山西省长治市2020届高三上学期九月份统一联考数学（理）试题

山西省长治市2020届高三上学期九月份统一联考数学（理）试题

长治市2019年高三年级九月份统一联考 数学试题（理科）‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ ‎2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。‎ ‎3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎4.本试题满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎5.考试范围：高考全部内容。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1.已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵集合 ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴，‎ 故选A ‎2.已知为虚数单位，若，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法运算得到，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果.‎ ‎【详解】为虚数单位，若，‎ 根据复数相等得到.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数与相等的充要条件是且．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．‎ ‎3.已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等中间值区分各个数值的大小。‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，故，‎ 所以。‎ 故选A。‎ ‎【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。‎ ‎4.函数（且）的图象可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.‎ 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.‎ ‎5.设函数，在区间上随机取一个数，则的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由,得,即,根据几何概型的概率公式可得从区间内随机选取一个实数,的概率为,故选D.‎ ‎6.已知向量 ，满足，，且 与 的夹角为，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数量积公式直接求解即可 ‎【详解】.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．‎ ‎7.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为（ ）‎ A. B. C. 4 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由对数恒等式得,由换底公式得 ‎,由题意得:的值为,故选B.‎ 点睛:本题考查是指对的运算和程序框图的综合应用,属于中档题目.判断程序框图的输出结果,是算法初步的热点问题,此类问题以循环结构的程序框图居多,要求仔细阅读程序框图,推演程序的功能,找到运算规律.本题在计算时结合了对数恒等式与换底公式进行化解.‎ ‎8.双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．‎ ‎【详解】由．‎ ‎，‎ 又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，‎ ‎，故选A．‎ ‎【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．‎ ‎9.定义在上的函数满足：当时，；当时，.记函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 确定函数极大值点及极大值求得.，再求和即可 ‎【详解】由题当当时，极大值点为1，极大值为1‎ 当时，.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列 故.,故 设S=‎ ‎3S=‎ 两式相减得-2S=1+2()-‎ ‎∴S=‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定及的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题 ‎10.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法。秦九韶算法是一种将一元次多项式的求值问题转化为 个一次式的算法。其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法。用秦九韶算法计算当时函数的值时，需要进行加法运算的次数及函数值分别为（）‎ A. 3，5.6426 B. 4，5.6426‎ C. 3，5.6416 D. 4，5.6416‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由秦九韶算法原理，可把多项式变形计算出加法的运算次数，从而得到函数的值。‎ ‎【详解】根据秦九韶算法的原理，可得 所以进行了三次加法运算，‎ 由于 所以函数的值为5.6416‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查秦九韶算法，考查在用秦九韶算法解题时一共进行多少次加法运算，属于基础题。‎ ‎11.已知函数，，设为实数，若存在实数，使得成立，则的取值范围为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由，求出函数的值域，再由存在实数，使得成立，只需即可，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 当时，单调递增，故；‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时，取等号；‎ 综上可得，；‎ 又因为存在实数，使得成立，‎ 所以只需，即，‎ 解得.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查分段函数的值域，存在实数，使得成立，转化为是解题的关键，属于常考题型.‎ ‎12.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ‎ 根据三视图恢复原几何体为三棱锥P-ABC如图，其中， ， 平面 ，计算可得，，放在外接球中，把直角三角形恢复为正方形，恰好在一个球小圆中，AC为球小圆的直径，分别过和做圆的垂面，得出矩形和矩形，两矩形对角线交点分别为，连接并取其中点为，则为球心，从图中可以看出点共面且都在的外接圆上，在中， ，，利用正弦定理可以求出的外接圆半径 ‎ ‎ ， ， ，平面，则 ‎，则球的半径 ，外接球的表面积为，选A.‎ ‎【点睛】如何求多面体的外接球的半径？基本方法有种，第一种：当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线就是外接圆的直径；第二种：“套球”当棱锥或棱柱是较特殊的形体时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球小圆，借助底面三角形或四边形求出小圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径，第三种：过两个多面体的外心作两个面的垂线，交点即为外接球的球心，再通过关系求半径.本题使用“套球”的方法，恢复底面为正方形，放在一个球小圆里，这样画图方便一些，最主要是原三视图中的左试图为直角三角形，告诉我们平面平面，和我们做的平面是同一个平面，另外作平面和平面的作用是找球心，因为这两个矩形平面对角线的交点所连线段的中点就是球心，再根据正、余弦进行计算就可解决.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）‎ ‎13.函数，当时，函数的零点个数为______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的值域，即可推出函数零点的个数。‎ ‎【详解】当时，，‎ 由于，，由基本不等式可得，（当且仅当时等号成立）‎ 所以，且，故 则函数的零点个数为为0‎ 故答案为0.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点的应用，涉及基本不等式的应用以及余弦函数的值域问题。‎ ‎14.在数列中，，则的值为______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，利用“累加法”可得结果.‎ ‎【详解】因为 所以，‎ ‎,‎ ‎,‎ 各式相加，可得 ‎，‎ ‎，‎ 所以，，故答案1.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.‎ ‎15.安排 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工不安排照顾老人甲，义工不安排照顾老人乙，安排方法共有___________．‎ ‎【答案】42‎ ‎【解析】‎ 试题分析：6人分组为种，当照顾老人甲时有种，同理义工照顾老人乙也有30种，再加上同时分别照顾老人甲和乙有种，所以共有种．‎ 考点：1．平均分组问题；2．特殊元素优先排序法；3．排除法；‎ ‎16.已知双曲线：与：相交于两个不同的点、，与轴交于点，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线与直线有两个不同的交点，得其两方程联立以后二元一次方程，借助向量相等条件，利用韦达定理，列出只含的方程，再求解。‎ ‎【详解】由于双曲线与直线有两个不同的交点，故方程： ，有两组不同的实数解，消去并整理可得： 所以实数应满足： ，解得：且 设，，由根与系数关系可得： ①‎ 根据题意可知，‎ 由，可得，从而得到 ②‎ 由①②解得：，又 且，所以 故答案为 ‎【点睛】本题考查直线、双曲线的概念性质，韦达定理、不等式、平面向量的运算、解方程等知识，考查数形结合，方程，不等式的思想方法，以及推理运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力，有一定综合性。‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.已知函数，，是函数的零点，且的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，若，，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得；(Ⅱ)根据解析式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结果.‎ ‎【详解】(Ⅰ)‎ 的最小值为 ,即 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知：‎ ‎ ‎ 又 ，‎ ‎【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.‎ ‎18.如图所示，和所在平面互相垂直，且，，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可证明EF⊥BC.（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 易得,所以，因此,从而得；（2） （方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF，因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,从而sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.‎ ‎（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的法向量，又,由得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为，且由题意知为锐角，则，因此sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值.‎ ‎（1）证明：‎ ‎（方法一）过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，‎ 由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，‎ 又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，‎ 又EF面EFO，所以EF⊥BC.‎ ‎（方法二）由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B左垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,从而，所以.‎ ‎（2）（方法一）在图1中，过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG，由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，从而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG垂直BF.‎ 因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角；‎ 在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,从而sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值为.‎ ‎（方法二）在图2中，平面BFC的一个法向量为，设平面BEF的法向量，又,由得其中一个，设二面角E-BF-C的大小为，且由题意知为锐角，则，因此sin∠EGO=，即二面角E-BF-C的正弦值为 ‎.‎ 考点：1.线面垂直的判定；2.二面角.‎ ‎19.已知抛物线，其焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，与交于点.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求面积的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 最小值4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)根据抛物线的性质即可得到结果；(Ⅱ)由直线垂直可构造出斜率关系，得到，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得；联立两切线方程，可用表示出，代入点到直线距离公式，从而得到关于面积的函数关系式，求得所求最值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：，准线方程为：‎ 焦点到准线的距离为，即. ‎ ‎(Ⅱ)抛物线的方程为，即，所以 ‎ 设，，‎ ‎ ‎ 由于，所以，即 ‎ 设直线方程为，与抛物线方程联立，得 所以 ‎，，所以 即 联立方程得：，即： ‎ 点到直线的距离 所以 当时，面积取得最小值 ‎【点睛】本题考查抛物线的性质的应用、抛物线中三角形面积最值的求解，关键是能够将所求面积表示为关于斜率的函数关系式，从而利用函数最值的求解方法求出最值.‎ ‎20.今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进得复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.‎ ‎（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为，求；‎ ‎（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）若以此方案实施，不会超过预算 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再求出一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率，再把它们相加即得解；（2）先求出 ‎，再求出其最大值，比较最大值和预算的大小即得解.‎ ‎【详解】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为， ‎ 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为， ‎ 所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎（2）设每篇学位论文的评审费为元，则的可能取值为900，1500. ‎ ‎， ， ‎ 所以 ‎. ‎ 令,‎ ‎.‎ 当时，，在单调递增,‎ 当时，，在单调递减,‎ 所以的最大值为.‎ 所以实施此方案，最高费用为（万元）.‎ 综上，若以此方案实施，不会超过预算.‎ ‎【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具体见解析（Ⅱ）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可。‎ ‎（Ⅱ）由于时，，若要使得成立，只需时，成立，利用导数讨论的最大值和的最小值，即可求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题可得的定义域为，，‎ 当时，，解得，或，，解得，‎ ‎∴在，上是增函数，在上是减函数；‎ 当时，，解得，或，，解得，‎ ‎∴在，上是增函数，在上是减函数；‎ 当时，恒成立，且只在时，∴在上是增函数.‎ ‎（Ⅱ）时，，‎ 若要使得成立，‎ 只需时，成立，‎ 由（Ⅰ）知当时，在上是增函数，，‎ 当时，在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎，‎ 当时，在上是减函数，，‎ ‎，对称轴，‎ 当时，在上是增函数，，‎ ‎，解得，∴，‎ 当时，在上是增函数，在上是减函数，‎ ‎，，‎ 整理得，∵，∴只需，‎ 令，，当时，，在上是增函数，又，∴时，，∴.‎ 当时，在上是减函数，，‎ ‎，解得，‎ 综上所述，或.‎ ‎【点睛】本题考查导数在函数中的应用，主要考查利用导数讨论函数单调性和最值的问题，考查学生讨论与转化的思想，有一定综合性。‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）经过点作直线交曲线于两点（在上方），且满足，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析: （1）运用同角的三角函数关系消去参数即可;(2)把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中,根据的几何意义解出倾斜角,从而得到直线方程.‎ 试题解析:（1）由题意：曲线的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）设直线的参数方程为（为参数）代入曲线的方程有：‎ ‎，设点对应的参数分别为，则，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线的方程为：.‎ ‎23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围 试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝‎ 当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；‎ 当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.‎ 所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 ‎（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.‎ 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|‎ ‎－2－a≤x≤2－a，‎ 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，‎ 故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．‎ 考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数 ‎ ‎ ‎ ‎