北京市海淀区2020届高三高考数学一模试卷

北京市海淀区2020届高三高考数学一模试卷

‎2020年北京市海淀区高考数学一模试卷 一、选择题（共10小题）‎ ‎1．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，A∩B＝{1}，则集合B可以是（　　）‎ A．{1，2} B．{1，3} C．{0，1，2} D．{1，2，3}‎ ‎3．已知双曲线x2‎-y‎2‎b‎2‎=‎1（b＞0）的离心率为‎5‎，则b的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）‎ A．b﹣a＜c+a B．c2＜ab C．cb‎＞‎ca D．|b|c＜|a|c ‎5．在（‎1‎x‎-‎2x）6的展开式中，常数项为（　　）‎ A．﹣120 B．120 C．﹣160 D．160‎ ‎6．如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动．当圆M滚动到圆M'时，圆M'与直线l相切于点B，点A运动到点A'，线段AB的长度为‎3π‎2‎，则点M'到直线BA'的距离为（　　）‎ A．1 B．‎3‎‎2‎ C．‎2‎‎2‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎7．已知函数f（x）＝|x﹣m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x ‎）在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]‎ ‎8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（　　）‎ A．‎5‎ B．2‎2‎ C．2‎3‎ D．‎‎13‎ ‎9．若数列{an}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，ap+r＝apar”是“{an}为等比数列”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．形如‎2‎‎2‎n‎+‎1（n是非负整数）的数称为费马数，记为Fn．数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（　　）（参考数据：lg2≈0.3010）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，则抛物线C的准线方程为　 　．‎ ‎12．在等差数列{an}中，a1＝3，a2+a5＝16，则数列{an}的前4项的和为　 　．‎ ‎13．已知非零向量a‎→‎，b‎→‎满足|a‎→‎|＝|a‎→‎‎-‎b‎→‎|，则（a‎→‎‎-‎‎1‎‎2‎b‎→‎）•b‎→‎‎=‎　 　．‎ ‎14．在△ABC中，AB＝4‎3‎，∠B‎=‎π‎4‎，点D在边BC上，∠ADC‎=‎‎2π‎3‎，CD＝2，则AD＝　 　；△ACD的面积为　 　．‎ ‎15．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f（x），给出下列三个结论：‎ ‎①函数f（x）的最大值为12；‎ ‎②函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝9；‎ ‎③关于x的方程f（x）＝kx+3最多有5个实数根．‎ 其中，所有正确结论的序号是　 　．‎ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．‎ ‎16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1‎=‎‎3‎，点E为A1C1的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．‎ ‎17．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x．‎ ‎（Ⅰ）求f（0）的值；‎ ‎（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2‎ ‎＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f（x）在[‎-‎π‎2‎，π‎6‎]上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期．‎ ‎18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：‎ 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．