2018届二轮复习数列求和课件（文）（江苏专用）

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§6.4 　数列求和 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 等差数列的前 n 项和公式 知识梳理 2. 等比数列的前 n 项和公式 3. 一些常见数列的前 n 项和公式 ( 1)1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ … ＋ n ＝ . (2)1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ … ＋ 2 n － 1 ＝ . (3)2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ 8 ＋ … ＋ 2 n ＝ . ( 4)1 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ n 2 ＝ . n 2 n ( n ＋ 1) 数列求和的常用方法 (1) 公式法 等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和 . (2) 分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解 . 知识拓展 (3) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项 . 常见的裂项 公式 (4) 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广 . (5) 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和， 即等比数列求和公式的推导过程的推广 . (6) 并项求和法 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和 . 形如 a n ＝ ( － 1 ) n f ( n ) 类型，可采用两项合并求解 . 例如， S n ＝ 100 2 － 99 2 ＋ 98 2 － 97 2 ＋ … ＋ 2 2 － 1 2 ＝ (100 ＋ 99) ＋ (98 ＋ 97) ＋ … ＋ (2 ＋ 1) ＝ 5 050 . 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 如果数列 { a n } 为等比数列，且公比不等于 1 ，则其前 n 项和 S n ＝ . ( 　　 ) (2) 当 n ≥ 2 时 ， .( 　　 ) (3) 求 S n ＝ a ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ … ＋ na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得 .( 　　 ) √ √ × (4) 数列 { ＋ 2 n － 1} 的前 n 项和为 n 2 ＋ .( 　　 ) (5) 推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得 sin 2 1° ＋ sin 2 2° ＋ sin 2 3° ＋ … ＋ sin 2 88° ＋ sin 2 89° ＝ 44.5.( 　　 ) × √ 考点自测 1.(2016· 泰州质检 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，并满足 a n ＋ 2 ＝ 2 a n ＋ 1 － a n ， a 5 ＝ 4 － a 3 ，则 S 7 ＝ ______. 答案 解析 由 a n ＋ 2 ＝ 2 a n ＋ 1 － a n 知数列 { a n } 为等差数列 ， 由 a 5 ＝ 4 － a 3 ，得 a 5 ＋ a 3 ＝ 4 ＝ a 1 ＋ a 7 ， 14 2.( 教材改编 ) 数列 { a n } 中， a n ＝ ， 若 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ ， 则 n ＝ ________. 答案 解析 2 017 S n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n 3. 数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ ( － 1) n － 1 ·(4 n － 3) ，则它的前 100 项之和 S 100 ＝ _______. S 100 ＝ (4 × 1 － 3) － (4 × 2 － 3) ＋ (4 × 3 － 3) － … － (4 × 100 － 3) ＝ 4 × [(1 － 2) ＋ (3 － 4) ＋ … ＋ (99 － 100)] ＝ 4 × ( － 50) ＝－ 200 . 答案 解析 － 200 4. 若数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ 2 n ＋ 2 n － 1 ，则数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ ___________. 