2020届二轮复习(文)第2部分专题1第1讲 三角函数的图象和性质学案
第 1 讲 三角函数的图象和性质
[做小题——激活思维]
1.已知 tan α=-3
4
,且 α 是第二象限角,那么 cos α 等于( )
A.4
5
B.-4
5
C.3
5
D.-3
5
[答案] B
2.函数 y=tan 2x 的定义域是( )
A.Error!
B.Error!
C.Error!
D.Error!
[答案] D
3.(2019·济宁一模)若 sin x=3sin(x-π
2),则 cos x·cos(x+π
2)=( )
A. 3
10 B.- 3
10 C.3
4 D.-3
4
A [由 sin x=3sin(x-π
2)=-3cos x,解得 tan x=-3,
所以 cos xcos(x+π
2)=-sin xcos x=-sin xcos x
sin2x+cos2x
= -tan x
tan2x+1
= 3
10
,故选 A.]
4.设函数 f(x)=cos ωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移π
3
个单位长度后,
所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( )
A.1
3 B.3 C.6 D.9
C [由题意知π
3
=2π
ω·k(k∈Z),解得 ω=6k,令 k=1,即得 ωmin=6.]
5.下列函数中同时具有以下性质的是( )
①最小正周期是 π;②图象关于直线 x=π
3
对称;③在[-π
6,π
3]上是增函数;④
图象的一个对称中心为( π
12,0).
A.y=sin(x
2
+π
6) B.y=sin(2x+π
3)
C.y=sin(2x-π
6) D.y=sin(2x-π
3)
[答案] C
[扣要点——查缺补漏]
1.同角三角函数基本关系式与诱导公式
(1)同角三角函数基本关系式:sin2α+cos2α=1,sin α
cos α
=tan α
(α ≠ π
2
+kπ,k ∈ Z),如 T1.
(2)诱导公式:角 k
2π±α(k∈Z)的三角函数口诀:
奇变偶不变,符号看象限,如 T3.
2.三角函数的图象及变换
(1)五点法作简图:y=Asin(ωx+φ)的图象可令 ωx+φ=0,π
2
,π,3π
2
,2π,求
出 x 的值,描出点作图.
(2)图象变换:平移、伸缩、对称,如 T4.
特别提醒:由 y=Asin ωx 的图象得到 y=Asin(ωx+φ)的图象时,需平移|φ
ω |
个单位长度,而不是|φ|个单位长度.
3.三角函数的性质
(1)整体思想研究性质:对于函数 y=Asin(ωx+φ),可令 t=ωx+φ,考虑 y=
Asin t 的性质.如 T2,T5.
(2)数形结合思想研究性质.
三角函数的定义、诱导公式及基本关系(5 年 4 考)
[高考解读] 高考对本部分内容的考查多以三角函数的定义、诱导公式、同
角三角函数关系式间的综合利用为主,且常与简单的三角恒等变换相结合.
1.(2018·全国卷Ⅰ)已知角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重
合,终边上有两点 A(1,a),B(2,b),且 cos 2α=2
3
,则|a-b|=( )
A.1
5
B. 5
5
C.2 5
5
D.1
切入点:①终边上两点 A(1,a),B(2,b);
②cos 2α=2
3.
关键点:用 A,B 两点坐标表示 α 的正切值 tan α,然后利用弦化切将 cos 2α
=2
3
用|a-b|表示出来.
B [由题可知 cos α>0.因为 cos 2α=2cos2α-1=2
3
,所以 cos α= 5
6
,sin α=
± 1
6
,得|tan α|= 5
5 .由题意知|tan α|=a-b
1-2
,所以|a-b|= 5
5 .]
2.(2017·全国卷Ⅲ)已知 sin α-cos α=4
3
,则 sin 2α=( )
A.-7
9 B.-2
9 C.2
9 D.7
9
切入点:sin α-cos α=4
3.
关键点:利用平方关系 sin2α+cos2α=1 及倍角公式将 sin 2α 用 sin α-cos α
表示出来.
A [∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=(4
3 )
2
=16
9
,∴sin 2α=
-7
9.