‎ ‎（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；‎ ‎（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．‎ ‎19．已知函数f（x）＝ex+ax．‎ ‎（Ⅰ）当a＝﹣1时，‎ ‎①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎②求函数f（x）的最小值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．‎ ‎20．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）的离心率为‎3‎‎2‎，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），△A1BA2的面积为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q．求证：△BPQ为等腰三角形．‎ ‎21．已知数列{an}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N*，使得a2n﹣1+a2n＝kan对任意的n∈N*成立，则称数列{an}具有性质Ψ（k）．‎ ‎（Ⅰ）分别判断下列数列{an}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）‎ ‎①an＝1；②an＝2n．‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}满足an+1≥an（n＝1，2，3，…），求证：“数列{an}具有性质Ψ（2）”是“数列{an}为常数列”的充分必要条件；‎ ‎（Ⅲ）已知数列{an}中a1＝1，且an+1＞an（n＝1，2，3，…）．若数列{an}具有性质Ψ（4），求数列{an}的通项公式．‎ 参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．‎ 解：∵复数z＝i（2﹣i）＝﹣i2+2i＝1+2i ‎∴复数对应的点的坐标是（1，2）‎ 这个点在第一象限，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．‎ ‎2．已知集合A＝{x|0＜x＜3}，A∩B＝{1}，则集合B可以是（　　）‎ A．{1，2} B．{1，3} C．{0，1，2} D．{1，2，3}‎ ‎【分析】根据A＝{x|0＜x＜3}，A∩B＝{1}，即可得出集合B可能的情况．‎ 解：∵A＝{x|0＜x＜3}，A∩B＝{1}，‎ ‎∴集合B可以是{1，3}．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎3．已知双曲线x2‎-y‎2‎b‎2‎=‎1（b＞0）的离心率为‎5‎，则b的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】利用双曲线的离心率公式，列出方程，求解b即可．‎ 解：双曲线x2‎-y‎2‎b‎2‎=‎1（b＞0）的离心率为‎5‎，‎ 可得b‎2‎‎+1‎‎1‎‎=‎‎5‎，解得b＝2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．‎ ‎4．已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）‎ A．b﹣a＜c+a B．c2＜ab C．cb‎＞‎ca D．|b|c＜|a|c ‎【分析】法1：根据数轴得到c＜b＜a＜0且|c|＞|b|＞|a|，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；‎ 法2：用特值法带入验证即可．‎ 解：（法1）根据数轴可得c＜b＜a＜0且|c|＞|b|＞|a|，‎ 对于A：因为c＜b，a＜0，所以c+a＜c，b﹣a＞b，则c+a＜c＜b﹣a，即c+a＜b﹣a，故A错误；‎ 对于B：因为c＜b＜a＜0，|c|＞|b|＞|a|，所以c2＞b2＞a2，且b2＞ab，所以c2＞b2＞ab，则c2＞ab，故B错误；‎ 对于C：因为b＜a＜0，所以‎1‎b‎＞‎‎1‎a，则cb‎＜‎ca，故C错误；‎ 对于D：因为|b|＞|a|，且c＜0，所以|b|c＜|a|c，故D正确，‎ ‎（法2）不妨令c＝﹣5，b＝﹣4，a＝﹣1，‎ 则c+a＝﹣6＜b﹣a＝﹣3，故A错误；c2＝25＞ab＝4，故B错误；cb‎=‎5‎‎4‎＜ca=‎5，故C错误；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题．‎ ‎5．在（‎1‎x‎-‎2x）6的展开式中，常数项为（　　）‎ A．﹣120 B．120 C．﹣160 D．160‎ ‎【分析】先求出通项，然后令x的指数为零即可．