2018届二轮复习不等式与线性规划课件（江苏专用）

2018届二轮复习不等式与线性规划课件（江苏专用）

第 2 讲　 不等式 与线性规划 专题一　 集合与常用逻辑用语、不等式 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精炼 栏目索引 高考真题体验 1 2 3 4 所以 0< x <1 ，所以原不等式组的解集为 { x |0< x <1}. { x |0< x <1} 1 2 3 4 解析　 不等式组所表示的可行域如下图所示， 1 2 3 4 1 2 3 4 解析　 ∵ a ， b ＞ 0 ， a ＋ b ＝ 5 ， 1 2 3 4 解析　 函数 y ＝ | f ( x )| 的图象如图 . 1 2 3 4 ① 当 a ＝ 0 时， | f ( x )| ≥ ax 显然成立 . ② 当 a >0 时，只需在 x >0 时， ln( x ＋ 1) ≥ ax 成立 . 比较对数函数与一次函数 y ＝ ax 的增长速度 . 显然不存在 a >0 使 ln( x ＋ 1) ≥ ax 在 x >0 上恒成立 . ③ 当 a <0 时，只需在 x <0 时， x 2 － 2 x ≥ ax 成立 . 即 a ≥ x － 2 成立， ∴ a ≥ － 2. 综上所述：－ 2 ≤ a ≤ 0 . 答案　 [ － 2,0 ] 考情考向分析 1. 利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点； 2. 一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围； 3. 利用不等式解决实际问题 . 热点一　不等式的解法 热点分类突破 1. 一元二次不等式的解法 先化为一般形式 ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a ≠ 0) ，再求相应一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0( a ≠ 0) 的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集 . 2. 简单分式不等式的解法 3. 指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解 . { x | x < － lg 2} (2) 已知函数 f ( x ) ＝ ( x － 2)( ax ＋ b ) 为偶函数，且在 (0 ，＋ ∞ ) 单调递增，则 f (2 － x )>0 的解集为 _______ _ ___. 解析　 由题意可知 f ( － x ) ＝ f ( x ). 即 ( － x － 2)( － ax ＋ b ) ＝ ( x － 2)( ax ＋ b ) ， (2 a － b ) x ＝ 0 恒成立， 故 2 a － b ＝ 0 ，即 b ＝ 2 a ，则 f ( x ) ＝ a ( x － 2)( x ＋ 2). 又函数在 (0 ，＋ ∞ ) 单调递增，所以 a >0. f (2 － x )>0 即 ax ( x － 4)>0 ，解得 x <0 或 x >4. { x | x <0 或 x >4} 思维升华 (1) 对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化； (2) 求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用 “ 大于在两边，小于夹中间 ” 得不等式的解集； (3) 含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论 . 跟踪演练 1 　 (1) 关于 x 的不等式 x 2 － 2 ax － 8 a 2 <0( a >0) 的 解集 为 ( x 1 ， x 2 ) ，且 x 2 － x 1 ＝ 15 ，则 a ＝ ________. 解析　 由 x 2 － 2 ax － 8 a 2 <0 ，得 ( x ＋ 2 a )( x － 4 a )<0 ， 因为 a >0 ，所以不等式的解集为 ( － 2 a, 4 a ) ， 即 x 2 ＝ 4 a ， x 1 ＝－ 2 a ， (2) 已知 f ( x ) 是 R 上的减函数， A (3 ，－ 1) ， B (0,1) 是其图象上两点，则不等式 | f (1 ＋ ln x )|<1 的解集是 ________. 解析　 ∵ | f (1 ＋ ln x )|<1 ， ∴ － 1< f (1 ＋ ln x )<1 ， ∴ f (3)< f (1 ＋ ln x )< f (0) ， 又 ∵ f ( x ) 在 R 上为减函数， ∴ 0<1 ＋ ln x <3 ， ∴ － 10 ， y >0 ， xy ＝ p ( 定值 ) ，当 x ＝ y 时， x ＋ y 有 最小值 ( 简记为：积定，和有最小值 ) ； (2) 如果 x >0 ， y >0 ， x ＋ y ＝ s ( 定值 ) ，当 x ＝ y 时， xy 有最大 值 ( 简记为：和定，积有最大值 ). 