故选 A.]
[教师备选题]
1.(2014·全国卷Ⅰ)若 tan α>0,则( )
A.sin 2α>0 B.cos α>0
C.sin α>0 D.cos 2α>0
A [利用 tan α>0,求出角 α 的象限,再判断.
∵tan α>0,∴α∈(kπ,kπ+π
2)(k∈Z)是第一、三象限角.
∴sin α,cos α 都可正、可负,排除 B,C.
而 2α∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z),
结合正、余弦函数图象可知,A 正确.
取 α=π
4
,则 tan α=1>0,而 cos 2α=0,故 D 不正确.]
2.(2018·浙江高考)已知角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴
重合,它的终边过点 P(-3
5,-4
5).
(1)求 sin(α+π)的值;
(2)若角 β 满足 sin(α+β)= 5
13
,求 cos β 的值.
[解] (1)由角 α 的终边过点 P(-3
5,-4
5)
得 sin α=-4
5
,
所以 sin(α+π)=-sin α=4
5.
(2)由角 α 的终边过点 P(-3
5,-4
5),
得 cos α=-3
5.
由 sin(α+β)= 5
13
,得 cos(α+β)=±12
13.
由 β=(α+β)-α,
得 cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,
所以 cos β=-56
65
或 cos β=16
65.
三角函数求值与化简的 3 种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sin α
cos α
化成正弦、余弦;
(2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ 进行变形、转化;
(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan
π
4.
1.(同角三角函数基本关系式的应用)若 sin α=- 5
13
,且 α 为第四象限角,
则 tan α 的值等于( )
A.12
5
B.-12
5
C. 5
12
D.- 5
12
D [∵sin α=- 5
13
,α 为第四象限角,
∴cos α= 1-sin2α=12
13
,∴tan α=sin α
cos α
=- 5
12.故选 D.]
2.(三角函数的定义与诱导公式的应用)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 与
角 β 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称.若 sin α=1
3
,则 sin β=
________.
1
3
[由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,可得 β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sin
α=1
3
,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=1
3.]
3.[新题型](同角三角函数基本关系式及其应用)已知 sin α+2cos α=0,则 tan
α=________,2sin αcos α-cos2α=________.
-2 -1 [由 sin α+2cos α=0 得 tan α=-2.
∴2sin αcos α-cos2α=2sin αcos α-cos2α
sin2α+cos2α
=2tan α-1
tan2α+1
=2 × (-2)-1
(-2)2+1
=-5
5
=-1.]
4.(三角函数的意义与简单的三角恒等变换结合)在平面直角坐标系 xOy 中,
点 P(x0,y0)在单位圆 O 上,设∠xOP=α,且 α∈(π
4,3π
4 ).若 cos(α+π
4)=-12
13
,
则 x0 的值为________.
-7 2
26
[因为点 P(x0,y0)在单位圆 O 上,且∠xOP=α,所以由三角函数的
定义知 x0=cos α.因为 α∈(π
4,3π
4 ),所以 α+π
4
∈(π
2,π),又 cos(α+π
4)=-12
13
,所
以 sin(α+π
4)= 5
13
,所以 x0=cos α=cos[(α+π
4)-π
4]=cos(α+π
4)cosπ
4
+sin(α+π
4)sinπ
4
=-7 2
26 .]
三角函数的图象及应用(5 年 3 考)
[高考解读] 高考对该部分内容的考查主要有两种方式:(1)考查三角函数图
象变换;(2)由图定式并与三角函数的性质相结合.预计 2020 年还会这样考查.
1.(2019·全国卷Ⅱ)若 x1=π
4
,x2=3π
4
是函数 f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极
值点,则 ω=( )
A.2 B.3
2
C.1 D.1
2
A [由题意及函数 y=sin ωx 的图象与性质可知,
1
2T=3π
4
-π
4
,∴T=π,∴2π
ω
=π,∴ω=2.
故选 A.]