‎ 解：由题意得：Tk+1‎‎=‎‎(-2‎)‎kC‎6‎kx2k﹣6，‎ 令2k﹣6＝0得k＝3，‎ 故常数项为T‎4‎‎=(-2‎)‎‎3‎C‎6‎‎3‎=-‎160．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题．‎ ‎6．如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚动．当圆M滚动到圆M'时，圆M'与直线l相切于点B，点A运动到点A'，线段AB的长度为‎3π‎2‎，则点M'到直线BA'的距离为（　　）‎ A．1 B．‎3‎‎2‎ C．‎2‎‎2‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎【分析】根据条件可得圆旋转了‎3‎‎4‎个圆，作图可得到△A'M'B是等腰直角三角形，进而可求得M'到A'M的距离．‎ 解：根据条件可知圆周长＝2π，因为BA‎=‎3‎‎2‎π=‎3‎‎4‎×‎2π，故可得A’位置如图：‎ ‎∠A'M'B＝90°，则△A'M'B是等腰直角三角形，‎ 则M'到A'M的距离d‎=‎‎2‎‎2‎r‎=‎‎2‎‎2‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．‎ ‎7．已知函数f（x）＝|x﹣m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，+∞） B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]‎ ‎【分析】根据题意，分析可得f（x）在区间（﹣2，﹣1）上递增，将f（x）写成分段函数的形式，分析可得f（x）在区间（m，+∞）上为增函数，据此可得m的取值范围．‎ 解：根据题意，函数f（x）＝|x﹣m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，‎ 则f（x）在区间（﹣2，﹣1）上递增，‎ 而f（x）＝|x﹣m|‎=‎x-m，x≥m‎-x+m，x＜m，在区间（m，+∞）上为增函数，‎ 则有m≤﹣2，即m的取值范围为（﹣∞，﹣2]；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．‎ ‎8．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为（　　）‎ A．‎5‎ B．2‎2‎ C．2‎3‎ D．‎‎13‎ ‎【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．‎ 解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，‎ 如图所示：‎ 所以最长的棱长AB‎=‎2‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎=2‎‎3‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎9．若数列{an}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，ap+r＝apar”是“{an}为等比数列”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】利用等比数列的定义通项公式即可判断出结论．‎ 解：“∀p，r∈N*，ap+r＝apar”，取p＝n，r＝1，则an+1＝2an，‎ ‎∴{an}为等比数列．‎ 反之不成立．{an}为等比数列，则ap+r＝2×qp+r﹣1，apar＝22•qp+r﹣2，只有q＝2时才能成立．‎ ‎∴数列{an}满足a1＝2，则“∀p，r∈N*，ap+r＝apar”是“{an}为等比数列”的充分不必要条件．．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎10．形如‎2‎‎2‎n‎+‎1（n是非负整数）的数称为费马数，记为Fn．数学家费马根据F0，F1，F2，F3，F4都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算出F5不是质数，那么F5的位数是（　　）（参考数据：lg2≈0.3010）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【分析】根据所给定义表示出F5＝109.632×109，进而即可判断出其位数．‎ 解：根据题意，F5‎=‎2‎‎2‎‎5‎+‎1＝232+1≈232‎=1‎0‎lg‎2‎‎32‎=‎1032lg2≈1032×0.3010＝109.632＝100.632×109，‎ 因为1＜100.632＜10，所以F5的位数是10．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力，属于中档题．‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．已知点P（1，2）在抛物线C：y2＝2px上，则抛物线C的准线方程为　x＝﹣1　．‎ ‎【分析】把点P的坐标代入抛物线的方程可求得p，而准线方程为x=-‎p‎2‎，从而得解．‎ 解：把点P（1，2）代入抛物线方程有，4＝2p，∴p＝2，‎ ‎∴抛物线的准线方程为x=-p‎2‎=-1‎．‎ 故答案为：x＝﹣1．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．‎ ‎12．在等差数列{an}中，a1＝3，a2+a5＝16，则数列{an}的前4项的和为　24　．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．‎ 解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝3，a2+a5＝16，‎ ‎∴2×3+5d＝16，解得d＝2．‎ 则数列{an}的前4项的和＝4×3‎+‎4×3‎‎2‎×‎2＝24．‎ 故答案为：24．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎13．已知非零向量a‎→‎，b‎→‎满足|a‎→‎|＝|a‎→‎‎-‎b‎→‎|，则（a‎→‎‎-‎‎1‎‎2‎b‎→‎）•b‎→‎‎=‎　0　．‎ ‎【分析】把所给条件平方整理得到a‎→‎•b‎→‎‎=‎‎1‎‎2‎b‎→‎‎2‎；代入数量积即可求解结论．‎ 解：因为非零向量a‎→‎，b‎→‎满足|a‎→‎|＝|a‎→‎‎-‎b‎→‎|，‎ ‎∴a‎→‎‎2‎‎=a‎→‎‎2‎-‎2a‎→‎•b‎→‎‎+‎b‎→‎‎2‎⇒a‎→‎•b‎→‎‎=‎‎1‎‎2‎b‎→‎‎2‎；‎ 则（a‎→‎‎-‎‎1‎‎2‎b‎→‎）•b‎→‎‎=a‎→‎⋅b‎→‎-‎1‎‎2‎b‎→‎‎2‎=‎0．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．‎ ‎14．在△ABC中，AB＝4‎3‎，∠B‎=‎π‎4‎，点D在边BC上，∠ADC‎=‎‎2π‎3‎，CD＝2，则AD＝　4‎2‎　；△ACD的面积为　2‎6‎　．‎ ‎【分析】先根据正弦定理求得AD，进而求得三角形的面积．‎ 解：如图；‎ 因为在△ABC中，AB＝4‎3‎，∠B‎=‎π‎4‎，点D在边BC上，∠ADC‎=‎‎2π‎3‎，CD＝2，‎ 所以：ADsin∠ABD‎=‎ABsin∠ADB⇒AD‎=‎4‎3‎×sinπ‎4‎sinπ‎3‎=‎4‎2‎；‎ S△ACD‎=‎‎1‎‎2‎•AD•CD•sin∠ADC‎=‎1‎‎2‎×‎4‎2‎‎×‎2×sin‎2π‎3‎‎=‎2‎6‎；‎ 故答案为：4‎2‎，2‎6‎．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．‎ ‎15．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f（x），给出下列三个结论：‎ ‎①函数f（x）的最大值为12；‎ ‎②函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝9；‎ ‎③关于x的方程f（x）＝kx+3最多有5个实数根．‎ 其中，所有正确结论的序号是　①②　．‎ ‎【分析】写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析 解：由题可得函数f（x）‎=‎‎3+(x-3‎)‎‎2‎，0≤x＜6‎‎3+(x-9‎)‎‎2‎，6≤x＜12‎‎3+(x-15‎)‎‎2‎，12≤x≤18‎，作出图象如图：‎ 则当点P与△ABC顶点重合时，即x＝0，6，12，18时，f（x）取得最大值12，故①正确；‎ 又f（x）＝f（18﹣x），所以函数f（x）的对称轴为x＝9，故②正确；‎ 由图象可得，函数f（x）图象与y＝kx+3的交点个数为6个，故方程有6个实根，故③错误．‎ 故答案为：①②．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．‎ ‎16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1‎=‎‎3‎，点E为A1C1的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AB⊥C1B．CB⊥C1B．利用直线与平面垂直的判断定理证明C1B⊥平面ABC．‎ ‎（Ⅱ）以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz．