2014高考北京（理科数学）试卷
2014·北京卷(理科数学)
1．[2014·北京卷] 已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A．{0}B．{0，1}
C．{0，2}D．{0，1，2}
1．C [解析]∵A＝{0，2}，∴A∩B＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}．
2．、[2014·北京卷] 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．y＝B．y＝(x－1)2
C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)
2．A [解析]由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A.
3．[2014·北京卷] 曲线(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上
3．B [解析]曲线方程消参化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其对称中心点为(－1，2)，验证知其在直线y＝－2x上．
4．[2014·北京卷] 当m＝7，n＝3时，执行如图11所示的程序框图，输出的S值为( )
图11
A．7B．42
C．210D．840
4．C [解析]S＝1×7×6×5＝210.
5．[2014·北京卷] 设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．D [解析]当a1<0，q>1时，数列{an}递减；当a1<0，数列{an}递增时，0
0时，知z＝y－x无最小值，当k<0时，目标函数线过可行域内A点时z有最小值．联立解得A，故zmin＝0＋＝－4，即k＝－.
7．[2014·北京卷] 在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，)．若S1，S2，S3分别是三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则( )
A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3
C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1
7．D [解析]设顶点D在三个坐标平面xOy、yOz、zOx上的正投影分别为D1、D2、D3，则
AD1＝BD1＝，AB＝2，∴S1＝×2×2＝2，S2＝SOCD2＝×2×＝，S3＝SOAD3＝×2×＝.∴选D.
8．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )
A．2人B．3人C．4人D．5人
8．B [解析]假设A、B两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾．因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的．因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即3位学生的成绩分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件．
9．[2014·北京卷] 复数＝________．
9．－1 [解析]＝＝＝－1.
10．[2014·北京卷] 已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．
10. [解析]∵λa＋b＝0，∴λa＝－b，
∴|λ|＝＝＝.
11．[2014·北京卷] 设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．
11.－＝1 y＝±2x [解析]设双曲线C的方程为－x2＝λ，将(2，2)代入得－22＝－3＝λ，∴双曲线C的方程为－＝1.令－x2＝0得渐近线方程为y＝±2x.
12．[2014·北京卷] 若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
12．8 [解析]∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0，∴n＝8时，数列{an}的前n项和最大．
13．[2014·北京卷] 把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
13．36 [解析]AAA＝6×2×3＝36.
14．[2014·北京卷] 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
14．π [解析]结合图像得＝－，即T＝π.
图12
15．[2014·北京卷] 如图12，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
15．解：(1) 在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB
＝82＋52－2×8×5×＝49，
所以AC＝7.
16．、[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
(3)记x为表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与x的大小．(只需写出结论)
16．解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．
则C＝AB∪AB，A，B相互独立．
根据投篮统计数据，P(A)＝，P(B)＝.
故P(C)＝P(AB)＋P(AB)
＝×＋×
＝.
所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不
超过0.6的概率为.
(3)EX＝.
17．、[2014·北京卷] 如图13，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.
(1)求证：AB∥FG；
(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．
图13
17．解：(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.
又因为AB⊄平面PDE，
所以AB∥平面PDE.
因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，
所以AB∥FG.
(2)因为PA⊥底面ABCDE，
所以PA⊥AB，PA⊥AE.
建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，＝(1，1，0)．
设平面ABF的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
令z＝1，则y＝－1.所以n＝(0，－1，1)．
设直线BC与平面ABF所成角为α，则
sinα＝|cos〈n，〉|＝＝.
因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.
设点H的坐标为(u，v，w)．
因为点H在棱PC上，所以可设＝λ(0<λ<1)．
即(u，v，w－2)＝λ(2，1，－2)，所以u＝2λ，v＝λ，w＝2－2λ.
因为n是平面ABF的一个法向量，
所以n·＝0，
即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，
解得λ＝，所以点H的坐标为.
所以PH＝＝2.
18．[2014·北京卷] 已知函数f(x)＝xcosx－sinx，x∈.
(1)求证：f(x)≤0；
(2)若a<0时，“>a”等价于“sinx－ax>0”，“0对任意x∈恒成立．
当c≥1时，因为对任意x∈，g′(x)＝cosx－c<0，所以g(x)在区间上单调递减，
从而g(x)g(0)＝0.进一步，“g(x)>0对任意x∈恒成立”当且仅当g＝1－c≥0，即00对任意x∈恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈恒成立．
所以，若a<
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