2.(2016·全国卷Ⅰ)将函数 y=2sin (2x+π
6)的图象向右平移1
4
个周期后,所得
图象对应的函数为( )
A.y=2sin(2x+π
4) B.y=2sin(2x+π
3)
C.y=2sin(2x-π
4) D.y=2sin(2x-π
3)
切入点:①y=2sin(2x+π
6);
②向右平移1
4
个周期.
关键点:y=Asin(ωx+φ)的图象平移规律.
D [先求出函数的周期,再根据函数图象的平移变换规律求出对应的函数解
析式.
函数 y=2sin (2x+π
6)的周期为 π,将函数 y=2sin (2x+π
6)的图象向右平移1
4
个
周期即π
4
个单位长度,所得图象对应的函数为 y=2sin[2(x-π
4)+π
6]=2sin(2x-π
3),
故选 D.]
3.(2015·全国卷Ⅰ)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单
调递减区间为( )
A.(kπ-1
4,kπ+3
4),k∈Z
B.(2kπ-1
4,2kπ+3
4),k∈Z
C.(k-1
4,k+3
4),k∈Z
D.(2k-1
4,2k+3
4),k∈Z
切入点:图象与 x 轴交于点(1
4,0),(5
4,0).
关键点:逆用五点作图求解析式.
D [由已知图象可求得 ω 与 φ 的值,然后利用余弦函数的单调区间求解.
由题图知,周期 T=2(5
4
-1
4)=2,
∴2π
ω
=2,∴ω=π.
由 π×1
4
+φ=π
2
+2kπ,k∈Z,不妨取 φ=π
4
,
∴f(x)=cos(πx+π
4).
由 2kπ<πx+π
4<2kπ+π,得 2k-1
4
0,|φ| <
π
2)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ 0 π
2 π 3π
2 2π
x π
3
5π
6
Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式;
(2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动π
6
个单位长度,得到 y=g(x)图象,
求 y=g(x)的图象离原点 O 最近的对称中心.
[解] (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=-π
6
,数据补全如下表:
ωx+φ 0 π
2 π 3π
2 2π
x π
12
π
3
7π
12
5π
6
13
12π
Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0
且函数解析式为 f(x)=5sin(2x-π
6).
(2)由(1)知 f(x)=5sin(2x-π
6),
因此,g(x)=5sin[2(x+π
6)-π
6]=5sin(2x+π
6).
因为 y=sin x 的对称中心为(kπ,0),k∈Z,
令 2x+π
6
=kπ,k∈Z,解得 x=kπ
2
- π
12
,k∈Z,
即 y=g(x)图象的对称中心为(kπ
2
- π
12,0),k∈Z,其中离原点 O 最近的对称
中心为(- π
12,0).
1.图象变换抓“实质”
图象变换的实质——点的坐标变换.三角函数图象的伸缩、平移变换,可以
利用两个函数图象上的两个特征点之间的对应确定变换的方式,一般选取与 y 轴
最近的最高点或最低点,当然也可以选取在原点右侧的第一个中心点,根据这些
点的坐标即可确定变换的方式、平移的长度与方向等.
2.由“图”定“式”找“对应”
由三角函数的图象求解析式 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)中参数的值,
关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系,其基本依据就是“五点法”
作图.
(1)最值定 A,B:根据给定的函数图象确定最值,设最大值为 M,最小值为
m,则 M=A+B,m=-A+B,解得 B=M+m
2
,A=M-m
2 .
(2)T 定 ω:由周期的求解公式 T=2π
ω
,可得 ω=2π
T .
(3)点坐标定 φ:一般运用代入法求解 φ 值,在求解过程中,可以代入图象上
的一个已知点(此时 A,ω,B 已知),也可代入图象与直线 y=B 的交点(此时要注
意交点在上升区间上还是在下降区间上).注意在确定 φ 值时,往往以寻找“五
点法”中的某一个点为突破口,即“峰点”“谷点”与三个“中心点”,利用“中
心点”时要注意其所在单调区间的单调性,避免产生增解.