答案 解析 2 n ＋ 1 － 2 ＋ n 2 5. 数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ n cos ， 其前 n 项和为 S n ，则 S 2 017 ＝ _____. 答案 解析 1 008 因为数列 a n ＝ n cos 呈 周期性变化，观察此数列规律如下： a 1 ＝ 0 ， a 2 ＝－ 2 ， a 3 ＝ 0 ， a 4 ＝ 4. 故 S 4 ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ 2. a 5 ＝ 0 ， a 6 ＝－ 6 ， a 7 ＝ 0 ， a 8 ＝ 8 ， 故 a 5 ＋ a 6 ＋ a 7 ＋ a 8 ＝ 2 ， ∴ 周期 T ＝ 4. ∴ S 2 017 ＝ S 2 016 ＋ a 2 017 ＝ 1 008. 题型分类　深度剖析 题型一　分组转化法求和 例 1 　 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ ， n ∈ N * . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解答 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 1 ； a 1 也满足 a n ＝ n ， 故数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ n . (2) 设 b n ＝ ＋ ( － 1) n a n ，求数列 { b n } 的前 2 n 项和 . 解答 由 (1) 知 a n ＝ n ，故 b n ＝ 2 n ＋ ( － 1) n n . 记数列 { b n } 的前 2 n 项和为 T 2 n ， 则 T 2 n ＝ (2 1 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 2 n ) ＋ ( － 1 ＋ 2 － 3 ＋ 4 － … ＋ 2 n ). 记 A ＝ 2 1 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 2 n ， B ＝－ 1 ＋ 2 － 3 ＋ 4 － … ＋ 2 n ， 则 A ＝ ＝ 2 2 n ＋ 1 － 2 ， B ＝ ( － 1 ＋ 2) ＋ ( － 3 ＋ 4) ＋ … ＋ [ － (2 n － 1) ＋ 2 n ] ＝ n . 故数列 { b n } 的前 2 n 项和 T 2 n ＝ A ＋ B ＝ 2 2 n ＋ 1 ＋ n － 2. 引申探究 例 1(2) 中，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 解答 由 (1) 知 b n ＝ 2 n ＋ ( － 1) n · n . 当 n 为偶数时 ， T n ＝ (2 1 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n ) ＋ [ － 1 ＋ 2 － 3 ＋ 4 － … － ( n － 1) ＋ n ] ＝ 2 n ＋ 1 ＋ － 2 ； 当 n 为奇数时， T n ＝ (2 1 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n ) ＋ [ － 1 ＋ 2 － 3 ＋ 4 － … － ( n － 2) ＋ ( n － 1) － n ] 分组转化法求和的常见类型 (1) 若 a n ＝ b n ± c n ，且 { b n } ， { c n } 为等差或等比数列，可采用分组求和法求 { a n } 的前 n 项和 . ( 2) 通项公式为 a n ＝ 的 数列，其中数列 { b n } ， { c n } 是等 比 数 列 或等差数列，可采用分组求和法求和 . 提醒： 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论 . 思维 升华 跟踪训练 1 　已知数列 { a n } 的通项公式是 a n ＝ 2·3 n － 1 ＋ ( － 1) n ·(ln 2 － ln 3) ＋ ( － 1) n n ln 3 ，求其前 n 项和 S n . 解答 S n ＝ 2(1 ＋ 3 ＋ … ＋ 3 n － 1 ) ＋ [ － 1 ＋ 1 － 1 ＋ … ＋ ( － 1) n ]·(ln 2 － ln 3) ＋ [ － 1 ＋ 2 － 3 ＋ … ＋ ( － 1) n n ]ln 3 ， 当 n 为奇数时， ＝ 3 n － ln 3 － ln 2 － 1. 所以当 n 为偶数时， 题型二　错位相减法求和 例 2 　 已知 a >0 ， a ≠ 1 ，数列 { a n } 是首项为 a ，公比也为 a 的等比数列， 令 b n ＝ a n ·lg a n ( n ∈ N ) ，求数列 { b n } 的前 n 项和 S n . 解答 ∵ a n ＝ a n ， b n ＝ n · a n lg a ， ∴ S n ＝ ( a ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ … ＋ na n )lg a ， ① aS n ＝ ( a 2 ＋ 2 a 3 ＋ 3 a 4 ＋ … ＋ na n ＋ 1 )lg a ， ② ① － ② 得： (1 － a ) S n ＝ ( a ＋ a 2 ＋ … ＋ a n － na n ＋ 1 )lg a ， ∴ S n ＝ [ 1 － (1 ＋ n － na ) a n ]. 