求出平面BCE的法向量，平面ABC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可，‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，C1B⊂平面BB1C1C 所以AB⊥C1B．‎ 在△BCC1中，BC＝1，BC‎1‎=‎‎3‎，CC1＝2，‎ 所以BC‎2‎+BC‎1‎‎2‎=CC‎1‎‎2‎．‎ 所以CB⊥C1B．‎ 因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，‎ 所以C1B⊥平面ABC．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，‎ 如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz．‎ 则B（0，0，0），E(-‎1‎‎2‎，‎3‎，1)‎，C（1，0，0）.BC‎→‎‎=(1，0，0)‎，BE‎→‎‎=(-‎1‎‎2‎，‎3‎，1)‎．‎ 设平面BCE的法向量为n‎→‎‎=‎（x，y，z），‎ 则n‎→‎‎⋅BC‎→‎=0‎n‎→‎‎⋅BE‎→‎=0‎，‎ 即x=0，‎‎-‎1‎‎2‎x+‎3‎y+z=0.‎ 令y=‎‎3‎则x＝0，z＝﹣3，‎ 所以n‎→‎‎=(0，‎3‎，-3)‎．‎ 又因为平面ABC的法向量为m‎→‎‎=‎（0，1，0），‎ 所以cos＜m‎→‎，n‎→‎＞=m‎→‎‎⋅‎n‎→‎‎|m‎→‎||n‎→‎|‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 由题知二面角A﹣BC﹣E为锐角，所以其大小为π‎3‎．‎ ‎【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．‎ ‎17．已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x．‎ ‎（Ⅰ）求f（0）的值；‎ ‎（Ⅱ）从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f（x）在[‎-‎π‎2‎，π‎6‎]上的最小值，并直接写出函数f（x）的一个周期．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由函数f（x）的解析式求出f（0）的值；‎ ‎（Ⅱ）选择条件①时f（x）的一个周期为π，‎ 利用三角恒等变换化简f（x），再求f（x）在‎[-π‎2‎，π‎6‎]‎的最小值．‎ 选择条件②时f（x）的一个周期为2π，‎ 化简f（x），利用三角函数的性质求出f（x）在‎[-π‎2‎，π‎6‎]‎的最小值．‎ 解：（Ⅰ）由函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x，‎ 则f（0）＝2cos20+sin0＝2；‎ ‎（Ⅱ）选择条件①，则f（x）的一个周期为π；‎ 由f（x）＝2cos2x+sin2x ‎＝（cos2x+1）+sin2x ‎=‎2‎(‎2‎‎2‎sin2x+‎2‎‎2‎cos2x)+1‎‎ ‎ ‎=‎2‎sin(2x+π‎4‎)+1‎‎；‎ 因为x∈[-π‎2‎，π‎6‎]‎，所以‎2x+π‎4‎∈[-‎3π‎4‎，‎7π‎12‎]‎；‎ 所以‎-1≤sin(2x+π‎4‎)≤1‎，‎ 所以‎1-‎2‎≤f(x)≤1+‎‎2‎；‎ 当‎2x+π‎4‎=-‎π‎2‎，即x=-‎‎3π‎8‎时，f（x）在‎[-π‎2‎，π‎6‎]‎取得最小值为‎1-‎‎2‎．‎ 选择条件②，则f（x）的一个周期为2π；‎ 由f（x）＝2cos2x+sinx ‎＝2（1﹣sin2x）+sinx ‎=-2(sinx-‎1‎‎4‎‎)‎‎2‎+‎‎17‎‎8‎‎；‎ 因为x∈[-π‎2‎，π‎6‎]‎，所以sinx∈[-1，‎1‎‎2‎]‎；‎ 所以当sinx＝﹣1，即x=-‎π‎2‎时，f（x）在‎[-π‎2‎，π‎6‎]‎取得最小值为﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．‎ ‎18．科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：‎ 其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．‎ ‎（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；‎ ‎（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）按照古典概型概率计算公式计算即可；‎ ‎（Ⅱ）显然这是一个超几何分布，按照超几何分布的概率计算方法，分别算出随机变量X取0，1，2时的概率，然后画出分布列，即可求期望；‎ ‎（Ⅲ）结合折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可．