解得,‎ 所以圆关于直线对称的圆的方程为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用圆的一般式方程求解圆心，半径；点关于直线对称的问题一般是利用垂直关系和中点公式建立方程组求解，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中，直线l:mx-y-2m-1=0(m∈R)过定点__，以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_.‎ ‎【答案】 (1). (2，-1) (2). (x-1)2+y2=2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先整理直线的方程为,由可得定点;由于直线过定点,所以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中,最大半径就是两点间的距离.‎ ‎【详解】因为,由可得,所以直线经过定点;‎ 以点为圆心且与l相切的所有圆中,最大圆的半径为,‎ 所以所求圆的标准方程为.‎ 故答案为：;.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线过定点问题和圆的方程求解，直线恒过定点问题一般是整理方程为，由且可求.‎ ‎14.若x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为_____ ;若目标函数 z=ax+2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的取值范围是_.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，平移目标函数，可得最小值；根据可行域形状，结合目标函数仅在点(1，0)处取得最小值可得a的取值范围.‎ ‎【详解】作出可行域,如图,‎ 由图可知,平移（图中虚线）,在点处取到最小值,‎ 联立可得,所以的最小值为.‎ 当时,如图,‎ 由图可知,当斜率时,即时,符合要求；‎ 当时,显然符合要求；‎ 当时,如图,‎ 由图可知,当斜率时,即时,符合要求；‎ 综上可得,a的取值范围是.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划求解最值和利用最值点求解参数，准确作出可行域是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ ‎15.正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，连接交于点，连接．因为是正方体，所以面，从而可得，所以面，从而有，所以是二面角的平面角．设正方体的边长为1，则，所以在中有 ‎16.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出如下命题:‎ ‎①若⊥，m//，则m⊥;‎ ‎②若⊥，⊥，则//;‎ ‎③若⊥，m⊥，，则m//;‎ ‎④若⊥，∩=m，，n⊥m，则n⊥.‎ 其中正确的是_.‎ ‎【答案】③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①②，结合反例可得不正确；对于③，若⊥，m⊥，，则m//；‎ 对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.‎ 详解】对于①, ⊥，m//，可得直线可能与平面平行，相交，故不正确；‎ 对于②，⊥，⊥，可得平面可能平行和相交，故不正确；‎ 对于③，⊥，m⊥，可得直线可能与平面平行或者直线在平面内，由于，所以，故正确；‎ 对于④，由面面垂直的性质定理可得正确.‎ 故答案为：③④.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，构建模型是求解此类问题的关键，考虑不全面是易错点，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.‎ ‎17.将一张坐标纸折叠一次，使得点P(1，2)与点Q(-2，1)重合，则直线y=x+4关于折痕对称的直线为_.‎ ‎【答案】x+7y-20=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据点P(1，2)与点Q(-2，1)重合可得折痕所在直线的方程，然后结合直线关于直线对称可求.‎ ‎【详解】因为点P(1，2)与点Q(-2，1)重合，所以折痕所在直线是的中垂线，其方程为；‎ 联立可得交点.‎ 在直线取一点，设关于折痕的对称点为，‎ 则，解得；‎ 由直线两点式方程可得，整理得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线关于直线的对称问题，相交直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称问题，利用垂直关系和中点公式可求，侧重考查数学运算的核心素养.‎ 三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎18.已知直线在两坐标轴上的截距相等，且点P(2，3)到直线l的距离为2，求直线的方程.‎ ‎【答案】直线l的方程为5x-12y=0或x+y-5+=0或x+y-5-=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分为直线经过原点和直线不过原点两种情况分别求解，可以采用待定系数法，结合点到直线的距离可求.‎ ‎【详解】解:由题意知，若截距为0，‎ 可设直线1的方程为y=kx.‎ 由题意知，解得k=.‎ 若截距不为0，设所求直线l的方程为x+y-a=0.‎ 由题意知，解得a=5-或a=5+.‎ 故所求直线l的方程为5x-12y=0，x+y-5+=0或x+y-5-=0‎ ‎【点睛】本题主要考查直线方程的求解，求解直线方程时一般是选择合适的方程形式，利用待定系数法建立方程（组）进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎19.