错位相减法求和时的注意点 (1) 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2) 在写出 “ S n ” 与 “ qS n ” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ” 以便下一步准确写出 “ S n － qS n ” 的表达式； (3) 在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解 . 思维 升华 跟踪训练 2 　设等差数列 { a n } 的公差为 d ，前 n 项和为 S n ，等比数列 { b n } 的公比为 q ，已知 b 1 ＝ a 1 ， b 2 ＝ 2 ， q ＝ d ， S 10 ＝ 100. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； 解答 (2) 当 d >1 时，记 c n ＝ ， 求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . 解答 由 d >1 ，知 a n ＝ 2 n － 1 ， b n ＝ 2 n － 1 ，故 c n ＝ ，于是 ① － ② 可得 题型三　裂项相消法求和 命题点 1 　形如 a n ＝ 型 例 3 　 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，点 ( n ， )( n ∈ N * ) 均在函数 y ＝ 3 x － 2 的图象上 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解答 把点 ( n ， ) 代入函数 y ＝ 3 x － 2 ， ∴ ＝ 3 n － 2 ， ∴ S n ＝ 3 n 2 － 2 n ， 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 1 ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 3 n 2 － 2 n － [3( n － 1) 2 － 2( n － 1)] ＝ 6 n － 5. 又 a 1 ＝ 1 符合该式， ∴ a n ＝ 6 n － 5( n ∈ N * ). (2) 设 b n ＝ ， T n 是数列 { b n } 的前 n 项和，求 T n . 解答 ∴ T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋ … ＋ b n 命题点 2 　形如 a n ＝ 型 例 4 　 已知函数 f ( x ) ＝ x a 的图象过点 (4,2) ，令 a n ＝ ， n ∈ N * . 记数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则 S 2 017 ＝ _________. 答案 解析 由 f (4) ＝ 2 ，可得 4 a ＝ 2 ，解得 a ＝ ， 则 f ( x ) ＝ (1) 用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如 ： ， 裂项后可以产生连续相互抵消的项 . ( 2) 抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后 面也剩两项 . 思维 升华 跟踪训练 3 　在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ，当 n ≥ 2 时，其前 n 项和 S n 满足 ( 1) 求 S n 的表达式； 解答 a n ＝ S n － S n － 1 ( n ≥ 2) ， 即 2 S n － 1 S n ＝ S n － 1 － S n ， ① 由题意得 S n － 1 · S n ≠ 0 ， ① 式两边同除以 S n － 1 · S n ， ∴ 数列 是 首项 为 ＝ 1 ，公差为 2 的等差数列 . ∴ ＝ 1 ＋ 2( n － 1) ＝ 2 n － 1 ， ∴ S n ＝ . (2) 设 b n ＝ ， 求 { b n } 的前 n 项和 T n . 解答 典例 　 (14 分 ) 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ ＋ kn ( 其中 k ∈ N * ) ，且 S n 的最大值为 8. (1) 确定常数 k ，并求 a n ； (2) 设 数列 的 前 n 项和为 T n ，求证： T n <4. 审题 路线图 规范解答 四审结构定 方案 审题路线图系列 返回 ( 1) 解　 当 n ＝ k ∈ N * 时， S n ＝ ＋ kn 取得最大值， 即 8 ＝ S k ＝ ， 故 k 2 ＝ 16 ， k ＝ 4. 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ ， [ 3 分 ] 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ . 当 n ＝ 1 时，上式也成立 . 