‎ 解：（Ⅰ）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，‎ 从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，‎ 所以P(A)=‎‎9‎‎10‎．‎ ‎（Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X的所有可能取值为0，1，2．‎ 且P(X=0)=C‎5‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎‎2‎‎9‎；P(X=1)=C‎5‎‎1‎C‎5‎‎1‎C‎10‎‎2‎=‎‎5‎‎9‎；P(X=2)=C‎5‎‎2‎C‎10‎‎2‎=‎‎2‎‎9‎．‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎2‎‎9‎‎ ‎ ‎5‎‎9‎‎ ‎ ‎2‎‎9‎‎ ‎ 故X的期望E(X)=0×‎2‎‎9‎+1×‎5‎‎9‎+2×‎2‎‎9‎=1‎．‎ ‎（Ⅲ）从两个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：‎ 一、从2010年至2019年，每年的研发投入是逐年增加的（2018年除外），并且增加的幅度总体上逐渐加大；‎ 二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽然2015年往后有些波动，但是总体占比还是较高的．‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．‎ ‎19．已知函数f（x）＝ex+ax．‎ ‎（Ⅰ）当a＝﹣1时，‎ ‎①求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎②求函数f（x）的最小值；‎ ‎（Ⅱ）求证：当a∈（﹣2，0）时，曲线y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．‎ ‎【分析】（Ⅰ）①将a＝﹣1带入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即得解；‎ ‎②求出函数函数f（x）的单调性情况，进而得出最值；‎ ‎（Ⅱ）即证函数g（x）＝ex+ax+lnx﹣1仅有一个零点，利用导数可知函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，结合零点存在性定理即得证．‎ 解：（Ⅰ）①当a＝﹣1时，f（x）＝ex﹣x，则 f'（x）＝ex﹣1．‎ 所以f'（0）＝0．‎ 又f（0）＝1，‎ 所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1；‎ ‎②令f'（x）＝0，得x＝0，此时f'（x），f（x）随x的变化如下：‎ x ‎（﹣∞，0）‎ ‎0‎ ‎（0，+∞）‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 可知f（x）min＝f（0）＝1，函数f（x）的最小值为1．‎ ‎（Ⅱ）证明：由题意可知，x∈（0，+∞），‎ 令g（x）＝ex+ax+lnx﹣1，则g′(x)=ex+‎1‎x+a，‎ 由（Ⅰ）中可知ex﹣x≥1，故 ex≥1+x，‎ 因为a∈（﹣2，0），‎ 则g′(x)=ex+‎1‎x+a≥(x+1)+‎1‎x+a≥2x⋅‎‎1‎x+a+1=3+a＞0‎，‎ 所以函数g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，‎ 因为g(‎1‎e)=e‎1‎e+ae-2＜e‎1‎‎2‎-2＜0‎，‎ 又因为g（e）＝ee+ae＞e2﹣2e＞0，‎ 所以g（x）有唯一的一个零点．‎ 即函数y＝f（x）与y＝1﹣lnx有且只有一个交点．‎ ‎【点评】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．‎ ‎20．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1（a＞b＞0）的离心率为‎3‎‎2‎，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（0，b），△A1BA2的面积为2．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线A1B与直线A2M交于点P，直线A1M与直线A2B交于点Q．求证：△BPQ为等腰三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题ca‎=‎3‎‎2‎，‎ab=2，‎a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎.‎，求出a，b，即可得到椭圆方程．‎ ‎（ II）解法1，设直线A2M方程为y=k(x-2)(k≠0且k≠±‎1‎‎2‎)‎，直线A1B方程为y=‎1‎‎2‎x+1‎，通过联立直线与椭圆方程组，求出M坐标，Q坐标，推出|BP|＝|BQ|，即可证明△BPQ为等腰三角形．‎ 解法2，设M（x0，y0）（x0≠±2，y0≠±1）则x‎0‎‎2‎‎+4y‎0‎‎2‎=4‎．直线A2M方程为y=y‎0‎x‎0‎‎-2‎(x-2)‎，直线A1B方程为y=‎1‎‎2‎x+1‎．通过联立直线与椭圆方程组，求出P，Q坐标，转化推出|BP|＝|BQ|，得到△BPQ为等腰三角形．‎ 解：（Ⅰ）由题ca‎=‎3‎‎2‎，‎ab=2，‎a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎.‎ 解得a=2，‎b=1.‎ 所以椭圆方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎．‎ ‎（ II）解法1‎ 证明：设直线A2M方程为y=k(x-2)(k≠0且k≠±‎1‎‎2‎)‎，直线A1B方程为y=‎1‎‎2‎x+1‎ 由y=k(x-2)，‎y=‎1‎‎2‎x+1.‎解得点P(‎4k+2‎‎2k-1‎，‎4k‎2k-1‎)‎．‎ 由y=k(x-2)，‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1.‎得（4k+1）x2﹣16k2x+16k2﹣4＝0，‎ 则‎2xM=‎‎16k‎2‎-4‎‎4k‎2‎+1‎．‎ 所以xM‎=‎‎8k‎2‎-2‎‎4k‎2‎+1‎，yM‎=‎‎-4k‎4k‎2‎+1‎．‎ 即M(‎8k‎2‎-2‎‎4k‎2‎+1‎，‎-4k‎4k‎2‎+1‎)‎.kA‎1‎M‎=‎-4k‎4k‎2‎+1‎‎8k‎2‎-2‎‎4k‎2‎+1‎‎+2‎=-‎‎1‎‎4k．‎ 于是直线A1M的方程为y=-‎1‎‎4k(x+2)‎，直线A2B的方程为y=-‎1‎‎2‎x+1‎．‎ 由y=-‎1‎‎4k(x+2)‎y=-‎1‎‎2‎x+1‎解得点Q(‎4k+2‎‎2k-1‎，‎-2‎‎2k-1‎)‎．‎ 于是xP＝xQ，所以PQ⊥x轴．‎ 设PQ中点为N，则N点的纵坐标为‎4k‎2k-1‎‎+‎‎-2‎‎2k-1‎‎2‎‎=1‎．‎ 故PQ中点在定直线y＝1上．‎ 从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|＝|BQ|，‎ 所以△BPQ为等腰三角形．‎ 解法2‎ 证明：设M（x0，y0）（x0≠±2，y0≠±1）则x‎0‎‎2‎‎+4y‎0‎‎2‎=4‎．‎ 直线A2M方程为y=y‎0‎x‎0‎‎-2‎(x-2)‎，直线A1B方程为y=‎1‎‎2‎x+1‎．‎ 由y=y‎0‎x‎0‎‎-2‎(x-2)，‎y=‎1‎‎2‎x+1.‎ 解得点P(‎2x‎0‎+4y‎0‎-4‎‎2y‎0‎-x‎0‎+2‎，‎4‎y‎0‎‎2y‎0‎-x‎0‎+2‎)‎．‎ 直线A1M方程为y=y‎0‎x‎0‎‎+2‎(x+2)‎，直线A2B方程为y=-‎1‎‎2‎x+1‎．‎ 由y=y‎0‎x‎0‎‎+2‎(x+2)，‎y=-‎1‎‎2‎x+1.‎ 解得点Q(‎2x‎0‎-4y‎0‎+4‎‎2y‎0‎+x‎0‎+2‎，‎4‎y‎0‎‎2y‎0‎+x‎0‎+2‎)‎.xP‎-xQ=‎2x‎0‎+4y‎0‎-4‎‎2y‎0‎-x‎0‎+2‎-‎2x‎0‎-4y‎0‎+4‎‎2y‎0‎+x‎0‎+2‎=‎2(x‎0‎+2y‎0‎-2)(2y‎0‎+x‎0‎+2)-2(x‎0‎-2y‎0‎+2)(2y‎0‎-x‎0‎+2)‎‎(2y‎0‎-x‎0‎+2)(2y‎0‎+x‎0‎+2)‎=‎2[‎(x‎0‎+2y‎0‎)‎‎2‎-4)-(4-‎(x‎0‎-2y‎0‎)‎‎2‎]‎‎(2y‎0‎-x‎0‎+2)(2y‎0‎+x‎0‎+2)‎=0‎．‎ 于是xP＝xQ，所以PQ⊥x轴.yP‎+yQ=‎4‎y‎0‎‎2y‎0‎-x‎0‎+2‎+‎4‎y‎0‎‎2y‎0‎+x‎0‎+2‎=‎4y‎0‎(4y‎0‎+4)‎‎(2y‎0‎-x‎0‎+2)(2y‎0‎+x‎0‎+2)‎=‎4y‎0‎(4y‎0‎+4)‎‎(2y‎0‎+2)‎‎2‎‎-‎x‎0‎‎2‎=2‎．‎ 故PQ中点在定直线y＝1上．‎ 从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上，所以|BP|＝|BQ|，‎ 所以△BPQ为等腰三角形．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．‎ ‎21．已知数列{an}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈一、选择题*，使得a2n﹣1+a2n＝kan对任意的n∈N*成立，则称数列{an}具有性质Ψ（k）．