【数学】2019届一轮复习人教A版平面向量的基本定理及坐标表示学案

【数学】2019届一轮复习人教A版平面向量的基本定理及坐标表示学案

第二节平面向量的基本定理及坐标表示 ‎1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.‎ 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．‎ ‎2．平面向量的坐标运算 ‎(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：‎ 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，‎ λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.‎ ‎(2)向量坐标的求法：‎ ‎①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，‎ ‎||＝.‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)‎ ‎(2)若a，b不共线，且λ‎1a＋μ1b＝λ‎2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)‎ ‎(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　　)‎ ‎(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　‎ ‎2．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)‎ A．(－2，－1)　　　　　　　 B．(－2,1)‎ C．(－1,0) D．(－1,2)‎ 解析：选D　因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a－b＝(1,1)－(1，－1)＝－＝(－1,2)．‎ ‎3．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是(　　)‎ A．2 B．－2 ‎ C．±2 D．0‎ 解析：选B　因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x,1)，所以解得x＝±2.又m<0，‎ 所以x＝m＝－2.‎ ‎4．已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　∵＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴＝＝，∴＝.‎ ‎5．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(‎3a－b)，则实数k＝________.‎ 解析：a＋2b＝(－3,3＋2k)，‎3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.‎ 答案：－6‎ ‎6．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．‎ 解析：因为＝3，所以＝＝(a＋b)，又因为＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b.‎ 答案：－a＋b 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 高考对平面向量基本定理的考查主要是用基底表示其他向量，一般多以选择题、填空题的形式出现，难度中等.‎ ‎1.如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是边BE的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)‎ A.a＋b　　　　　 B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：选D　∵在△ABC中，BE是边AC上的中线，‎ ‎∴＝.‎ ‎∵O是边BE的中点，‎ ‎∴＝(＋)＝＋＝a＋b.‎ ‎2．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则2x－y＝________.‎ 解析：由平面向量基本定理可知 解得故2x－y＝9.‎ 答案：9‎ ‎3.如图，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.‎ 解：设＝x，＝y，则＝x，＝－y.‎ 由＋＝，＋＝，‎ 得 ‎①＋②×(－2)，得x－2x＝e1－2e2，‎ 即x＝－(e1－2e2)＝－e1＋e2，‎ 所以＝－e1＋e2.‎ 同理可得y＝－e1＋e2，即＝－e1＋e2.‎ ‎4．如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.‎ 解：∵＝－＝a－b，‎ ＝＝a－b，‎ ‎∴＝＋＝a＋b.‎ ‎∵＝a＋b，‎ ‎∴＝＋ ‎＝＋ ‎＝＝a＋b，‎ ‎∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.‎ 综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.‎ ‎[怎样快解·准解]‎ ‎1．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 ‎(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．‎ ‎(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．‎ ‎2．应用平面向量基本定理应注意的问题 ‎(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．‎ ‎(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．‎ 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 高考对平面向量坐标运算的考查主要是用坐标进行线性运算、用坐标运算进行向量的分解.高考中该类问题多以选择题、填空题的形式出现，难度一般，为中低档题.‎ ‎1．若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)‎ A.a＋b　　　　　　 B．－a－b C.a＋b D.a－b 解析：选A　设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以解得则c＝a＋b.‎ ‎2．(2018·江西九校联考)已知O为坐标原点，向量＝(2,3)，＝(4，－1)，且＝3，则||＝________.‎ 解析：设P(x，y)，由题意可得A，B两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由＝3，可得 解得故||＝.‎ 答案： ‎3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝‎3c，＝－2b，‎ ‎(1)求‎3a＋b－‎3c；‎ ‎(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；‎ ‎(3)求M，N的坐标及向量的坐标．‎ 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．‎ ‎(1)‎3a＋b－‎3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)‎ ‎＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．‎ ‎(2)∵mb＋nc＝(－‎6m＋n，－‎3m＋8n)，‎ ‎∴ 解得 ‎(3)设O为坐标原点，‎ ‎∵＝－＝‎3c，‎ ‎∴＝‎3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．‎ ‎∴M(0,20)．‎ 又∵＝－＝－2b，‎ ‎∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，‎ ‎∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．‎ ‎[怎样快解·准解]‎ 平面向量坐标运算的技巧 ‎(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．‎ ‎(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．‎ 　　　　 高考中对用坐标表示平面向量共线的条件的考查是比较突出的.考查的形式以选择题、填空题为主，难度中等.‎ ‎[典题领悟]‎ 已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．‎ ‎(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；‎ ‎(2)若＝‎2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．‎ 解：(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，‎ ‎∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，‎ a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，‎ ‎∵ka－b与a＋2b共线，‎ ‎∴2(k－2)－(－1)×5＝0，‎ ‎∴k＝－.‎ ‎(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，‎ ＝(1,0)＋m(2,1)＝(‎2m＋1，m)．‎ ‎∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴∥，‎ ‎∴‎8m－3(‎2m＋1)＝0，‎ ‎∴m＝.‎ ‎[解题师说]‎ ‎1．平面向量共线的充要条件的2种形式 ‎(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.‎ ‎2．共线问题解含参，列出方程求得解 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C．1 D．2‎ 解析：选B　因为a＋λb＝(1＋λ，2)，(a＋λb)∥c，‎ 所以＝，所以λ＝.‎ ‎2．已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，求证：A，B，C三点共线．‎ 证明：由题意得＝(1,3)－(－1，－1)＝(1＋1,3＋1)＝(2,4)，＝(2,5)－(－1，－1)＝(2＋1,5＋1)＝(3,6)．‎ 因为2×6－4×3＝0，所以∥，又直线AB和直线AC有公共点A，所以A，B，C三点共线．‎ 普通高中、重点高中共用作业(高考难度一般，无须挖潜)‎ A级——基础小题练熟练快 ‎1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b＝(　　)‎ A．(－3,4)　　　　　　　　 B．(3,4)‎ C．(3，－4) D．(－3，－4)‎ 解析：选A　由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b＝(－6,8)＝(－3,4)．‎ ‎2．若向量＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)‎ A．(1,1) B．(－1，－1) ‎ C．(3,7) D．(－3，－7)‎ 解析：选B　由向量的三角形法则，＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．‎ ‎3．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若‎3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)‎ A．(－23，－12) B．(23,12)‎ C．(7,0) D．(－7,0)‎ 解析：选A　由题意可得‎3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)．‎ ‎4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝(　　)‎ A．(－2，－4) B．(－3，－5)‎ C．(3,5) D．(2,4)‎ 解析：选B　由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．‎ ‎5．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行，则A＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0

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