1.(图象变换)为了得到函数 y=2cos 2x 的图象,可以将函数 y=cos 2x- 3
sin 2x 的图象( )
A.向左平移π
6
个单位长度
B.向右平移π
6
个单位长度
C.向左平移π
3
个单位长度
D.向右平移π
3
个单位长度
B [因为 y=cos 2x- 3sin 2x=2cos(2x+π
3)=2cos[2(x+π
6)],所以要得到函
数 y=2cos 2x 的图象,可以将函数 y=cos 2x- 3sin 2x 的图象向右平移π
6
个单位
长度,故选 B.]
2.(由图定式)已知函数 f(x)=-2cos ωx(ω>0)的图象向左平移 φ (0<φ<π
2)
个单位,所得的部分函数图象如图所示,则 φ 的值为( )
A.π
6 B.5
6π C. π
12 D. 5
12π
C [由题图知,T=2(11π
12
-5π
12)=π,
∴ω=2π
T
=2,∴f(x)=-2cos 2x,
∴f(x+φ)=-2cos(2x+2φ),
∴f(5π
12
+φ)=-2cos(5π
6
+2φ)=2,
故5π
6
+2φ=π+2kπ(k∈Z),
∴φ= π
12
+kπ(k∈Z).
又 0<φ<π
2
,∴φ= π
12.故选 C.]
3.(由图定式与三角函数性质的综合问题)已知 P(1
2,2)是函数 f(x)=Asin(ωx
+φ)(A>0,ω>0)图象的一个最高点,B,C 是与 P 相邻的两个最低点.若|BC|=
6,则 f(x)的图象的对称中心可以是( )
A.(0,0) B.(1,0)
C.(2,0) D.(3,0)
C [由题设知,A=2,函数 f(x)的最小正周期为 6,所以2π
ω
=6,解得 ω=π
3
,
所以 f(x)=2sin(π
3x+φ),将 P (1
2,2)代入,可得 2sin(π
6
+φ)=2,故可取 φ=π
3
,所
以 f(x)=2sin(π
3x+π
3),令 π
3x+π
3
=kπ(k∈Z),可得 x=3k-1(k∈Z),结合选项,可
知 C 正确,故选 C.]
4.(图象与解析式)已知 ω>0,在函数 y=2sin ωx 与 y=2cos ωx 的图象的交
点中,距离最短的两个交点的距离为 2 3,则 ω=________.
π
2
[由Error!消去 y,得 sin ωx-cos ωx=0,即 2sin(ωx-π
4)=0,解得 x=kπ
ω
+ π
4ω
,k∈Z.
取 k=0,1,可得距离最短的两个交点的坐标为( π
4ω, 2),(5π
4ω,- 2),又两
交点的距离为 2 3,所以 ( π
4ω
-5π
4ω)
2
+( 2+ 2)2=(2 3)2,解得 ω=π
2.]
三角函数的性质及应用(5 年 9 考)
[高考解读] 高考对该部分的考查多与三角恒等变换相结合,考查三角函数
的周期性、单调性和最值问题,预计 2020 年将会延续上述命题规律.
1.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( )
A.f(x)的最小正周期为 π,最大值为 3
B.f(x)的最小正周期为 π,最大值为 4
C.f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 3
D.f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 4
切入点:对 f(x)=2cos2x-sin2x+2 恒等转化.
关键点:将函数解析式转化为 f(x)=Asin(ωx+φ)+B 的形式.
B [易知 f(x)=2cos2x-sin2x+2=3cos2x+1=3×1+cos 2x
2
+1=3
2cos 2x+5
2
,
则 f(x)的最小正周期为 π,最大值为 4.]
2.[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)若 f(x)=cos x-sin x 在[0,a]是减函数,则 a
的最大值是( )
A.π
4
B.π
2
C.3π
4
D.π
切入点:①f(x)=cos x-sin x;②减函数.
关键点:将解析式化为 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式.
C [法一:f(x)=cos x-sin x= 2cosx+π
4.当 x∈[0,a]时,x+π
4
∈π
4
,a+π
4
,
所以结合题意可知,a+π
4
≤π,即 a≤3π
4
,故所求 a 的最大值是3π
4 .故选 C.