解析　 ∵ a ∥ b ， ∴ 3( y － 1) ＋ 2 x ＝ 0 ， 即 2 x ＋ 3 y ＝ 3. ∵ x >0 ， y >0 ， 当且仅当 3 y ＝ 2 x 时取等号 . 8 思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “ 拆、拼、凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “ 正 ” ( 即条件要求中字母为正数 ) 、 “ 定 ” ( 不等式的另一边必须为定值 ) 、 “ 等 ” ( 等号取得的条件 ) 的条件才能应用，否则会出现错误 . 跟踪演练 2 　 (1) (2015· 天津 ) 已知 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， ab ＝ 8 ，则当 a 的值为 ________ 时， log 2 a ·log 2 (2 b ) 取得最大值 . 当且仅当 log 2 a ＝ 1 ＋ log 2 b ，即 a ＝ 2 b 时，等号成立，此时 a ＝ 4 ， b ＝ 2. 4 解析　 易知圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 4 y ＋ 1 ＝ 0 的半径为 2 ，圆心为 ( － 1,2) ， 因为直线 2 ax － by ＋ 2 ＝ 0( a >0 ， b >0) 被圆 x 2 ＋ y 2 ＋ 2 x － 4 y ＋ 1 ＝ 0 截得的弦长为 4 ， 所以直线 2 ax － by ＋ 2 ＝ 0( a >0 ， b >0) 过圆心， 把圆心坐标代入得： a ＋ b ＝ 1 ， 答案　 4 热点三　简单的线性规划问题 解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点 ( 或边界上的点 ) ，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决 . 解析　 可行域如图所示 . 答案　 2 解析　 如 图 , 由 y ＝ ax ＋ z 知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距 ， 故当 a >0 时，要使 z ＝ y － ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a ＝ 2 ； 当 a <0 时，要使 z ＝ y － ax 取得最大值的最优解不唯一，则 a ＝－ 1. 答案　 2 或－ 1 思维升华 (1) 线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围 . (2) 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得 . 解析　 依题意，不等式组所表示的可行域如图所示 ( 阴影部分 ) ， 观察图象可知，当目标函数 z ＝ 2 x ＋ y 过点 B ( a ， a ) 时 ， z min ＝ 2 a ＋ a ＝ 3 a ； 因为目标函数 z ＝ 2 x ＋ y 的最小值为 9 ， 所以 3 a ＝ 9 ，解得 a ＝ 3. 答案　 3 高考押题精练 1 2 3 4 1. 若点 A ( a ， b ) 在第一象限，且在直线 x ＋ 2 y ＝ 1 上，则 ab 的最大值为 ________. 押题依据　 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数 ( 和式或积式 ) 的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合 . 1 2 3 4 解析　 因为点 A ( a ， b ) 在第一象限，且在直线 x ＋ 2 y ＝ 1 上 ， 所以 a >0 ， b >0 ，且 a ＋ 2 b ＝ 1 ， 1 2 3 4 押题依据　 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容 . 往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式 . 1 2 3 4 1 2 3 4 押题依据　 线性规划是每年高考的热点，其实质是数形结合思想的应用 . 本题中目标函数用向量数量积形式给出，符合高考知识点交汇命题的思想 . 1 2 3 4 解析　 画出不等式组所表示的可行域为如图所示的 △ ECD 的内部 ( 包括边界 ) ， 1 2 3 4 令直线 l ： y ＝ x － z ，要使直线 l 过可行域上的点且在 y 轴上的截距－ z 取得最大值，只需直线 l 过点 E (2,6). 此时 z 取得最小值，且最小值 z min ＝ 2 － 6 ＝－ 4. 答案　 － 4 1 2 3 4 押题依据　 “ 恒成立 ” 问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点 . 1 2 3 4 1 2 3 4 故 a 的取值范围是 [ － 1,2 ]. 答案　 [ － 1,2]