综上， a n ＝ . [ 6 分 ] [ 10 分 ] ② － ① ，得 ∴ T n ＝ 4 － . ∴ T n <4. [ 14 分 ] 返回 课时作业 1.(2016· 江苏无锡一中质检 ) 设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和， S 4 ＝ 14 ， S 10 － S 7 ＝ 30 ，则 S 9 ＝ ____. 答案 解析 设 等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ， 则 S 4 ＝ 4 a 1 ＋ 6 d ＝ 14 ， ① S 10 ＝ 10 a 1 ＋ 45 d ， S 7 ＝ 7 a 1 ＋ 21 d ， 则 S 10 － S 7 ＝ 3 a 1 ＋ 24 d ＝ 30 ， ② 解 ①② 可得 d ＝ 1 ， a 1 ＝ 2 ， 故 S 9 ＝ 9 a 1 ＋ 36 d ＝ 18 ＋ 36 ＝ 54. 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.(2016· 无锡模拟 ) 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 ＝ 2 016 ，且 a n ＋ 2 a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ＝ 0( n ∈ N * ) ，则 S 2 016 ＝ ____. 答案 解析 0 ∵ a n ＋ 2 a n ＋ 1 ＋ a n ＋ 2 ＝ 0( n ∈ N * ) ， ∴ a n ＋ 2 a n q ＋ a n q 2 ＝ 0 ， q 为等比数列 { a n } 的公比， 即 q 2 ＋ 2 q ＋ 1 ＝ 0 ， ∴ q ＝－ 1 . ∴ a n ＝ ( － 1) n － 1 ·2 016 ， ∴ S 2 016 ＝ ( a 1 ＋ a 2 ) ＋ ( a 3 ＋ a 4 ) ＋ … ＋ ( a 2 015 ＋ a 2 016 ) ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.( 教材改编 ) 数列 { n × } 的前 n 项和 S n ＝ ___________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 已知函数 f ( n ) ＝ n 2 cos( n π) ，且 a n ＝ f ( n ) ＋ f ( n ＋ 1) ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 100 ＝ ________. 若 n 为偶数，则 a n ＝ f ( n ) ＋ f ( n ＋ 1) ＝ n 2 － ( n ＋ 1) 2 ＝－ (2 n ＋ 1) ， 所以 a n 是首项为 a 2 ＝－ 5 ，公差为－ 4 的等差数列 ； 若 n 为奇数，则 a n ＝ f ( n ) ＋ f ( n ＋ 1) ＝－ n 2 ＋ ( n ＋ 1) 2 ＝ 2 n ＋ 1 ， 所以 a n 是首项为 a 1 ＝ 3 ，公差 为 4 的等差数列 . 所以 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 100 ＝ ( a 1 ＋ a 3 ＋ … ＋ a 99 ) ＋ ( a 2 ＋ a 4 ＋ … ＋ a 100 ) 答案 解析 － 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(2016· 江苏连云港四校期中 ) 一个只有有限项的等差数列，它的前 5 项和为 34 ，最后 5 项和为 146 ，所有项的和为 234 ，则它的第 7 项为 ____. 据题意知 a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝ 34 ， a n － 4 ＋ a n － 3 ＋ a n － 2 ＋ a n － 1 ＋ a n ＝ 146 ， 又 ∵ a 1 ＋ a n ＝ a 2 ＋ a n － 1 ＝ a 3 ＋ a n － 2 ＝ a 4 ＋ a n － 3 ＝ a 5 ＋ a n － 4 ， ∴ a 1 ＋ a n ＝ 36. 又 S n ＝ n ( a 1 ＋ a n ) ＝ 234 ， ∴ n ＝ 13 ， ∴ a 1 ＋ a 13 ＝ 2 a 7 ＝ 36 ， ∴ a 7 ＝ 18 . 18 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.(2016· 苏州模拟 ) 已知数列 { a n } 的通项公式为 a n ＝ ， 若前 n 项和为 10 ，则项数 n 为 _____. 答案 解析 120 ∴ S n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(2016· 泰州模拟 ) 设数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， (1 － a n ＋ 1 )(1 ＋ a n ) ＝ 1( n ∈ N * ) ， 则 的 值为 _____. 