法二:f′(x)=-sin x-cos x=- 2sinx+π
4.于是,由题设得 f′(x)≤0,即
sinx+π
4
≥0 在区间[0,a]上恒成立.当 x∈[0,a]时,x+π
4
∈π
4
,a+π
4
,所以 a+π
4
≤π,即 a≤3π
4
,故所求 a 的最大值是3π
4 .故选 C.]
3.[一题多解](2017·全国卷Ⅲ)函数 f(x)= 1
5sin(x+π
3)+cos (x-π
6)的最大值为
( )
A.6
5 B.1 C.3
5 D.1
5
切入点:f(x)=1
5sin(x+π
3)+cos(x-π
6).
关键点:利用三角恒等变换化简解析式为 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式.
A [法一(辅助角公式法):∵f(x)=1
5sin(x+π
3)+cos(x-π
6)
=1
5(1
2sin x+ 3
2 cos x)+ 3
2 cos x+1
2sin x
= 1
10sin x+ 3
10 cos x+ 3
2 cos x+1
2sin x
=3
5sin x+3 3
5 cos x=6
5sin(x+π
3),
∴当 x=π
6
+2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值6
5.
故选 A.
法二(角度转换法):∵(x+π
3)+(π
6
-x)=π
2
,
∴f(x)=1
5sin(x+π
3)+cos(x-π
6)
=1
5sin(x+π
3)+cos(π
6
-x)
=1
5sin(x+π
3)+sin(x+π
3)
=6
5sin(x+π
3)≤6
5.
∴f(x)max=6
5.
故选 A.]
4.(2019·全国卷Ⅰ)函数 f(x)=sin(2x+3π
2 )-3cos x 的最小值为________.
-4 [∵f(x)=sin(2x+3π
2 )-3cos x
=-cos 2x-3cos x
=-2cos2x-3cos x+1,
令 t=cos x,则 t∈[-1,1],
∴f(x)=-2t2-3t+1.
又函数 f(x)图象的对称轴 t=-3
4
∈[-1,1],且图像的开口向下,∴当 t=1 时,
f(x)有最小值-4.]
[教师备选题]
1.(2017·天津高考)设函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,|φ|<π.若 f
(5π
8 )=2,f(11π
8 )=0,且 f(x)的最小正周期大于 2π,则( )
A.ω=2
3
,φ= π
12
B.ω=2
3
,φ=-11π
12
C.ω=1
3
,φ=-11π
24 D.ω=1
3
,φ=7π
24
A [∵f(5π
8 )=2,f(11π
8 )=0,
∴f(x)的最小正周期为 4(11π
8
-5π
8 )=3π,
∴ω=2π
3π
=2
3
,∴f(x)=2sin(2
3x+φ).
∵f(5π
8 )=2,
∴2sin(2
3 × 5π
8
+φ)=2,
得 φ=2kπ+ π
12
,k∈Z.
又|φ|<π,∴取 k=0,得 φ= π
12.
故选 A.]
2.(2018·北京高考)已知函数 f(x)=sin2x+ 3sin xcos x.
(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)若 f(x)在区间[-π
3,m]上的最大值为3
2
,求 m 的最小值.
[解] (1)f(x)=sin2x+ 3sin xcos x
=1
2
-1
2cos 2x+ 3
2 sin 2x
=sin(2x-π
6)+1
2.
所以 f(x)的最小正周期为 T=2π
2
=π.
(2)由(1)知 f(x)=sin(2x-π
6)+1
2.
由题意知-π
3
≤x≤m.
所以-5π
6
≤2x-π
6
≤2m-π
6.
要使得 f(x)在[-π
3,m]上的最大值为3
2
,
即 sin (2x-π
6)在[-π
3,m]上的最大值为 1.
所以 2m-π
6
≥π
2
,即 m≥π
3.
所以 m 的最小值为π
3.