在平面直角坐标系中，已知点A(-4，2)是Rt△的直角顶点，点O是坐标原点，点B在x轴上.‎ ‎(1)求直线AB的方程;‎ ‎(2)求△OAB的外接圆的方程.‎ ‎【答案】（1）2x-y+10=0.（2）x2+y2+5x=0.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用可得的斜率，结合点斜式可求方程；‎ ‎(2)先确定B(-5，0)，结合直角三角形的特征可知△OAB的外接圆是以为直径的圆，易求圆心和半径得到方程.‎ ‎【详解】解:(1)∵点A(-4，2)是的直角顶点,‎ ‎∴OA⊥AB，又,‎ ‎,‎ ‎∴直线AB的方程为y-2=2(x+4)，即2x-y+10=0.‎ ‎(2)由(1)知B(-5，0),‎ ‎∵点A(-4，2)是的直角顶点,‎ ‎∴△OAB的外接圆是以中点为圆心， 为半径的圆,‎ 又中点坐标为，‎ ‎∴所求外接圆方程是，即x2+y2+5x=0.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用直线垂直求解直线方程和求解圆的方程，圆的方程求解的关键是确定圆心和半径，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎20.如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.‎ ‎(1)求证:PA//平面MBD.‎ ‎(2)试问:在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析;（2）存在点N，当N为AB中点时，平面PQB⊥平面PNC，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 连接AC交BD于点O,证明MO//PA，可得PA//平面MBD；‎ ‎(2)先利用正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直可得PQ⊥平面ABCD，‎ 结合PQ⊥NC，可得NC⊥平面PQB.‎ ‎【详解】解:(1)证明:连接AC交BD于点O，连接MO，.‎ 由正方形ABCD知O为AC的中点，‎ ‎∵M为PC的中点，‎ ‎∴MO//PA.‎ ‎∵平面MBD，平面MBD，‎ ‎∴PA//平面MBD.‎ ‎(2)存在点N，当N为AB中点时，平面PQB⊥平面PNC，证明如下:‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，‎ ‎∴BQ⊥NC.‎ ‎∵Q为AD中点，△PAD为正三角形，‎ ‎∴PQ⊥AD 又∵平面PAD⊥平面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，平面PAD ‎∴PQ⊥平面ABCD.‎ 又∵平面ABCD，‎ ‎∴.PQ⊥NC.‎ 又，‎ ‎∴NC⊥平面PQB.‎ ‎∵平面PCN，‎ ‎∴平面PCN⊥平面PQB.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定和探索平面与平面垂直，线面平行一般转化为线线平行或者面面平行来证明，面面垂直一般转化为线面垂直来证明，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.‎ ‎21.已知圆M:x2+y2-2y-4=0与圆N:x2+y2-4x+2y=0.‎ ‎(1)求证:两圆相交;‎ ‎(2)求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦长;‎ ‎(3)在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于1.‎ ‎【答案】（1）证明见解析;（2）直线方程x-y-1=0，公共弦长为;（3）点P坐标为(1+，1+)或(1-，-2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求两圆的圆心距和半径，结合圆心距与半径间的关系可证；‎ ‎(2)联立两圆方程可得两圆公共弦所在的直线方程，结合勾股定理可得公共弦长；‎ ‎(3)结合切线长与半径可得点到圆心的距离，建立方程组可求的坐标.‎ ‎【详解】解:(1)由己知得圆M:x2+(y-1)2=5，圆N:(x-2)2+(y+1)2=5,‎ 圆心距,‎ ‎∴,‎ ‎∴两圆相交 ‎(2)联立两圆的方程得方程组 两式相减得x-y-1=0，此为两圆公共弦所在直线的方程.‎ 法一:设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组 解得或 所以，即公共弦长为.‎ 法二:，得x2+(y-1)2=5，其圆心坐标为(0，1)，半径长r=，圆心到直线x-y-1=0的距离为 设公共弦长为2l，由勾股定理得，即，解得，故公共弦长.‎ ‎(3)∵两圆半径均为，过P点所引的两条切线长均为1,‎ ‎∴点P到两圆心的距离,‎ 设P点坐标为(x，y)，则 解得或 ‎.点P坐标为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查两圆的位置关系及公共弦的问题，两圆位置关系的判定主要是依据圆心距和两圆半径间的关系，公共弦长通常利用勾股定理求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.‎ ‎22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.‎ ‎（1）求证：PB⊥DM；‎ ‎（2）求CD与平面ADMN所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）证明：建立坐标系，如图 设BC=1‎ P（0，0，2） B（2，0，0） D（0，2，0） C（2，1，0） M（1，，1）‎ ‎∴PB⊥DM ‎（2）‎ 设平面ADMN的法向量 取z=-1 ，‎ 设直线CD与平面ADMN成角为θ ‎ ‎