‎ ‎（Ⅰ）分别判断下列数列{an}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）‎ ‎①an＝1；②an＝2n．‎ ‎（Ⅱ）若数列{an}满足an+1≥an（n＝1，2，3，…），求证：“数列{an}具有性质Ψ（2）”是“数列{an}为常数列”的充分必要条件；‎ ‎（Ⅲ）已知数列{an}中a1＝1，且an+1＞an（n＝1，2，3，…）．若数列{an}具有性质Ψ（4），求数列{an}的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）①②利用已知条件及其定义解验证判断出结论．‎ ‎（Ⅱ）先证“充分性”：当数列{an}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2an，根据an+1≥an，可得0≤a2n﹣an＝an﹣a2n﹣1≤0，进而有an＝a2n，结合an+1≥an即可证明结论．再证“必要性”：若“数列{an}为常数列”，容易验证a2n﹣1+a2n＝2a1＝2an，即可证明．‎ ‎（Ⅲ）首先证明：an+1﹣an≥2．根据{an}具有“性质Ψ（4）”，可得a2n﹣1+a2n＝4an．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．由a‎2n-1‎‎，a‎2n，an∈‎N‎*‎，且a2n＞a2n﹣1，可得a2n≥2an+1，a2n﹣1≤2an﹣1，进而有2an+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2an+1﹣2，可得2（an+1﹣an）≥3，可得：an+1﹣an≥2．‎ 然后利用反证法证明：an+1﹣an≤2．假设数列{an}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（ak+1﹣ak）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为ak+1‎‎-ak∈‎N‎*‎，可得ak+1﹣ak≥3，依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾．综上有：an+1﹣an＝2，结合a1＝1可得an＝2n﹣1，‎ 解：（Ⅰ）①数列{an}具有“性质Ψ（2）”；‎ ‎②数列{an}不具有“性质Ψ（2）”．‎ ‎（Ⅱ）证明：先证“充分性”：‎ 当数列{an}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2an，‎ 又因为an+1≥an，‎ 所以0≤a2n﹣an＝an﹣a2n﹣1≤0，‎ 进而有an＝a2n 结合an+1≥an有an＝an+1＝…＝a2n，‎ 即“数列{an}为常数列”；‎ 再证“必要性”：‎ 若“数列{an}为常数列”，‎ 则有a2n﹣1+a2n＝2a1＝2an，‎ 即“数列{an}具有“性质Ψ（2）”．‎ ‎（Ⅲ）首先证明：an+1﹣an≥2．‎ 因为{an}具有“性质Ψ（4）”，‎ 所以a2n﹣1+a2n＝4an．‎ 当n＝1时，有a2＝3a1＝3．‎ 又因为a‎2n-1‎‎，a‎2n，an∈‎N‎*‎，且a2n＞a2n﹣1，‎ 所以有a2n≥2an+1，a2n﹣1≤2an﹣1，‎ 进而有2an+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2an+1﹣2，‎ 所以2（an+1﹣an）≥3，‎ 结合an+1‎‎，an∈‎N‎*‎可得：an+1﹣an≥2．‎ 然后利用反证法证明：an+1﹣an≤2．‎ 假设数列{an}中存在相邻的两项之差大于3，‎ 即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，‎ 进而有4（ak+1﹣ak）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k﹣1）＝（a2k+2﹣a2k）+（a2k+1﹣a2k﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．‎ 又因为ak+1‎‎-ak∈‎N‎*‎，‎ 所以ak+1﹣ak≥3‎ 依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾，‎ 所以有an+1﹣an≤2．‎ 综上有：an+1﹣an＝2，‎ 结合a1＝1可得an＝2n﹣1，‎ 经验证，该通项公式满足a2n﹣1+a2n＝4an，‎ 所以：an＝2n﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系、反证法、转化方法、方程以不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎ ‎