函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的性质及应用的求解思路
第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=
Asin(ωx+φ)+B 的形式;
第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y=Asin(ωx+φ)+
B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
1.[一题多解](求函数的单调区间)已知函数 f(x)= 3sin x-cos x,则 f(x)的
单调递增区间是( )
A.[2kπ-π
6,2kπ+π
6](k∈Z)
B.[2kπ-π
3,2kπ+2π
3 ](k∈Z)
C.[2kπ-2π
3 ,2kπ+π
3](k∈Z)
D.[2kπ-π
6,2kπ+5π
6 ](k∈Z)
B [法一:由已知,得 f(x)=2( 3
2 sin x-1
2cos x)=2sin(x-π
6),由 2kπ-π
2
≤x
-π
6
≤2kπ+π
2(k∈Z),得 2kπ-π
3
≤x≤2kπ+2π
3 (k∈Z),所以 f(x)的单调递增区间为
[2kπ-π
3,2kπ+2π
3 ](k∈Z),故选 B.
法二:由已知,得 f(x)=2( 3
2 sin x-1
2cos x)=-2cos(x+π
3),由 2kπ≤x+π
3
≤2kπ+π(k∈Z),得 2kπ-π
3
≤x≤2kπ+2π
3 (k∈Z),所以 f(x)的单调递增区间为
[2kπ-π
3,2kπ+2π
3 ](k∈Z),故选 B.]
2.(已知函数的单调区间求参数)已知函数 f(x)=sin 2x+2sin2x-1 在[0,m]
上单调递增,则 m 的最大值是( )
A.π
4
B.π
2
C.3π
8
D.π
C [由题意,得 f(x)=sin 2x-cos 2x= 2sin(2x-π
4),由-π
2
+2kπ≤2x-π
4
≤
π
2
+2kπ(k∈Z),解得-π
8
+kπ≤x≤3π
8
+kπ(k∈Z),k=0 时,-π
8
≤x≤3π
8
,即函数 f(x)
在[-π
8,3π
8 ]上单调递增.因为函数 f(x)在[0,m]上单调递增,所以 0<m≤3π
8
,
即 m 的最大值为3π
8
,故选 C.]
3.(求函数的值域或最值)若函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π
2)的图象向左平移π
6
个
单位后关于原点对称,则函数 f(x)在[0,π
2]上的最小值为( )
A.- 3
2 B.-1
2 C.1
2 D. 3
2
A [函数 f(x)=sin(2x+φ)向左平移π
6
个单位得 y=sin[2(x+π
6)+φ]=sin
(2x+π
3
+φ),又其为奇函数,故π
3
+φ=kπ,k∈Z,解得 φ=kπ-π
3
,又|φ|<π
2
,令
k=0,得 φ=-π
3
,∴f(x)=sin(2x-π
3).
又∵x∈[0,π
2],
∴2x-π
3
∈[-π
3,2
3π],∴sin(2x-π
3)∈[- 3
2 ,1],
当 x=0 时,f(x)min=- 3
2
,故选 A.]
4.(函数性质的综合问题)将函数 f(x)=2sin(π
6
+2x)-2cos 2x 的图象向左平移
π
6
个单位长度,得到 y=g(x)的图象,则下列说法正确的是( )
A.函数 g(x)的最小正周期为 2π
B.函数 g(x)的最小值为-1
C.函数 g(x)的图象关于 x=π
6
对称
D.函数 g(x)在[2π
3 ,π]上单调递减
C [函数 f(x)=2×( 3
2 sin 2x+1
2cos 2x)-2cos 2x= 3sin 2x+cos 2x-2cos
2x= 3sin 2x-cos 2x=2sin(2x-π
6),将函数 f(x)的图象向左平移π
6
个单位长度得 y
=g(x)=2sin[2(x+π
6)-π
6]=2sin (2x+π
6)的图象,则函数 g(x)的最小正周期 T=2π
2
=π,g(x)的最小值为-2,g(x)的图象的对称轴为 2x+π
6
=π
2
+kπ(k∈Z),即 x=π
6
+
kπ
2 (k∈Z),当 k=0 时,x=π
6
为 g(x)的图象的一条对称轴,令π
2
+2kπ≤2x+π
6
≤3π
2
+
2kπ(k∈Z),解得π
6
+kπ≤x≤2π
3
+kπ(k∈Z),当 k=0 时,函数 g(x)在[π
6,2π
3 ]上单
调递减,故选 C.]