答案 解析 因为 (1 － a n ＋ 1 )(1 ＋ a n ) ＝ 1 ，所以 a n － a n ＋ 1 － a n a n ＋ 1 ＝ 0 ， 即 数列 是 以 1 为首项， 1 为公差的等差数列， 所以 ＝ 1 ＋ n － 1 ＝ n ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(2016· 苏北四市期末 ) 若公比不为 1 的等比数列 { a n } 满足 log 2 ( a 1 · a 2 · … · a 13 ) ＝ 13 ，等差数列 { b n } 满足 b 7 ＝ a 7 ，则 b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b 13 的值为 _____. 因为等比数列 { a n } 满足 log 2 ( a 1 · a 2 · … · a 13 ) ＝ 13 ， 所以 a 1 · a 2 · … · a 13 ＝ 2 13 ， ( a 7 ) 13 ＝ 2 13 ， a 7 ＝ 2 ， 所以 等差数列 { b n } 中， b 7 ＝ a 7 ＝ 2 ， b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b 13 ＝ 13 b 7 ＝ 13 × 2 ＝ 26 . 答案 解析 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 2 n 2 ＋ 6 n 与已知式相减， 得 ＝ ( n 2 ＋ 3 n ) － ( n － 1) 2 － 3( n － 1) ＝ 2 n ＋ 2. ∴ a n ＝ 4( n ＋ 1) 2 . 当 n ＝ 1 时， a 1 适合 a n . ∴ a n ＝ 4( n ＋ 1) 2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.(2016· 南京、盐城一模 ) 设 S n 是等比数列 { a n } 的前 n 项和， a n >0 ，若 S 6 － 2 S 3 ＝ 5 ，则 S 9 － S 6 的最小值为 ____. 答案 解析 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法一　当 q ＝ 1 时， S 6 － 2 S 3 ＝ 0 ，不合题意，所以 q ≠ 1 ， 故 1 － q <0 ，即 q >1 ， 当且仅当 t ＝ 1 ，即 q 3 ＝ 2 时等号成立 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二　因为 S 6 ＝ S 3 (1 ＋ q 3 ) ， 所以 由 S 6 － 2 S 3 ＝ 5 得 S 3 ＝ > 0 ， 从而 q >1 ，故 S 9 － S 6 ＝ S 3 ( q 6 ＋ q 3 ＋ 1) － S 3 ( q 3 ＋ 1) ＝ S 3 q 6 ＝ ， 以 下同方法一 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 数列 { a n } 满足 a n ＝ 2 a n － 1 ＋ 2 n ＋ 1( n ∈ N ， n ≥ 2) ， a 3 ＝ 27. (1) 求 a 1 ， a 2 的值； 由 a 3 ＝ 27 ，得 27 ＝ 2 a 2 ＋ 2 3 ＋ 1 ， ∴ a 2 ＝ 9. ∵ 9 ＝ 2 a 1 ＋ 2 2 ＋ 1 ， ∴ a 1 ＝ 2 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 是否存在一个实数 t ，使得 b n ＝ ( a n ＋ t )( n ∈ N * ) ，且数列 { b n } 为等差数列？若存在，求出实数 t ；若不存在，请说明理由； 假设存在实数 t ，使得 { b n } 为等差数列，则 2 b n ＝ b n － 1 ＋ b n ＋ 1 . ∴ 4 a n ＝ 4 a n － 1 ＋ a n ＋ 1 ＋ t ， ∴ 4 a n ＝ 4 × ＋ 2 a n ＋ 2 n ＋ 1 ＋ 1 ＋ t ， ∴ t ＝ 1 ，即存在实数 t ＝ 1 ，使得 { b n } 为等差数列 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3) 求数列 { a n } 的前 n 项和 S n . 由 (1) ， (2) 得 b 1 ＝ ， b 2 ＝ ， ∴ a n ＝ ( n ＋ )·2 n － 1 ＝ (2 n ＋ 1)2 n － 1 － 1. S n ＝ (3 × 2 0 － 1) ＋ (5 × 2 1 － 1) ＋ (7 × 2 2 － 1) ＋ … ＋ [(2 n ＋ 1)×2 n － 1 － 1 ] ＝ 3 ＋ 5 × 2 ＋ 7 × 2 2 ＋ … ＋ (2 n ＋ 1) × 2 n － 1 － n ， ① ∴ 2 S n ＝ 3 × 2 ＋ 5 × 2 2 ＋ 7 × 2 3 ＋ … ＋ (2 n ＋ 1) × 2 n － 2 n ， ② 由 ① － ② 得 － S n ＝ 3 ＋ 2 × 2 ＋ 2 × 2 2 ＋ 2 × 2 3 ＋ … ＋ 2 × 2 n － 1 － (2 n ＋ 1) × 2 n ＋ n ＝ 1 ＋ 2 × － (2 n ＋ 1) × 2 n ＋ n ＝ (1 － 2 n ) × 2 n ＋ n － 1. ∴ S n ＝ (2 n － 1) × 2 n － n ＋ 1. ∴ b n ＝ n ＋ ， 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.(2016· 天津 ) 已知 { a n } 是等比数列，前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ， 且 ， S 6 ＝ 63. (1) 求 { a n } 的通项公式； 解答 设数列 { a n } 的公比为 q . 解得 q ＝ 2 或 q ＝－ 1. 又由 S 6 ＝ a 1 · ＝ 63 ，知 q ≠ － 1 ， 所以 a 1 · ＝ 63 ，得 a 1 ＝ 1. 所以 a n ＝ 2 n － 1 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 若对任意的 n ∈ N * ， b n 是 log 2 a n 和 log 2 a n ＋ 1 的等差中项，求 数列 的前 2 n 项和 . 解答 由题意，得 b n ＝ ( log 2 a n ＋ log 2 a n ＋ 1 ) 即 { b n } 是首项 为 ， 公差为 1 的等差数列 . 设 数列 的 前 n 项和为 T n ，则 ＝ ( log 2 2 n － 1 ＋ log 2 2 n ) ＝ n － ， ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ b 3 ＋ b 4 ＋ … ＋ b 2 n － 1 ＋ b 2 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 * 14. 已知数列 { a n } 与 { b n } ，若 a 1 ＝ 3 且对任意正整数 n 满足 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 ，数列 { b n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2 ＋ a n . (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； 解答 因为对任意正整数 n 满足 a n ＋ 1 － a n ＝ 2 ，所以 { a n } 是公差为 2 的等差数列 . 又因为 a 1 ＝ 3 ，所以 a n ＝ 2 n ＋ 1. 当 n ＝ 1 时， b 1 ＝ S 1 ＝ 4 ； 当 n ≥ 2 时， b n ＝ S n － S n － 1 ＝ ( n 2 ＋ 2 n ＋ 1) － [( n － 1) 2 ＋ 2( n － 1) ＋ 1] ＝ 2 n ＋ 1 ， 对 b 1 ＝ 4 不成立 . 所以数列 { b n } 的通项公式为 b n ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 求数列 { } 的前 n 项和 T n . 解答 由 (1) 知当 n ＝ 1 时， T 1 ＝ 当 n ＝ 1 时仍成立，所以 T n ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 c n ＋ 1 － c n ＝ 得当 n ≥ 2 时 ， c n ＝ c 1 ＋ ( c 2 － c 1 ) ＋ ( c 3 － c 2 ) ＋ … ＋ ( c n － c n － 1 ) ＝ 0 ＋ 3 ＋ 5 ＋ … ＋ (2 n － 1) ＝ n 2 － 1 ＝ ( n ＋ 1)( n － 1) ， ∴ 原式得证 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15.(2016· 江苏镇江丹徒中学调研 ) 已知首项 为 的 等比数列 { a n } 不是递减数列，其前 n 项和为 S n ( n ∈ N * ) ，且 S 3 ＋ a 3 ， S 5 ＋ a 5 ， S 4 ＋ a 4 成等差数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解答 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， 所以 S 5 ＋ a 5 － S 3 － a 3 ＝ S 4 ＋ a 4 － S 5 － a 5 ，即 4 a 5 ＝ a 3 ， 又 { a n } 不是递减数列且 a 1 ＝ ， 所以 q ＝ . 故等比数列 { a n } 的通项公式 为 因为 S 3 ＋ a 3 ， S 5 ＋ a 5 ， S 4 ＋ a 4 成等差数列 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 设 T n ＝ S n － ( n ∈ N * ) ，求数列 { T n } 的最大项的值与最小项的值 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当 n 为奇数时， S n 随 n 的增大而减小， 所以 1< S n ≤ S 1 ＝ ， 当 n 为偶数时， S n 随 n 的增大而增大， 所以 ＝ S 2 ≤ S n <1 ， 综上，对于 n ∈ N * ，总有 － ≤ S n － ≤ . 所以数列 { T n } 的最大项的值 为 ， 最小项的值为 － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15